Реферат ученицы 10 класса «Квадратные уравнения: за страницами учебника»


Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Горбуновская средняя общеобразовательная школа»Направление: математика
КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ:
ЗА СТРАНИЦАМИ УЧЕБНИКА
Вид работы: информационно-реферативная
Исполнитель: Александрова Дарья,
ученица 9 класса
МКОУ «Горбуновская СОШ»
Руководитель – Малышкина Светлана Юрьевна,
учитель математики,
МКОУ «Горбуновская СОШ»

2015 г.
СОДЕРЖАНИЕ
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ PAGEREF _Toc417291358 \h 3ГЛАВА 1.ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КВАДРАТНЫХ PAGEREF _Toc417291359 \h 4УРАВНЕНИЙ PAGEREF _Toc417291360 \h 4ГЛАВА 2.СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ PAGEREF _Toc417291361 \h 92.1. Способы, которые изучают в школе. PAGEREF _Toc417291362 \h 92.2.Особые случаи в решении квадратных уравнений. PAGEREF _Toc417291363 \h 112.3 Набор упражнений для отработки решения квадратных PAGEREF _Toc417291365 \h 13уравнений. PAGEREF _Toc417291366 \h 13ЗАКЛЮЧЕНИЕ PAGEREF _Toc417291367 \h 16СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ PAGEREF _Toc417291368 \h 17
ВВЕДЕНИЕПри изучении в школе квадратных уравнений, я очень заинтересовалась этой темой. Мне стало интересно узнать, какие же еще бывают способы решения квадратных уравнений, в том числе, и устные приемы. Потребность в быстром решении квадратных уравнений обусловлена, например, тем, что время отводимое на сдачу ОГЭ, ограничено. И меня заинтересовало, а можно ли устно решать квадратные уравнения.
Проблема: «Какие существуют рациональные способы решения квадратных уравнений?»
Тема реферата: «Квадратные уравнения: за страницами учебника»
Цель:
Изучить и показать на примерах рациональные способы решения квадратных уравнений.
Задачи:
Проанализировать учебник алгебры для выявления в нем способов решения квадратных уравнений.
Изучить дополнительный исторический материал.
Рассмотреть рациональные способы решения квадратных уравнений.
Провести мастер-класс для учащихся 8-11 классов.
ГЛАВА 1.ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙСухие строки уравнений -
В них сила разума влилась.
В них объяснение явлений,
Вещей разгаданная связь.
Л.М.Фридман
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
Квадратные уравнения в Индии
Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме. В уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму. Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Квадратные уравнения у Аль-Хорезми
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений.
Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Трактат Аль-Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

Квадратные уравнения в Европе XII-XVII в.
Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М.Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX--VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда время от времени возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, с нашей современной точки зрения, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться начатки алгебраических представлений. Например, вавилонские вычислители умели решать задачи, сводящиеся с точки зрения современной классификации к уравнениям второй степени. Был создан метод решения текстовых задач, послуживший в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения.
Это изучение осуществлялось уже в другую эпоху сначала арабскими математиками (VI--Х вв. н. э.), выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака. А затем европейскими математиками Возрождения, в итоге длительного поиска создавшими язык современной алгебры, использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д. На рубеже XVI--XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее ее развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики.
ГЛАВА 2.СПОСБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ2.1. Способы, которые изучают в школе.Решить квадратное уравнение – это значит найти все его корни либо же установить тот факт, что квадратное уравнение корней не имеет. Корнем квадратного уравнения ах2+bx+c=0 называют любое значение переменной х, такое, что квадратный трехчлен aх2+bx+c обращается в нуль.
Рассмотрим один из способов, изучаемый в школе, «метод выделения полного квадрата» с его помощью можно решить любое уравнения.
Решим уравнение х2 + 6х - 7 = 0. Выделим в левой части полный квадрат.Для этого запишем выражение х2 + 6х в следующем виде:
х2 + 6х = х2+ 2• х • 3.
В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 32, так как
Х2 + 2• х • 3 + 32 = (х + 3)2.
Преобразуем теперь левую часть уравнения
х2 + 6х - 7 = 0,
прибавляя к ней и вычитая 32 . Имеем:
х2 + 6х - 7 = х2 + 2• х • 3 + 32 – 32 - 7 = (х + 3)2 - 9 - 7 = (х + 3)2 - 16.
Таким образом, данное уравнение можно записать так:
(х + 3)2 - 16 =0, (х + 3)2 = 16.
Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х1 = 1, или х + 3 = -4, х2= -7.
Способ универсальный, но очень громоздкий. На его основе были выведены формулы, о которых рассказывается ниже.
Рассмотрим самый универсальный и более известный способ – по формулам или через дискриминант.
Находим коэффициенты а, b, с квадратного уравнения, и по формуле считаем дискриминант:
D = b² - 4ac
О корнях квадратного уравнения можно судить по знаку дискриминанта (D):
D>0 - уравнение имеет 2 различных вещественных корня
D=0 - уравнение имеет 2 совпадающих вещественных корня
D<0 - уравнение имеет 2 мнимых корня (для непродвинутых пользователей - корней не имеет)

