Методическая разработка по математике: «Задачи, содержащие целую и дробную часть числа.»

Задачи, содержащие целую и дробную часть числа.

Автор: Ускова Н.Н.- учитель математики «Лицей№60» г.Уфа

В последние годы на математических олимпиадах предлагаются задачи, содержащие целую и дробную часть числа. Данная методическая разработка поможет учителям в подготовке учащихся к олимпиадам, также можно использовать на факультативных занятиях.

Определение. Целой частью действительного числа x называется наибольшее целое число n, не превосходящее x.
Целая часть числа x обозначается символом [x] или E(x) (от французского слова Entier («антье» - целый)).
Например: [2,3]=2; [-2,3]=-3; [2]=2; [-3]=3.
Если 13 QUOTE 1415, а n-целое, то [x]=n.
Так как 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Определение. Число x - [x] называют дробной частью числа («мантисса»)
и обозначают {x}. То есть мантисса числа равна разности самого числа и антье числа.
Например: {3,5}=3,5-[3,5]=3,5-3=0,5; {-3,5}=-3,5-[-3,5]=-3,5+4=0,5; {5}=0;
{-4,35}=-4,35-[-4,35]=-4,35-(-5)=-4,35+5=0,65.
Итак мы видим, что для любого действительного числа x выполняется 13 QUOTE 1415.
Очевидно, что x=[x]+{x}.

Некоторые свойства целой части числа

13 QUOTE 1415 Если p - целое число, то 13 QUOTE 1415.
Доказательство: Пусть 13 QUOTE 1415, где k=[x], а 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415, тогда .
13 QUOTE 1415 Если x – любое действительное число, то 13 QUOTE 1415.
Доказательство: Пусть 13 QUOTE 1415, где k=[x], 13 QUOTE 1415, тогда, используя свойство 13 QUOTE 1415, имеем:

.
Остаётся доказать, что 13 QUOTE 1415 , причём 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415. Если x<0, то [x]<0.









Графики антье и мантиссы
График функции y=[x] так называемые «ступени».


График функции y={x} - «забор».










Задания

№1. Решить уравнение: [x]=a, где a - любое действительное число.
Решение: Если a-целое, то решением уравнения является промежуток [a;a+1),а если
a-дробное, то уравнение решений не имеет.

№2. Решить уравнение: [x+a]=2.
Решение: По определению целой части числа имеем: 13 QUOTE 1415


№3. Решить уравнение: [ax]=2.
Решение: По определению целой части числа имеем: 13 QUOTE 1415.
Если a=0 , то 13 QUOTE 1415 - неравенство неверно, следовательно, в этом случае уравнение решений не имеет.
Если a>0, то 13 QUOTE 1415;

Если a<0, то 13 QUOTE 1415.

№4. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.

Решение: Пусть 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415 , тогда 13 QUOTE 1415 и уравнение примет вид:

Из определения целой части числа следует, что 13 QUOTE 1415,
откуда 13 QUOTE 1415.
Так как 13 QUOTE 1415 , то t может принимать значения: 3, 4, 5, 6, 7.
Если t=3, то 13 QUOTE 1415.
Если t=4, то 13 QUOTE 1415. Если t=5, то 13 QUOTE 1415

Если t=6, то 13 QUOTE 1415. Если t=7, то 13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415


№5. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение: Очевидно, что если x - решение уравнения, то 13 QUOTE 1415.
Так как 13 QUOTE 1415, поэтому, если 13 QUOTE 1415, то x(x+1)(x+2) делится нацело на 6. Следовательно,

Поэтому получили уравнение: 13 QUOTE 1415, решениями которого являются числа: 13 QUOTE 1415.
Но так как 13 QUOTE 1415, то решением данного уравнения является только число -1.
Ответ: -1.

№6. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415
Решение: Преобразуем уравнение к виду 13 QUOTE 1415.
Построим графики функции 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415.
Так как графики функций пересекаются в единственной точке, то это уравнение имеет единственный корень, заключённый между числами 1 и 2. Но, если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 и уравнение примет вид: 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
Корень 13 QUOTE 1415 посторонний, так как 13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415.

№7. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение: Целая степень двойки равна целой степени тройки при условии, что показатели степеней равны 0, то есть:

Учитывая, что уравнение 13 QUOTE 1415, получим систему неравенств, равносильную системе уравнений (1):

Ответ: 13 QUOTE 1415.



№8. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение: Пусть 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415.
Учитывая, что 13 QUOTE 1415, t может принимать значения 0, 1, 2.
Если t=0, то имеем систему уравнений:
, которая решений не имеет.
Если t=1, то получим систему уравнений:


Если t=2, то
Эта система решений не имеет.
Ответ: 13 QUOTE 1415.

№9. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение: Данное уравнение равносильно системе:

Первое уравнение системы равносильно уравнению

Решим уравнение 13 QUOTE 1415.
1) 13 QUOTE 1415.

