Решение задач по статистике


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО СТАТИСТИКЕ Борисова Е.А., Сызранский филиал ФГБОУ СГЭУ» г. Сызрань, 201 5 г. 1. Теоретическая статистика Задача 1 . По данным о численности жителей двух крупнейших городов России тыс. чел определить индексы сравнения и динамики. Город Год 2004 2005 Москва 10391 10407 Санкт - Петербург 4624 4600 Решение. 1). Индекс сравнения – это отношение значений одной и той же величины в одном периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий: , где А , Б — численность жителей, соответственно, в городах Москве и Санкт - Петербург е . Применяя формулу найдем индекс ы сравнения: 2004 год: = 10391 / 4624  2,25, то есть в этом году численность жителей в г. Москве была в 2,25 раза больш е, чем в г. Санкт - Петербурге . 2005 год:  10407/4600  2,26, то есть в этом году численность жителей в г. Москве в 2,26 раза больше, чем в г. Санкт - Петербурге. Меняя базу сравнения , найдем индекс сравнения численности жителей в г. Санк т - Петербурге с Москвой по той же формуле : 2004 год: = 4624 / 10391 = 0 ,445 или 44,5 %, то есть в этом году численность жителей г. Санкт - Петербурга составляла 44,5% от численности жителей г. Москвы . 2005 год: = 4600/104 07  0,442 или 44,2%, то есть в этом году численность жителей г. Санкт - Петербурга составляла 44,2% от численности жителей г. Москвы. 2. Индекс изменения динамики характеризует изменение какого - либо явления во времени и определяется по формуле : , где поди ндексы означают: 1 — отчетный или анализируемый период, 0 — прошлый или базисный период. Находим индексы динамики изменения численности жителей в обоих городах, считая данные о численности жителей 2004 года базисным периодом, а 2005 г ода – анализируемым периодом: для г. Москвы: Динамика роста численности населения в Москве небольшая положительная рост – 0,2%). для г. Санкт - Петербурга: Динамика роста численности населения в Санкт - Петербурге не большая отрицательная снижение – на 0, 5 %). Задача 2. По имеющимся в следующей таблице данным по группе из 20 студентов заочного отделения необходимо : 1 построить интервальный ряд распределения признака и его график; 2 рассчитать модальное, медианное и среднее значение, установить его типичность с помощью коэффициентов вариации; 3 проверить распределение на нормальность с помощью коэффициентов асимметрии и эксцесса. № п/п Вес, кг 1 45 2 61 3 56 4 48 5 54 6 58 7 51 8 62 9 70 10 72 11 73 12 6 4 13 73 14 68 15 81 16 84 17 76 18 90 № п/п Вес, кг 19 68 20 95 Решение. 1) Для построения интервального ряда из дискретного по формуле Стерджесса определяе м оптимальное количество интервалов  n ): n = 1 +3,322 lg N = 1 + 3,322 lg 20 = 1+4,322 = 5,322. Округлив до ближайшего целого, получим n = 5. После определения оптимального количества интервалов определяем размах интервала по формуле: h = H / n , где H – размах вариации, определяемый по формуле H  Х мах – Х min , где X м a x и X min — максимальное и минимальное значения в совокупности : h = ( 9 5 – 45)/5 = 10 . В нашем случае имеем интервальный ряд : X i , вес f i 45 - 55 4 55 - 65 5 65 - 75 6 75 - 85 3 85 - 95 2 Итого 20 На основе этой группировки строим график распределения веса студентов рис.2. 2) Мода – это наиболе е часто повторяющееся значение признака. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется по формуле : , где Х Mo – нижнее значение модального интервала; f Mo – число наблюдений или объем взвешивающего признака вес признака в модальном интервале; f Mo - 1 – то же для интервала, предшествующего модальному; f Mo+1 – то же для интервала, следующего за модальным; h – величина интервала изменения признака в группах. В нашей задаче чаще всего повторяется 6 раз третий инт ервал веса (65 - 75 кг, это и есть модальный интервал. Определяем точное значение модального в е са: кг Медиана – это такое значение признака, которое приходится на середину ранжированного ряда. Для интервального ряда с равными интерв алами величина медианы определяется по формуле: , где X Me – нижняя граница медианного интервала; h – его величина размах; – сумма наблюдений или объема взвешивающего признака, накопленная до начала медианного инт ервала; f Me – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале. В нашей задаче трети й интервал веса ( 65 - 75 кг  является и медианным, так как на него приходится середина ряда распределения веса . По формуле определяем точное значение медианного веса : кг Составим вспомогательную таблицу: X i , вес f i X И X И ∙ f i Х И - Х И - ) 2 Х И - ) 2 f i Х И - ) 3 f i Х И - ) 4 f i 45 - 55 4 50 200 - 17 68 289 1156 - 19652 334084 55 - 65 5 60 300 - 7 35 49 245 - 1715 12005 65 - 75 6 70 420 3 18 9 54 162 486 75 - 85 3 80 240 13 39 169 507 6591 85683 85 - 95 2 90 180 23 46 529 1058 24334 559682 Итого 20 - 1340 - 206 - 3020 9720 991940 Определяем среднее значение признака : кг. Распределение асимметричное, т.к. . 3) О предел им типичность ил и нетипичность найденной средней величины с помощью расчета показателей вариации. Чем ближе они к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности. К ритериальным значением коэффициента вариации служит 1/3. Коэффициент ы вариации рассчитываются как отношение среднего отклонения к средней величине.  Среднее линейное отклонение Л  206/20  10,3 кг.  Линейный коэффициент вариации ,  0,33 ( вывод: средний вес типичен  Среднее квадратическое отк лонение определяется как корень квадратный из дисперсии . О пределяе м диперсию : кг  Квадратический коэффициент вариации : ;  � 0,33 ( вывод: средний вес по этому коэффи циенту для рассмотренной группы студентов нетипичен , т.