Методическая разработка по математике: «Задачи, содержащие целую и дробную часть числа.»

Задачи, содержащие целую и дробную часть числа.

Автор: Ускова Н.Н.- учитель математики «Лицей№60» г.Уфа

В последние годы на математических олимпиадах предлагаются задачи, содержащие целую и дробную часть числа. Данная методическая разработка поможет учителям в подготовке учащихся к олимпиадам, также можно использовать на факультативных занятиях.

Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число n, не превосходящее x.
Целая часть числа x обозначается символом [x] или E(x) (от французского слова Entier («антье» - целый)).
Например: [2,3]=2; [-2,3]=-3; [2]=2; [-3]=3.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, а n-целое, то [x]=n.
Так как HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Определение. Число x - [x] называют дробной частью числа («мантисса»)
и обозначают {x}. То есть мантисса числа равна разности самого числа и антье числа.
Например: {3,5}=3,5-[3,5]=3,5-3=0,5; {-3,5}=-3,5-[-3,5]=-3,5+4=0,5; {5}=0;
{-4,35}=-4,35-[-4,35]=-4,35-(-5)=-4,35+5=0,65.
Итак мы видим, что для любого действительного числа x выполняется HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Очевидно, что x=[x]+{x}.

Некоторые свойства целой части числа

HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 Если p - целое число, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Доказательство: Пусть HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, где k=[x], а HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, тогда .
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 Если x – любое действительное число, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Доказательство: Пусть HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, где k=[x], HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, тогда, используя свойство HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, имеем:

.
Остаётся доказать, что HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 , причём HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15. Если x<0, то [x]<0.









Графики антье и мантиссы
График функции y=[x] так называемые «ступени».


График функции y={x} - «забор».










Задания

№1. Решить уравнение: [x]=a, где a - любое действительное число.
Решение: Если a-целое, то решением уравнения является промежуток [a;a+1),а если
a-дробное, то уравнение решений не имеет.

№2. Решить уравнение: [x+a]=2.
Решение: По определению целой части числа имеем: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15


№3. Решить уравнение: [ax]=2.
Решение: По определению целой части числа имеем: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если a=0 , то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - неравенство неверно, следовательно, в этом случае уравнение решений не имеет.
Если a>0, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;

Если a<0, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

№4. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

Решение: Пусть HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 , тогда HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и уравнение примет вид:

Из определения целой части числа следует, что HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15,
откуда HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Так как HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 , то t может принимать значения: 3, 4, 5, 6, 7.
Если t=3, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если t=4, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15. Если t=5, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

Если t=6, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15. Если t=7, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15


№5. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Очевидно, что если x - решение уравнения, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Так как HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, поэтому, если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то x(x+1)(x+2) делится нацело на 6. Следовательно,

Поэтому получили уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, решениями которого являются числа: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Но так как HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то решением данного уравнения является только число -1.
Ответ: -1.

№6. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Решение: Преобразуем уравнение к виду HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Построим графики функции HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Так как графики функций пересекаются в единственной точке, то это уравнение имеет единственный корень, заключённый между числами 1 и 2. Но, если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и уравнение примет вид: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Корень HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 посторонний, так как HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

№7. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Целая степень двойки равна целой степени тройки при условии, что показатели степеней равны 0, то есть:

Учитывая, что уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, получим систему неравенств, равносильную системе уравнений (1):

Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.



№8. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Пусть HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Учитывая, что HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, t может принимать значения 0, 1, 2.
Если t=0, то имеем систему уравнений:
, которая решений не имеет.
Если t=1, то получим систему уравнений:


Если t=2, то
Эта система решений не имеет.
Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

№9. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Данное уравнение равносильно системе:

Первое уравнение системы равносильно уравнению

Решим уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
1) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

Это уравнение решений не имеет, так как при любом n число HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 не является целым. Следовательно, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
2) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

Это уравнение решений не имеет, так как ни при каком m не выполняется неравенство
Значит, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

№10. Решить уравнение: | | x | - [ x ] |=[ | x | - [ x ] ].
Решение: Так как HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то левая часть уравнения равна | x | - [ x ].
Так как [x] - целое число, то правая часть уравнения с учётом свойства HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 равна
[ | x | ] – [ x ] и поэтому уравнение принимает вид: | x |=[ | x | ].
Решениями полученного уравнения являются такие x, у которых | x | - целое число, то есть само x должно быть целым числом.
Ответ: x - любое целое число.

№11. Решить уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Воспользуемся свойством HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то есть тем что HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, тогда получим уравнение HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Откуда [ x ] = 2 или [ x ] = - 1. Или HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 или HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Ответ: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15

№12. Доказать, что число HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 делится на 5 при любом натуральном n.
Доказательство: Пусть n - число чётное, то есть n=2m, где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то

тогда данное выражение примет вид HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, которое делится при любом чётном n. Если n=2m-1, то

тогда данное выражение будет
.
Это число при любом нечётном n делится на 5.
Итак, данное выражение при любом натуральном n делится на 5.

№13. Найти все простые числа вида HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Обозначим HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если n=3k, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 - это число будет простым и равным 3 при k=1.
Если n=3k+1, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то

Это число будет простым и равным 5 при k=1.

Если n=3k+2, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то


Это составное число при любом HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Ответ: 3; 5.


№14. Решить систему уравнений: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15
Решение: 1) Учитывая, что t={t}+[t] после сложения трёх уравнений системы, получим, что x+y+z=3,3.
2) Вычитая из этого уравнения сумму двух первых уравнений, получим [y]+{x}=0, которое выполняется в том случае, если оба слагаемых равно 0. Значит, так как {x}=0, то x - целое число, а так как [y]=0, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
3) Теперь первое уравнение системы примет вид x+{z}=1,1, отсюда x=1, {z}=0,1.
4) Второе уравнение примет вид y+[z]=2,2, откуда следует [z]=2, y=0,2.
5) Значит, x=1; y=0,2; z=2,1.
Ответ: (1; 0,2; 2,1).

№15. Построить график функции y=x[x].
Решение:
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и т. д.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и т. д.



№16. Построить график функции y=x{x}.
Решение:
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и т. д.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и т. д.



№17. Решите уравнение: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решение: Вспомним определение дробной части числа ({x}=x-[x]) подставим это равенство в уравнение и получим равенство в виде HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 или HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Значит, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
Решением уравнения являются точки пересечения графиков функций HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и
HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, то есть x=0 и x=-1.










Упражнения

1. Построить графики функций:
а) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15;
б) вида HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15 и HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15, HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15,
где HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15–известные функции.
2. Построить графики уравнений: [y]=[x], {y}={x}.
3. Решить уравнения:
а) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
б) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
в) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
д) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
е) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
ж) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
з) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
и) HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
4. Найти {x}, если HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.

5. Найти целую часть числа: HYPER13 QUOTE HYPER14HYPER15.
























Использованная литература.
1.Березин В.Н., Никольская И. Л., Березина Л. Ю., Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике, Москва, 1985.
2. Карп А.П., Даю уроки математики, Москва, 1982.
3. Всероссийские математические олимпиады школьников, Москва, 1992.
4. Журнал «Квант», 1976 г. №5.
5. Журналы «Математика в школе», 1973 г. №3, 1985 г. №3, 1973 г. №1, 1981 г. №4,
1983 г. №1, 1982 г. №2, 1984 г. №1.
6. Райхмист Р. Б., Графики функций, Москва, 1991.




HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

  • doc file 5
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 7