Данный алгоритм универсален и подходит для решения любых квадратных уравнений. Полных и не полных, приведенных и неприведенных.
Рассмотрим второй случай, которые используется для решений приведённого квадратного уравнения.
Теорема Виета.
Приведенным квадратным уравнением называется уравнение вида:
т.е. квадратное уравнение с единичным коэффициентом при старшем члене.
В этом случае целесообразно применять теорему Виета, которая позволяет получить относительно корней уравнения следующую систему уравнений:

Способ унивесальный, так с его помощью находятся корни любого уравнения или доказывается, что их нет.
Особые случаи в решении квадратных уравнений.
Теорема 1.Если сумма коэффициентов а+ b +c= 0, то один его корень равен 1, а другой са.
Доказательство:
Еслиa+b+c=0, тоb= - (a + c). ТогдаD=(-(a+c))²-4ac=(a+c)² - 4ac=
=(a-c) ². Следовательно,x1,2=-b±D2a. x1,2=а+с±(a+c)²2аx1,2 = а+с±а-с2а.Очевидно, что х1,2= а+с±(а-с)2а. Таким образом,
х1= а+с+а-с2а=1, х2= а+с-а+с2а=са.
Утверждение доказано.
Теорема 2. Пусть дано квадратное уравнение ах2+bx+c=0. Если сумма его коэффициентов а – b+ с=0, то один его корень равен -1, а другой равен – с/а.
Доказательство:
Если а-b+с=0, то b=а + с. Тогда D= (a+c) ²-4ac=а2+ 2ас+с2 = (a- c) ².
Следовательно, x1,2=-b±D2ax1,2=-(а+с)±(a-c)²2а,x1,2=-а+с±а-с2а .Очевидно, что х1,2=-а-с±(а-с)2а.Таким образом, х1=-а-с-а+с2а= -1,
х2=-а-с+а-с2а= -са.
Утверждение доказано.
Способ переброски .
Теорема 3. Пусть дано квадратное уравнение ах2+bx+c=0 и приведённое квадратное уравнение у2+bу +ас=0. Корни первого уравнения равны корням второго уравнения, уменьшенным в а раз.
Доказательство:
Нетрудно проверить, что в обоих уравнениях D = b² - 4ac. При этом корни первого уравнения х1,2=-b±D2a, а корни второго уравнения у1,2=-b±D2.
Видно, что при делении у1,2 на а получаются корни х1,2.
Утверждение доказано.
При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.2.3 Набор упражнений для отработки решения квадратныхуравнений.Через дискриминант:
-7х + 5х2 + 1 =0
2х2 + 5х - 7 = 0
–х2 = 5х
– 14x2 -11х +18 =0
х2- 4х- 4=0
4х2+5х-14=0
х2 + 9х+14=02х2 -14х-36=0
х2 +4х +5 = 0
2х2 + 5х – 3 = 0
х2 +15х – 3 = 06х2 + 3х + 7 = 0
8х2 -4х – 9 = 07х2 + 5х – 3 = 0
х2 - 4х + 8 = 0
3х2 + 15х - 10= 0;
5х2 – 13х – 6 = 0