к. расчетное значение коэффициента вариации превышает критериальное ) В качестве показателей асимметрии используются: коэффициент асимметрии – нормированный момент третьего порядка и коэффициент асимметрии Пирсона . Если значение коэффициента асимметрии положительно, то в ряду преобладают варианты, которые больше средней правосторонняя скошенность, если отрицательно – левосторонняя скошенность. Если коэффициент асимметрии равен 0, то вариационный ряд симметричен. В нашей задаче = = 486 ; = 12,29 3 = 1855,79 ; = 486 / 1855,79 = 0, 262  0, значит, распределение студентов по весу с небольшой право сторонней асимметрией . Для характеристики крутизны распределения используется центральный момент 4 - го порядка = . Для образования безразмерной характеристики определяется нормированный момент 4 - го порядка , который характеризует крутизну заостренность графика распределения. При измерении асимметрии эталоном служит нормальное симметричное распределение, для которого =3. Поэтому для оценки крутизны данного распредел ения в сравнении с нормальным вычисляется эксцесс распределения . Ч ислитель центрального момента 4 - го порядка рассчитан в последнем столбце расчетной таблицы. В итоге по формуле имеем: Ex = ( 991940 /2 0 )/ 22814,32 – 3 = – 0, 826 . Так как Ex 0, то распределение низковершинное и не является нормальным. Задача 3. Для изучения вкладов населения в коммерческом банке города была проведена 5% - я случайная выборка лицевых счетов, в результате которой получено сл едующее распределение клиентов по размеру вкладов: Размер вклада, у.е. Число вкладчиков, чел. до 5000 80 5 000 – 15 000 60 15 000 – 30 000 35 30 000 – 50 000 45 свыше 50 000 10 С вероятностью 0,954 определить: 1 средний размер вклада во всем банке; 2 долю вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 15000 у.е.; 3 необходимую численность выборки при определении среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е.; 4 необходимую численность выборки при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 30 000 у.е., чтобы не ошибиться более чем на 10%. Решение. Н а основе выборочного обследования нельзя точно оценить изучаемый параметр например, среднее значение – или долю какого - то признака – р ) генеральной совокупности, необходимо найти пределы, в которых он находится. Для этого необходимо определить изучаемый параметр по данным выборки выборочную среднюю – и/или выборочную долю – w  и его дисперсию  Д в . Для этого построим вспомогательную таблицу : X i f i Х И X И f i Х И - ) 2 Х И - ) 2 f i до 5000 80 3 000 240000 201208057,66 16096644612,48 5 000 – 15 000 60 10 000 600000 51621101,13 3097266068,05 15 000 – 30 000 35 22 500 787500 28251535,92 988803757,09 30 000 – 50 000 45 40 000 1800000 520534144,61 23424036507,56 свыше 50 000 10 52500 525000 1247164579,40 12471645793,95 Итого 230 3952500 56078396739,13 Находим средний размер вклада: у.е. Найдем дисперсию среднего выборочного вклада: Определ им предельную ошибку выборки по формуле : , где t – коэффициент доверия , зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выбор ки; – средняя ошибка выборки. В нашем случае у.е. Для определения средней ошибки выборки при определении доли вкладчиков с размером вклада свыше 15000 у.е. в генеральной совокупности необходимо определить диспер сию этой доли. Дисперсия доли альтернативного признака w , который может принимать только два взаимоисключающих значения, определяется по формуле: . В нашей задаче долю альтернативного признака вкладчики с размером вклада свыше 15000 у. е. найдем как отношение числа таких вкладчиков к общему числу вкладчиков в выборке: w  90/230  0,39 или 39%. Определим дисперсию этой доли по формуле: =0,39*(1 - 0,39) = 0, 24 . Тогда = = 0,0 01 ил и 0, 1 %. По таблице нормального закона распределения вероятностей по значению вероятности находим коэффициентдоверия t =2 т.е. предельная ошибка выборки в 2 раза больше средней . Предельная ошибка выборки по будет равна: = 2 *1029,6 = 2059,2 у.е. при определении среднего среднего размера вклада ; = 2 *0,0 01 = 0,0 02 или 0, 2 % при определении доли вкладчиков с вкладами свыше 15000 у.е. Находим доверительные интервал ы обобщающей характеристики ген еральной совокупности:  для средней величины ( - ) ( + ) , т.е. средн ий размер вклада в банке с вероятностью 95,4% будет лежать в пределах от 15125,58 до 19243,98 у.е.  для доли альтернативного признака: ( w - ) p ( w + ) , т.е. с вероятностью 95,4% доля вкладчиков с размером вкладов свыше 15000 у.е. будет лежать в пределах от 38,8 % до 39,2 %. Необходимая численность выборки при определении среднего размера вклада, чтобы не ошибиться более чем на 500 у.е.: В нашей задаче долю альтернативного признака для вкладчиков с размером вклада свыше 30000 у.е. тоже найдем как отношение числа таких вкладчиков к общему числу вкладчиков в выборке: w  55/230  0,24 или 24%. Определим дисперсию этой доли по формуле: =0,24*(1 - 0,24) = 0,18 Тогда =  0,028 или 2,8%. Необходимая численность выборки при определении доли вкладчиков во всем банке с размером вклада свыше 30 000 у.е., чтобы не ошибить ся более чем на 10% : Значит , необходимо включить в выборку не менее 3900 вкладчиков при определении среднего размера вкладов банка , чтобы не ошибиться более чем на 50 0 у.е., и не менее 13 вкладчиков при определении доли вкладчиков с р азмером вклада свыше 30000 ., чтобы при этом не ошибиться более чем на 10 %. Задача 4. По статистическим данным по России за 2000 – 2005 гг. вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на нали чие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2006 год с вероятностью 95%. Годы Валовой сбор картофеля, млн.