Это уравнение решений не имеет, так как при любом n число 13 QUOTE 1415 не является целым. Следовательно, 13 QUOTE 1415.
2) 13 QUOTE 1415.

Это уравнение решений не имеет, так как ни при каком m не выполняется неравенство
Значит, 13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415.

№10. Решить уравнение: | | x | - [ x ] |=[ | x | - [ x ] ].
Решение: Так как 13 QUOTE 1415, то левая часть уравнения равна | x | - [ x ].
Так как [x] - целое число, то правая часть уравнения с учётом свойства 13 QUOTE 1415 равна
[ | x | ] – [ x ] и поэтому уравнение принимает вид: | x |=[ | x | ].
Решениями полученного уравнения являются такие x, у которых | x | - целое число, то есть само x должно быть целым числом.
Ответ: x - любое целое число.

№11. Решить уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение: Воспользуемся свойством 13 QUOTE 1415, то есть тем что 13 QUOTE 1415, тогда получим уравнение 13 QUOTE 1415.
Откуда [ x ] = 2 или [ x ] = - 1. Или 13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415.
Ответ: 13 QUOTE 1415

№12. Доказать, что число 13 QUOTE 1415 делится на 5 при любом натуральном n.
Доказательство: Пусть n - число чётное, то есть n=2m, где 13 QUOTE 1415, то

тогда данное выражение примет вид 13 QUOTE 1415, которое делится при любом чётном n. Если n=2m-1, то

тогда данное выражение будет
.
Это число при любом нечётном n делится на 5.
Итак, данное выражение при любом натуральном n делится на 5.

№13. Найти все простые числа вида 13 QUOTE 1415, где 13 QUOTE 1415.
Решение: Обозначим 13 QUOTE 1415.
Если n=3k, то 13 QUOTE 1415 - это число будет простым и равным 3 при k=1.
Если n=3k+1, 13 QUOTE 1415, то

Это число будет простым и равным 5 при k=1.

Если n=3k+2, 13 QUOTE 1415, то


Это составное число при любом 13 QUOTE 1415.
Ответ: 3; 5.


№14. Решить систему уравнений: 13 QUOTE 1415
Решение: 1) Учитывая, что t={t}+[t] после сложения трёх уравнений системы, получим, что x+y+z=3,3.
2) Вычитая из этого уравнения сумму двух первых уравнений, получим [y]+{x}=0, которое выполняется в том случае, если оба слагаемых равно 0. Значит, так как {x}=0, то x - целое число, а так как [y]=0, то 13 QUOTE 1415.
3) Теперь первое уравнение системы примет вид x+{z}=1,1, отсюда x=1, {z}=0,1.
4) Второе уравнение примет вид y+[z]=2,2, откуда следует [z]=2, y=0,2.
5) Значит, x=1; y=0,2; z=2,1.
Ответ: (1; 0,2; 2,1).

№15. Построить график функции y=x[x].
Решение:
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 и т. д.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 и т. д.



№16. Построить график функции y=x{x}.
Решение:
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 и т. д.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
Если 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415 и т. д.



№17. Решите уравнение: 13 QUOTE 1415.
Решение: Вспомним определение дробной части числа ({x}=x-[x]) подставим это равенство в уравнение и получим равенство в виде 13 QUOTE 1415 или 13 QUOTE 1415.
Значит, 13 QUOTE 1415.
Решением уравнения являются точки пересечения графиков функций 13 QUOTE 1415 и
13 QUOTE 1415, то есть x=0 и x=-1.










Упражнения

1. Построить графики функций:
а) 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415;
б) вида 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415,
где 13 QUOTE 1415–известные функции.
2. Построить графики уравнений: [y]=[x], {y}={x}.
3. Решить уравнения:
а) 13 QUOTE 1415.
б) 13 QUOTE 1415.
в) 13 QUOTE 1415.
д) 13 QUOTE 1415.
е) 13 QUOTE 1415.
ж) 13 QUOTE 1415.
з) 13 QUOTE 1415.
и) 13 QUOTE 1415.
4. Найти {x}, если 13 QUOTE 1415.

5. Найти целую часть числа: 13 QUOTE 1415.
























Использованная литература.
1.Березин В.Н., Никольская И. Л., Березина Л. Ю., Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике, Москва, 1985.
2. Карп А.П., Даю уроки математики, Москва, 1982.
3. Всероссийские математические олимпиады школьников, Москва, 1992.
4. Журнал «Квант», 1976 г. №5.
5. Журналы «Математика в школе», 1973 г. №3, 1985 г. №3, 1973 г. №1, 1981 г. №4,
1983 г. №1, 1982 г. №2, 1984 г. №1.
6. Райхмист Р. Б., Графики функций, Москва, 1991.




15

Приложенные файлы

  • doc file 5
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 8