Теорема Виета:
х2+2х-35=0
х2-22х+121=0
у2-7у+10=0
х2-х-42=0
х2-7х+12=0
х2+7х-18=0
х2-х-72=0
х2-11х+10=0
х2+5х+6=0
х2+12х+20=0
х2+х-6=0
х2-6х-8=0
х2-10х+21=0
х2-5х+4=0
2х2 – 4х – 11 = 0
х2 + 11х + 30 = 0
х2– х – 30 = 0
х2 - 5х + 6 = 0
х2 – 3х – 4 = 0
х2 + 5х + 4 = 0
х2– 2,6х – 1,2 = 0
x2 + 17x - 38 = 0
x2-16x + 4 = 0
x2 + 2x - 3 = 0
x2 + 12x + 32 = 0
x2 - 2x - 3 = 0
- x2 + 12x + 32 = 0
x2 + 17x - 18 = 0
Если сумма коэффициентов а+ b +c= 0, то один его корень равен 1, а другойса:
6х2 – 17х + 11=0
9х2 – 13х + 4=0
9х4 – 5х2 – 4=0
14х2 + 17х – 31=0
11х2 – 17х + 6=0
2(х+3х-1)2 – 7(х+3х-1) + 5=0
- 27х2 + 35 – 8=0
5(2+х1-х)2 – 2(2+х1-х) – 3=0
х – 6х + 5=0
2х + 9х – 11=0
5х – 8х + 3=0
х + 3х – 4 =0
4271x2 – 4272x + 1 = 0
.3х4 – 8х2 + 5=0
27х6 – 35х3 + 8=0
7х2 + 4х – 11=0
4(n2 – 3n)2 – 13(n2 – 3n)2 + 9=0
Если сумма коэффициентов а – b+ с=0, то один его корень равен -1, а другой равен – сах2+ 7х + 6 =0
х4 – 39х – 40=0
2х2 – 15х – 17=0
2(5х + 1)4 + 5(5х + 1)2 + 3=0
6х2 + 17х + 11=0
2000х4 + 2013х2 + 13=0
30х2 + 39х + 9=0
4(n2 + 3n)2 + 13(n2 + 3n) + 9=0
2х2 – 5,8х – 7,8=0
(2-хх)2 + 2 (2-хх) + 1=0
100х2 – 97х – 197=0
4(х+1х2)2 + 5(х+1х2) + 1=0
Способ «Переброски»:
5х2 – 16х + 3=0
10х2 – 11х + 3=0
3х2 + 11х + 6=0
2х2 + х – 10=0
2х2 – 9х + 9=0
4x2 – 1 7x – 15 = 0
6x2 – 7x – 3 = 0
10х2 – 11х + 3 = 0         
3х2 + 11х + 6 = 0        
 4х4 + 12х2 + 5=0
6х2 + 5х – 6 = 0
135х6 + 39х3 + 2=0
2х2 + х – 10 = 0             
4х4 – 21х2 + 17=0
5х2 – 11х + 6 = 0            
4(х2 – х)2 – 9(х2 – х) + 2=0
4х2 + 12х + 5 = 0
3(2х2 – х + 1)2 – 24(2х2 – х + 1) + +21=0
ЗАКЛЮЧЕНИЕВ данной работе я изложила все известные виды и решения квадратных уравнений из школьного курса. 
Проанализировав учебник алгебры за 8 класс под редакцией Алимова, Колягина и других, выделила 3 способа решения квадратных уравнений, которые изучаются в школе: метод выделения полного квадрата, по формулам и с помощью теоремы Виета. Заинтересовалась, а есть другие способы решения уравнений? Изучив дополнительную литературу и Интернет- ресурсы, выделила для себя 3 особых теоремы, о которых и рассказала в своей работе. Это свойство коэффициентов и способ переброски, которые позволяют решать устно уравнения, дискриминант которых полный квадрат.
Подобрала примеры квадратных уравнений для отработки новых знаний. И захотела поделиться и рассказать о новых способах другим ученикам, которые изучали эту тему. Провела мастер-класс для восьмого и девятого классов, на дом составила карточки для отработки новых навыков, Часть учеников решили их на «отлично». Им очень понравилось, и они были удивлены, что так быстро можно решать квадратные уравнения.
Так же мне стало интересно узнать, откуда вообще взялись квадратные уравнения? И выяснила, что необходимость решать уравнения в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.
Ещё раз убедилась, что наука математика – очень интересная. И свою работу я хочу закончить словами Петера Ропса: «Я люблю математику не только потому, что она находит применение в технике, но и потому, что она красива…»
               
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВАлгебра 8 класс: учебник для общеобразовательных учреждений.
Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и другие.
М.: Просвещение, 2009 г.
http://www.egesdam.ru/page221.htmlhttp://www.berdov.com/docs/equation/quadratic_equations/http://xreferat.ru/54/1828-1-10-sposobov-resheniya-kvadratnyh-uravneniiy.htmlhttp://dok.opredelim.com/docs/index-46383.html

Приложенные файлы

  • docx fail-6
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 3