т. 2000 34 2001 35 2002 32,9 2003 36,7 2004 35,9 2005 37,3 Решение. Рассчитаем абсолютные приросты цепн ые базисные Δу ц  у i – y i - 1 Δу ,  у i – y 0 Δу ц 1 = 35 - 34 = 1 Δу б 1 = 35 - 34 = 1 Δу ц 2 = 32,9 - 35 = - 2,1 Δу б 2 = 32,9 - 34 = - 1,1 Δу ц 3 = 36,7 - 32,9 = 3,8 Δу б 3 = 36,7 - 34 = 2,7 Δу ц 4 = 35,9 - 36,7 = - 0,8 Δу б 4 = 35,9 - 34= 1,9 Δу ц 5 = 37,3 - 35,9 = 1,4 Δу б 5 = 37,3 - 34= 3,3 3. Темпы роста цепные базисные Т р ц 2 = 35 / 34 *100% = 102,9 % Т р б 1 = 35 / 34 *100% = 102,9 % Т р ц 2 = 32,9/35 *100% = 9 4 % Т р б 2 = 32,9 / 34 *100% = 96,8 % Т р ц 3 = 36,7/32,9 *100% = 111 ,6% Т р б 3 = 3 6,7 / 34 *100% = 10 7 ,9 % Т р ц 4 = 35,9/36,7 *100% = 97,8 % Т р б 4 = 35 ,9 / 34 *100% = 105,6 % Т р ц 4 = 37,3/35,9 *100% = 111,04 % Т р б 4 = 3 7,3 / 34 *100% = 10 9,7 % 4. Темпы прироста цепные базисные Т пр ц  Т р ц – 100% Т пр б  Т р б – 100% Т пр ц 2 = 102,9 % - 100% = 2,9 % Т пр б 1 = 102,9 % - 100% = 2,9 % Т пр ц 2 = 9 4 % - 100% = - 6 % Т пр б 2 = 96,8 % - 100% = - 3,2 % Т пр ц 3 = 111 ,6% - 100% = 11 ,6% Т пр б 3 = 107,9 % - 100% = 7,9 % Т пр ц 4 = 97,8 % - 100% = - 2,2 % Т пр б 4 = 105,6 % - 100% = 5,6 % Т пр ц 5 = 111,04 % - 100% = 11,04 % Т пр б 5 = 109,7 % - 100% = 9 ,7 % 5. Среднегодовой абсолютный прирост 6. Среднегодовой темп роста 7. Среднегодовой темп прироста 8. Прогнозирование  по среднему абсолютному приросту прогнозировать нельзя, т.к .  по среднему темпу роста млн. т  по линии тренда График динамики валового сбора картофеля. Проверим линейную зависимость между факторами . Параметры линейного уравнения регресс ии линии тренда: . Для расчетов параметров уравнения регрессии используем метод наименьших квадратов, результаты вычислений поместим в таблицу: 1 2000 34 4000000 68000 1156 1,69 33,7 0,3 0,12 2 2001 35 4004001 70035 1225 0,09 34,3 0,7 0,47 3 2002 32,9 4008004 65865, 8 1082,4 5,76 35,0 - 2,1 4,29 4 2003 36,7 4012009 73510,1 1346,9 1,96 35,6 1,1 1,15 5 2004 35,9 4016016 71943,6 1288,8 0,36 36,3 - 0,4 0,15 6 2005 37,3 4020025 74786,5 1391,3 4 36,9 0,4 0,13 Σ 12015 211,8 24060055 424141 7490,4 13,86 - 0 6,3 Ср. знач. 2002,5 35,3 4010009,2 70690,1 1248,4 - - - - По МНК имеем: Уравнение парной линейной регрессии: Коэффициент корреляци и для полученного уравнения: Коэффициент детерминации: . Оценку значимости уравнения регрессии проводим на основе F - критерия Фишера: F крит (0,05; 1; 4 ) = 7,71 . Имеем F крит ,а значит, признается статистическая не значимость уравнения в целом и значит, модель адекватна и ее нельзя использовать для прогнозирования, т.к. точечный прогноз может сильно отличаться от фактического значения количества картофеля, собранног о в 2006 г . Найдем точечный и интервальный прогноз ы на 200 6 г.: точечный прогноз. Так как элементы ряда остатков подчиняются нормальному закону распределения, то можно построить доверительный интервал для математического ожидан ия среднего значения зависимой переменной: где t – теоретическое значение статистики Стьюдента с выбранной доверительной вероятностью и  - 2 степенями свободы: . Выборочная средняя: . x y y - y ср ( y - y ср ) 2 2000 33,7 - 1,6 2,7 2001 34,3 - 1,0 1,0 2002 35,0 - 0,3 0,1 2003 35,6 0,3 0,1 2004 36,3 1,0 1,0 2005 36,9 1,6 2,7 Σ 7,6 Тогда: интервальный прогноз. Задача 5 . Имеются следующие данные о продажах минимаркетом 3 - х видов товаров  A , B и C ): Оп ределить: 1. Индивидуальные индексы цен, физического объема и товарооборота; 2. Общие индексы цен, физического объема и товарооборота; 3. Абсолютные приросты товарооборота за счет изменений цен, структурного сдвига и объемов продаж для каждого фактора в отдельност и по всей продукции и по каждому товару в отдельности. По итогам расчетов сделать аргументированные выводы. Решение. Основная формула: Q = pq , где p – цена товара, q – физический объем количество, Q – выручка товарооборот. Това р Цена за единицу продукта, руб. Объем продаж, тыс. штук 1 квартал 2 квартал 1 квартал 2 квартал А 112 109 202 260 В 51 48 365 420 С 22 26 477 316 Применив ее к нашей зад аче, рассчитаем выручку по каждому товару в 1 квартале  Q 0 j  и во 2 квартале  Q 1 j ) : Товар j 1 квартал Q 0 j 2 квартал Q 1 j Изменение выручки  Q j = Q 1 j – Q 0 j A 20 2 *1 12 = 2 2624 260 *1 09 = 28340 5716 B 365*51 = 18615 420 * 48 = 20160 1545 C 477*22 = 10494 316*26 = 8216 - 2278 Итого 51733 56716 4 9 8 3 Из таблицы видно, что абсолютное изменение общей выручки составило: = ∑ Q 1 – ∑ Q 0 = 56716 - 51733 = 4983 тыс. руб., то есть она выросла на 4983 тыс. руб. Общий индекс изменения выручки равняется:  ∑ Q 1 /∑ Q 0 = 56716 / 51733 = 1, 096 , то есть выручка от всех товаров увеличилась в 1, 09 6 раза или на 9 ,6 % во втором квартале по сравнению с первы м. Определим индивидуальные индексы цен  i p , физического объема  i q ), выручки  i Q  и доли товара  i d ) , используя в качестве X i цены  p , физический объем  q , выручки  Q  и доли товара  d = q /∑ q  каждого вида товаров соответственно : Индивиду - альный индекс A B C количества i q отпускных цен i p выручки i Q доли товара i d Пра вильность выполненных расчетов проверяется следующим образом: 1 общее изменение выручки должно равняться сумме ее частных по каждому товару в отдельности изменений: = 5716+1545 +( - 2278 ) = 4983 тыс. руб.; 2 произведение факторных ин дивидуальных индексов по периодам должно равняться соответствующему индивидуальному индексу выручки: i Q А =1, 29 *0,9 73 =1, 25 ; i Q Б = 1 , 15 * 0 , 94 = 1,08 . Из таблицы видно, что в феврале по сравнению с январем: – количество проданных товаров А увеличилось в 1, 29 ра за или на 29 %, товаров В – увеличилось в 1,15 раза или на 15%, а товара С – уменьшилось в 0, 66 раза или на 34 %; – цена товара А понизилась в 0,9 7 раза или на 3 %, товара В – пониз илась в 0,94 раза или на 6% , а товара С – повысилась в 1,18 раз или на 18%; – выручка по товару А выросла в 1, 25 раза или на 25 %, по товару В – выросла в 1,08 раза или на 8%, а по товару С – снизилась в 0, 783 раза или на 21,7 %; – доля проданных товаров А увеличилась в 1, 25 раза или на 25 %, товаров В – увеличилась в 1,2 раза или на 20%, а товаров С – уменьшилась в 0,69 раза или на 31 %. Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле : = В нашей задаче = = 57492 /5 1733 = 1,1 1 1 32 , то есть количество проданных товаров в базисных  в 1 квартале  ценах выросло в 1,1 1132 раза или на 11,132 % во 2 квартале по сравнению с 1 квартало м. Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле: = В нашей задаче = = 56716 / 57492 = 0,9865 , то есть цена проданных товар ов при объемах продаж отчетного  в 1 квартале ) периода выросла в 1,0 9632 раза или на 9,632% во 2 квартале по сравнению с первы м. Контроль осуществляе тся по формуле: I Q = = 1,11132 * 0,9865 = 1, 096 . Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле: = В нашей задаче = = 51160 /5 1733 = 0,98892 , то есть цена проданных товар ов при объемах продаж базисного  1 квартала ) периода снизилась в 0,98892 раза или на 1,108% во 2 квартале по сравнению с 1 кварталом . Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле: = В нашей задаче = 56716 / 51160 = 1, 1086 , то есть количество проданных товар ов в отчетных  2 квартала  ценах выросло в 1, 1086 раза или на 10,86 % во втором квартале по сравнению с 1 кварталом . Контроль осуществляется по формуле: I Q = = 0,98892 *1, 1086 = 1,096 . Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше по методике Фишера по формуле = для кол ичества товаров и по формуле = – для цен: = =1, 101 , то есть в среднем количество проданных товаров выросло в 1, 232 раза или на 10,1 %; = = 0,9877 , то есть в среднем цена проданных товаров снизилась в 0,9877 раза или на 1,23 %. Далее выполняется факторный анализ общей выручки, в основе которого лежит трехфакторная мультипликативная модель выручки: I Q = , где = , – индекс структурных сдвигов, показывающий как изменилась выручка под влиянием фактора изменения долей проданных товаров в отчетном периоде по сравнению с базисным период ом. Он определяется по формуле: = = Значит, структурный сдвиг должен был увелич ить отчетную выручку в базисных ценах в 1,1649 раза или на 1 6,49 %. Тогда изменение выручки за счет изменения общего ко личества товаров определяется по формуле: = . В нашем случае = ( 0,954 - 1)* 51733 = - 2379,72 тыс. руб., то есть изменение количества проданных товаров у меньш ило выручку на 2379, 72 тыс. руб. Изменение общей выручки за счет структурных сдвигов находится по формуле: = . В нашей задаче = 0,954 *( 1,1649 - 1)* 51733 = 8138,36 тыс. руб., то есть структурный сдвиг в количестве проданных фруктов у величил выручку на 8138,36 тыс. руб. Изменение общей выручки за счет изменения отпускных цен рассчитывается по формуле: = . В нашей задаче = 0,954 * 1,1649 *( 0,9865 - 1)* 51733 = - 776,14 тыс. руб., то есть изменение цен на товары у меньш ило выручку на 776,14 тыс. руб. Контроль правильности расчетов производится по формуле, согласно которой общее изменение выручки равно сумме ее изменений за сче т каждого фактора в отдельности: = - = + + . В нашей задаче = - 2 379,72 + 8138,36 - 776,14 = 4983 тыс. руб. Результаты факторного анализа общей выручки заносятся в последнюю строку факторной таблицы : Результаты факторного анализа выручки Товар j Изменение выручки, тыс. руб. В том числе за счет количества продукта ст руктурных сдвигов отпускных цен А 2178,97 - 1040,7 3559,09 – 339,42 Б 1792,81 - 856,29 2928,41 - 279,28 С 1010,69 - 482,7 3 1650,86 - 157,44 Итого 4983 - 2379,72 8138,36 - 776,14 Проведем факторный анализ изменения частной по каждому j - му товару в отде льности выручки на основе следующей трехфакторной мультипликативной модели: = . Тогда изменение частной выручки за счет каждого из 3 - х факторов количество, структурный сдвиг и цена по j - му виду товара определяется соответственно по формулам : = ; = ; = .  по товару А изменение выручки за счет первого фактора изменения общего количества проданных товаров  равно: =( 0,954 - 1)* 22624 = - 1040,7 тыс. руб.. Аналогично по товару В : = (0,954 - 1)*18615 = - 85 6 ,29 тыс. руб. и по товару С: = (0,954 - 1)*10494 = - 482,7 3 тыс. руб. Контроль правильности расчетов: = , то есть ( - 1040,7) + ( - 856,29 ) + ( - 482,73 ) = - 2379,72 тыс. руб..  по товару А изменение выручки за счет второго фактора структурн ых сдвигов в количестве проданных фруктов равно: = 0,954 *( 1,1649 - 1)* 22624 = 3559,09 тыс. руб.. Аналогично по товару В : = 0,954 *( 1,1649 - 1)* 18615 = 2928,41 тыс. руб.. Аналогично по товару С: =0 ,954*(1,1649 - 1*10494  1650,86 тыс. руб.. Контроль правильности расчетов: = , то есть 3559,09 + 2928,41 + 1650,86 = 8138,36 тыс. руб..  по товару А изменение выручки за счет 3 - го фактора изменения отпускной цен ы равно: = 0,954*1,1649*(0,9865 - 1)*22624 = – 339,42 тыс. руб.. Аналогично по товару В : = 0,954*1,1649*(0,9865 - 1)*18615 = - 279,28 тыс. руб.. Аналогично по товару С: = 0,954*1,1649*(0,9865 - 1) *10494 = - 157,44 тыс. руб.. Контроль правильности расчетов: = , то есть  – 339,42 ) + ( - 279,28 ) + ( - 157,44) = 4983 тыс. руб. Результаты факторного анализа частной выручки также заносятся в таблицу Результаты ф акторного анализа выручки» , в которой все числа оказались взаимно согласованными. Задача 6. На основе исходных данных контрольных заданий по теме 2 определить наличие и характер корреляционной связи между признаками x и y Доход и Вес , соответственно ) 6 - ю методами. № п/п Доход, у.е./мес. х Вес, кг у 1 430 45 - - 2 640 61 - + 3 610 56 - - 4 330 48 - + 5 420 54 - + 6 290 58 - + 7 480 51 - + 8 610 62 - - 9 840 70 - - 10 330 72 - - 11 560 73 - + 12 450 64 - - 13 350 73 + + 14 310 68 + + 15 380 81 + - 16 340 84 + - 17 660 76 + - 18 450 90 + + 19 540 68 + + 20 750 95 + + Итого 9770 1349 Решение. Для выявления наличия и характера корреляционной связи между дв умя признаками в статистике используется ряд методов . 1. Графический метод , когда корреляционную зависимость можно изобразить графически. И мея взаимосвязанны е пар ы значений x и y на прямоугольной систем е координат, каждую пару изобража ем в виде точки на плоскости с координатами x и y . Соедин ив последовательно нанесенные точки, получа ем ломаную линию – эмпирическ ую лини ю регрессии По виду линии ( восходящ ая прям ая можно предположить наличи е прямой зависимости между величиной доходов и вес ом студентов группы . 2. Рассмотрение параллельных данных значений x и y . Единицы наблюдения располага ем по возрастанию значений факторного признака х и сравни м с ним визуально поведение результативного признака у . В большинстве случаев по мере увеличения значений x увеличиваются и значения y за несколькими исключениями – для 3, 8, 9 и 12 студентов группы , поэтому, можно говорить о прямой связи между х и у этот вывод подтверждает и эмпирическая линия регрессии. Теперь необходимо ее измерить, для чего р ассчитывают несколько коэффициентов. 3. Коэффициент корреляции знаков Фехнера ) – простейший показатель тесноты связи, основанный на сравнении поведения отклонений индивидуальных значений каждого признака  x и y  от своей средней величины. При этом во вним ание принимаются знаки » или  – » величин отклонений   и  ) . Определи м знаки отклонений от средней величины в каждом ряду и подсчит аем число их совпадений  С  и несовпадений  Н ). К оэффициент Фехнера рассчитываетс я как отношение разности чисел пар совпадений и несовпадений знаков к общему числу наблюдаемых единиц: , который как и любой показатель тесноты связи, коэффициент Фехнера может принимать значения от 0 до 1. В нашей задаче ; . В двух последних столбцах таблицы из условия задачи приведены знаки отклонений каждого х и у от своей средней величины. Число совпадений знаков – 11 , а несовпадений – 9 . Отсюда К Ф = =0, 1 . Обычно такое значение показателя тесноты связи характеризует очень слабую зависимость, но т.к. К Ф зависит только от знаков и не учитывает величину самих отклонений х и у от их средних величин, то он практически характеризует не столько тесноту связи, скол ько ее наличие и направление. 4. Линейный коэффициент корреляции применяется в случае линейной зависимости между двумя количественными признаками x и y . В отличие от К Ф в л инейном коэффициенте корреляции учитываются не только знаки отклонений от средних величин, но и значения самих отклонений. Д ля расчетов построим вспомогательную таблицу : i x i y i xy x i * x i 1 290 58 394 02,25 89,30 16820 84100 64 36,40 11,68 2 310 68 31862,25 0,30 21080 96100 64 13,12 9,44 3 330 48 25122,25 378,30 15840 108900 65 279,61 7,44 4 330 72 25122,25 20,70 23760 108900 65 52,98 7,44 5 340 84 22052,25 273,90 28560 115600 65 365,05 6,53 i x i y i xy x i * x i 6 350 73 19182,25 30,80 25550 122500 65 62,95 5,68 7 380 81 11772,25 183,60 30780 144400 66 237,71 3,49 8 420 54 4692,25 180,90 22680 176400 66 150,57 1,39 9 430 45 3422,25 504,00 19350 184900 66 459,80 1,01 10 450 64 1482,25 11,90 28800 202500 67 7,77 0,44 11 450 90 1482,25 508,50 40500 202500 67 538,83 0,44 12 480 51 72,25 270,60 24480 230400 67 265,81 0,02 13 540 68 2652,25 0,30 36720 291600 68 0,11 0,79 14 560 73 5112,25 30,80 40880 313600 69 18,66 1,51 15 610 56 14762,25 131,10 34160 372100 70 183,3 7 4,37 16 610 62 14762,25 29,70 37820 372100 70 56,87 4,37 17 640 61 22952,25 41,60 39040 409600 70 82,05 6,80 18 660 76 29412,25 73,10 50160 435600 70 31,33 8,72 19 750 95 68382,25 759,00 71250 562500 72 531,23 20,26 20 840 70 123552,3 6,50 58800 705 600 74 12,26 36,61 Итого 9770 1349 467255 3524,95 667030 5239900 1349 3386,49 138,46 Среднее 488,5 67,5 152,85 176,25 33351,5 261995 169,32 6,92 В нашей задаче: = = 152,85 ; = = 13,29 ; Тогда . Т о есть связь между величиной дохода и весом продукции очень слабая прямая . Проверка коэффициента корреляции на значимость ( существенность. Для того, чтобы оценить су щественность значимость самого r и, соответственно, реальность измеряемой связи между х и у , необходимо рассчитать среднюю квадратическую ошибку коэффициента корреляции σ r . Оценка существенности значимости r основана на сопоставлении значения r с его с редней квадратической ошибкой: . В нашей задаче число наблюдений небольшое  n 30), , а значимость r проверяется на основе t - критерия Стьюдента, для чего определяется расчетное значение критерия по формуле и сопоставляется c t ТАБЛ . Табличное значение t ТАБЛ находится по таблице распределения t - критерия Стьюдента см. приложение 2 при уровне значимости α1 - β и числе степеней свободы ν n – 2 . Если t РАСЧ � t ТАБЛ , то r считается значимым, а связь межд у х и у – реальной. В противном случае  t РАСЧ t ТАБЛ  считается, что связь между х и у отсутствует, и значение r , отличное от нуля, получено случайно. Вычисляем = 0, 231 ; = 0, 2047 / 0,231 = 0,8 861 . При вероятности 95% t табл = 2,306, а при вероятности 99% t табл = 3,355, значит, t РАСЧ t ТАБЛ , это дает возможность считать линейный коэффициент корреляции r = 0, 2047 не значимым. 5. Подбор уравнения регрессии представляет собой математическое описание изменения взаимно коррелируем ых величин по эмпирическим фактическим данным. Для нахождения параметров уравнения регрессии н аиболее часто используется метод наименьших квадратов МНК. Его суть заключается в следующем требовании: искомые теоретические значения результативного призна ка должны быть такими, при которых бы обеспечивалась минимальная сумма квадратов их отклонений от эмпирических значений, т.е. . Уравнение линейной регрессии: По МНК имеем: Уравнение парной линейной регрессии: График эмпирической и теоретической линий регрессии: 6. Теоретическое корреляционное отношение представляет собой универсальный показатель тесноты связи . Для опре деления тесноты связи между факторами находим коэффициент корреляции по Пирсону, который применим ко всем случаям корреляционной зависимости независимо от формы этой связи. Следует различать эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения. Эмпирическ ое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии, т.е. . Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных теоретических значений результативного признака , рассчитанных по уравнению регрессии. О бозначи м дисперсию эмпирического ряда игреков через , а теоретического ряда – , и тогда , а . С равнив вторую дисперсию с первой, получим теоретический коэффициент детерминации: , который показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выра жающая влияние вариации фактора x на вариацию y . Извлекая корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем теоретическое корреляционное отношение: . Оно может находиться в пределах от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем тесн ее связь между вариацией y и x . При 0,3 говорят о малой зависимости между коррелируемыми величинами, при 0,3 0,6 – о средней, при 0,6 0,8 – о зависимости выше средней, при � 0,8 – о большой, сильной зависимости. Корреляционное отношение применимо как для парной, так и для множественной корреляции независимо от формы связи. При линейной зависимости . В нашей задаче расчет необходимых сумм для определения теор приведен в последних двух столбцах таблицы расчетов к задаче . Тогда теоретический коэффициент детерминации равен: 2 теор = 138,46 / 3386,49 = 0, 0409 , то есть дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариа цию y , составляет 4,09 %. Теоретическое корреляционное отношение равно: теор = = 0, 2047 , что совпадает со значением линейного коэффициента корреляции и, следовательно, можно говорить о слабой зависимости между коррелир уемыми величинами. 2. Социально - экономическая статистика Тема 1. Социально - демографическая статистика Задание 1. Имеются следующие условные данные о численности населения города, тыс. чел.: Численность в начале года 750 Численность в конце года 700 Чис ло родившихся за год 15 Число умерших за год 11 Определить: 1 коэффициенты естественного, механического и общего движения населения, установить его тип; 2 перспективную численность населения через 5 лет при условии, что коэффициент общего движения нас еления будет: а сохраняться на прежнем уровне; б ежегодно расти на 1% 0 . Решение: Численность населения  S  в конкретном городе существенно меняется с течением времени. Находим среднегодовую численность населения: = ( S н + S к )/2 = ( 7 5 0 + 70 0)/2 = 7 25 тыс. чел.. Находим коэффициенты естественн ого движени я населения :  коэффициент рождаемости К р = N / *1000% 0 = 15/725*1000% 0 =20,69% 0 , то есть на каждую 1000 населения приходится 20 младенцев ;  коэффициент сме ртности К см = M / *1000% 0 = 11/725*1000% 0 = 15,17 % 0 , то есть на каждую 1000 населения приходится 1 5 умерши x ;  коэффициент естественного движения К ЕД = ( N – M )/ *1000% 0  К р – К см = 20,69% 0 – 15,17% 0 = 5,52 % 0 , то ес ть рождаемость превышает смертность на 5,52 промилле это естественный прирост населения. Основными показателями миграции населения являются: сальдо миграции  V = V + – V – и коэффициент механического движения населения К МД =  V / *1000% 0 , где V + и V – – численность, соответственно, прибывшего и выбывшего на постоянное жительство населения. В нашей задаче число прибывших и выбывших неизвестно, поэтому найдем сальдо миграции . К оэффициент общего движения населения К ОД = К ЕД  К МД = ( S к – S н )/ *1000% 0 = ( 7 0 0 - 7 50 )/ 725*1000% 0 = - 6 8,97% 0 , тогда К МД = К ОД – К ЕД = 68,97 % 0 – 5,52 % 0 = 53,45 % 0 , то есть численность у бывших из город а больше естественной убыли на 53,45 промилле это механический отток населения ). В нашей задаче ме ханический отток больше естественной убыли │К МД ││К ЕД │, значит это 7 - й тип общего движения. Перспективную численность населения через t лет можно определить по формуле: S н t = . Если К ОД сохранится на прежнем уровне, определим S чер ез 5 лет : S 5 = 7 50 *(1 – 68,97 /1000) 5 = 524,66 тыс. чел.. Если К ОД будет ежегодно расти на 1% 0 : S 1 = 750*(1 – 68,97/1000  698,27 тыс. чел.. ; S 2 = 698,27 *(1 – 67,97 /1000) = 650,81 тыс. чел.; S 3 = 650,81 *(1 – 66,97 /1000) = 607,23 тыс. чел.; S 4 = 6 07,23 *(1 – 65,97 /1000) = 567,17 тыс. чел.. S 5 = 567,17 *(1 – 64,97/1000  530,32 тыс. чел.. Тема 2. Статистика уровня жизни населения Задание 1. Определить показатели дифференциации доходов населения России по следующим данным. Решение. Для решения задачи построим расчетную таблицу: Сначала определяем абсолютные величины диф ференциации. Так, больше всего людей их доля – 2 1,7%  имели доход от 2000 до 3000 руб./чел. В этом интервале и находится модальный доход, точное значение которого согласно формуле Mo = 2500 + 1 000 = 2967,95 руб./чел . № п/п СДД, руб./чел. Дол и населения, % d i Вариант 2 1 до 1000 12,5 2 1000 - 1500 15,0 3 1500 - 2000 14,4 4 2000 - 3000 21,7 5 3000 - 4000 13,4 6 4000 - 5000 8,2 7 5000 - 7000 8,2 8 более 7000 6,6 Число жителей, млн.чел . год 146,3 (2001) № п/п СДД, руб./чел. Доли населения, % ( d i ) Численность населения, млн. чел. Доход, млн. руб. Доля доходов q i . Кумулятивные доли населения d ’ i дохода q ’ i 1 до 1000 12,5 18,29 13715,63 0,031956 0,125 0,03195569 2 1000 - 1500 15,0 21,95 27431,25 0,063911 0,275 0,09586706 3 1500 - 2000 14,4 21,07 36867,60 0,085897 0,419 0,18176395 4 2000 - 3000 21,7 31,75 79367,75 0,184917 0,636 0,36668087 5 3000 - 4000 13,4 19,60 68614,70 0,159864 0,77 0,52654453 6 4000 - 5000 8,2 12,00 53984,70 0,125778 0,852 0,65232211 7 5000 - 7000 8,2 12,00 71979,60 0,167703 0,934 0,82002557 8 более 7000 6,6 9,66 77246,40 0,179974 1 1 Число жителей, млн.чел . год 100 146,30 429207,63 1 Доход в этом же интервале 2000 - 3 000 руб./чел. является граничным для половины людей, поэтому согласно формуле значение медианного дохода равно: Ме = 2 000 + 1000 = 2373,27 руб./чел. Затем рассчитываем простейшие отн осительные величины дифференциации – децильный и фондовый коэффициенты. Децильный дециль составляет 10% коэффициент – это отношение минимального СДД 10% самого богатого населения  min СДД 10%бог ) к максимальному С ДД 10% самого бедного населения  max СДД 10%бед ). Коэффициент фондов – это отношение среднего СДД 10% самого богатого населения к среднему же СДД 10% самого бедного населения. По исходным данным необходимо отобрать 10% самых бедных людей - перв ая групп  ее кумулятивная доля равна 0,12 5 , что ближе всего к необходимым 0,1. Так как первый интервал СДД является открытым, следовательно, представляем его в закрытом виде, используя размах соседнего интервала в размере 500 руб./чел. т.е. границы 1 - й группы сос тавя т от 500 до 1000 руб./чел. с о серединой 7 50 руб./чел. Если 12, 5 % бедных имеют размах доходов 500 руб./чел., то 10% б удут иметь размах доходов: 10%* 500/12, 5 %= 400 руб./чел.. Значит max СДД 10%бед = 500 + 400 = 900 руб./чел., а = 500 + 400/2 = 700 руб./чел.. Теперь отберем 10 % самых богатых людей – это 8 - я группа с доходами от 7000 до 9000 руб./чел. так как интервал открытый, то применили размах соседнего интервала в размере 2000 руб./чел., т.е. 6,6 % самого богатого населения имеет размах доходов 2000 руб./чел. 1 . Нам нужно отобрать не 6,6 %, а 10%, поэтому, решая пропорцию, находим размах доходов 10% самого богатого населения. Он равен 3030,30 руб./чел. Отсюда min СДД 10%бог = 9000 – 3030,30 = 5969,7 руб./чел., а его среднее значение = 9000 – 3030,30 /2 = 7484,85 руб./чел.. Т.о., децильный коэффициент К ДЦ = 5969,7 / 900 = 6,63 , а по формуле коэффициент фондов К Ф = 7484,85 / 700 = 10,69 . Для расчета более сложных относительных величин дифференциации определим доход и его долю в каждой группе людей, используя середины интервалов СДД и количество людей в группах. Полученные доли людей и доходов вписываются в таблицу, после чего определяются соответствующие кумулятивные доли нарастающим итогом. Их также вписыва ем в таблицу и после этого определяем коэффициенты локализации по формуле Лоренца  и концентрации по формуле Джини ) доходов: Значения коэффициентов Лоренца и Джини изменяются от 0 до 1. Нулевое их значение свидетельствует об абсолютной равномерности распределения доходов по группам населения. Чем ближе эти коэффициенты к единице, тем в большей мере доходы сосредоточены в отдельной группе населения. Естественно, при этом часть населения оказывается живущей в бедности. В нашей з адаче коэффициент локализации Лоренца равняется: Кл  0,5 * │0,1 25 – 0,0 31956 │  │0, 15 – 0,0 63911 │  │0, 144 – 0,0 85897 │  │0, 217 – 0, 184917│ │0,13 4 – 0, 159864 │  │0, 082 – 0,1 25778 │  │0, 082 – 0, 167703 │  │0, 066 – 0, 179974 │  0,2 69 . К оэффициент концентрации Джини равня ется: К Д = 0, 125 * 0,095867 + 0, 275 * 0,18176395 + 0, 419 * 0,36668087 + 0,636 * 0,52654453 + 0, 77 * 0,65232211 + 0, 8 5 2 * 0,82002557 + 0 ,934 *1 – 0,031956 *0, 275 – 0,09586706 *0,419 – 0,18176395 *0,636 – 0,36668087 *0,77 – 0,52654453 *0, 852 – 0,65232211 *0, 934 – 0,82002557 *1 = 2,6 85 – 2,325 = 0, 36 . Таким образом, коэффициенты Лоренца и Джини показали, что 0, 269 – 0, 36 доходов населения или 26,9 – 36 , 0 % сосредоточено в руках 10% самых богатых людей, что говорит о неравномерности распределения доходов в России. Тема 3. Статистика нацио нального богатства Задание 1. Имеются следующие данные о динамике балансовой стоимости основных фондов ( Ф ): Дата 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 31.12 Стои - мость Ф, млн. руб . 260 280 300 250 240 220 235 245 255 Годность о сновных фондов в начале года составляла 75%, норматив отчислений на реновацию - 10%, ликвидационная стоимость - 5% от стоимости выбывших фондов, годовая выручка - 200 млн. руб., среднесписочная численность производственного персонала - 1500 чел. 1. Определить среднегодовую балансовую стоимость основных фондов. 2. Составить балансы фондов по первоначальной полной и остаточной стоимостям. 3. Рассчитать показатели состояния, движения и использования основных фондов. Решение. Дата 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1. 08 1.09 1.10 1.11 1.12 31.12 Стои - мость Ф, млн. руб . 260 280 300 250 240 220 235 245 255 Среднегодовая балансовая стоимость определяется по формуле средней хронологической простой временные интервалы равны: = 253,44 млн.руб. Б алансы показывают динамику фондов за год. Они строятся по полной первоначальной стоимости и по остаточной стоимости. Уравнение баланса по полной первоначальной стоимости имеет вид: Ф к  Ф н  П – В, где Ф к и Ф н – стоимость фондов на конец и начало года, со ответственно; П и В – стоимость поступивших и выбывших, соответственно, фондов за год. О пределяем стоимость Ф на конец года: Ф к = = 260 + 20 + 20 – 50 – 10 – 20 + 15 + 10 + 10 = 260 + 75 – 80 = 2 5 5 млн. руб.. Строим таблицу баланс а основных фондов по пол ной первоначальной стоимости : Виды основ - ных фондов Наличие на начало года Поступило в отчетном году Выбыло в отчетном году Наличие на конец года Всего В том числе Всего В том числе ввод в действие новых фондов прочие поступ - ления ликвидировано о сновных фондов прочее выбытие Ф 260 75 75 0 80 80 0 255 Схема баланса по полной первоначальной стоимости во многом совпадает с балансом основных фондов по остаточной стоимости. Отличие заключается в том, что в таком балансе помимо учета поступления и вы бытия объектов по остаточной за вычетом износа стоимости учитывается уменьшение их стоимости за год вследствие износа  А , равное сумме начисленной амортизации за год.: Ф ' к  Ф ' н  П ' – В ' – А, где ' – знак остаточной стоимости. В нашей задаче, считая, что продажи и безвозмездной передачи не было, имеем: В' = 0,15* 80 = 12 млн. руб.. Тогда, считая все поступившие фонды новыми, имеем: Ф' к = 260*0,75 + 75 – 12 – 0, 1 * 260 = 195 + 75 – 4 – 26 = 240 млн. руб.. Проверка: Ф к ' = Ф к - И к , где И к = И н + А + В' – В , поэтому в нашей задаче Ф к ' = 255 - ( 65 + 26 + 4 - 80 ) = 2 40 млн. руб.. В таблице построим б аланс основных фондов по остаточной стоимости Виды основ - ных фондов Наличие на начало года Поступило в отчетном году Выбытие и износ за год Наличие на конец год а Всего В том числе Всего В том числе ввод в действие новых фондов прочие поступ ления износ основных фондов за год ликвиди - ровано основных фондов прочее выбытие Ф 195 75 75 0 30 26 4 0 240 Коэффициент износа определяется на определенную дату  на начало или конец года по формуле Ошибка! Источник ссылки не найден. : К изн И/Ф . В нашей задаче полная стоимость Ф на начало года составляет 260 млн. руб., а износ - 26 млн. руб., следовательно, К изнн ) = 26/ 260  0,10, то есть в начале года 1 0% фондов были и зношенными. Найдем сумму износа на конец года  И к  по формуле: И к  Ф к – Ф' к = 255 – 240 = 15 ( млн. руб. ) . Найдем коэффициент износа на конец года : К изнк = 15 / 255 = 0,0 59 , то есть коэффициент износа уменьшился с 1 0% в начале года до 5,9 % в конце. Най дем коэффициенты годности на начало и конец года : К годнн = 1 – 0, 1 = 0,9 ; К годнк = 1 – 0,059 = 0,9 41 , то есть степень неизношенности фондов увели чилась с 9 0% в начале года до 94,1 % в конце. Находим показател и движения основных фондов:  коэффициент пос тупления К п  П / Ф к = 75/255 = 0,294 , то есть за год поступило 29,4 % от стоимости всех фондов.  выбытия К в  В / Ф н = 80/260 = 0 ,308, то есть за год выбыло 27,7% от стоимости фондов. Определяем коэффициенты :  движения К д П - В )/ = (75 - 80)/253,44 = - 0,02, то есть поступило фондов на 2% меньше, чем выбыло.  о бновления К о  П / В  75/80 = 0,938 , то есть поступило за год 93,8% от стоимости выбывших фондов. Найдем показател и использования основных фондов :  фондоотдачу Н  Q / = 200/253,44 = 0,79 то есть на 1 руб. фондов произведено 0,79 руб. продукции ;  фондоемкость h = / Q = 253,44/200 = 1,27, то есть на 1 руб. произведенной продукции приходится 1 руб. 27 коп. стоимости фондов;  фондовооруженность V = / = 253,44 млн. руб. / 15 00 чел. = 168,96 тыс. руб./чел., то есть на 1 работника приходится 168,96 тыс. руб. стоимости фондов. Тема 4. Статистика труда Задание 1. Имеются следующие условные данные по стране, м лн. человек: Вариант 2 Численность населения 186 Всего занято в экономике 105 Численность безработных 21 Определить: 1 численность экономически активного населения; 2 коэффициент экономической активности населения; 3 коэффициенты занятости и безрабо тицы. Решение. ЭАН рабочая сила – это часть населения, которая предлагает свой труд для производства товаров и услуг . Численность ЭАН определяется как сумма занятых и безработных по формуле : P ЭАН = P зан + P безр .  105  21 126 млн. чел. . Коэффициент экономической активности населения определяется как отношение численности ЭАН к общей численности населения по формуле Ошибка! Источник ссылки не найден. : К ЭАН = P ЭАН / P = 126/186 =0,677, то есть численность ЭАН в общей численности населения составляет 67 ,7%. Коэффициент занятости населения определяется как отношение численности занятого населения к численности ЭАН : Кзан  Pзан / P ЭАН = 0,833, то есть численность занятого населения составляет 83,3% от численности ЭАН. Коэффициент безработицы определяется как от ношение численности безработного населения к численности ЭАН: К безр = P безр / P ЭАН = 21/126 = 0,167 , то есть численность безработного населения составляет 16,7 % от численности ЭАН. Задание 2. Имеются следующие условные данные за год по предприятию: Вариан т 2 Неявки вследствие праздничных и выходных дней, тыс. чел. - дн. 475 Неявки в связи с очередными отпусками, тыс. чел. - дн. 95 Целодневные простои, чел. - дн. 700 Неявки по уважительным причинам, всего, тыс. чел. - дн. 90 Неявки по неуважительным причинам, всего, тыс. чел. - дн. 15 Среднесписочная численность работников, чел 5000 Всего отработано за год, тыс. чел - часов 8941,875 Установленная продолжительность рабочего дня, часов 7,5 Составьте годовой баланс рабочего времени предприятия и определите: 1. Кал ендарный, табельный и максимально возможный фонды рабочего времени; 2. Коэффициенты использования этих фондов времени; 3. Коэффициенты использования рабочего периода и рабочего дня; 4. Интегральный коэффициент использования рабочего времени. Решение. КФР В – это сумма человеко - дней, которые отработали бы в течение года все работники предприятия при ежедневной работе , его определяе м по формул е КФРВ  d год , где d год – число календарных дней в году. В нашей задаче получаем: КФРВ = 5 0 00 * 36 5 = 1825000 чел. - дней, то есть если бы каждый из 50 00 работников предприятия работал все календарные дни года, то фонд рабочего времени всех работников за год составил 1825000 чел. - дней. Н ай дем отработанное время: ОВ = 1825000 – 70 0 – ( 4750 00+ 95000) – 9 0 000 – 1 5000 = 1149300 чел. - дней. Находим та бельный фонд: ТФРВ  КФРВ – ПВД = 1825000 – 475000  1350000 чел. - дней , то есть если бы каждый работник предприятия не являлся на работу только по причине праздничных и выходных дней, то фонд рабочего времен и всех работников за год составил 1350 000 чел. - дней. Найдем м аксимально возможный фонд рабочего времени: МВФРВ  КФРВ – ПВД  ОО = 1825000 – 47500095000  1255000 чел. - дней , то есть если бы каждый работник предприятия не являлся на работу только по причине реализации права на отдых, то фонд рабочего времени всех работников за год составил бы 125500 0 чел. - дней. Найдем к оэффициент ы использования фондов времени :  К испКФРВ  ОВ / КФРВ = 1149300/1825000  0,63, то есть из - за неявок по всем причинам и цело дневных простоев фактически отработанный фонд рабочего времени составляет 63,0% от календарного, то есть фонд недоиспользован на 37,0% или на 675700 ( 1149300 – 18250 00 чел. - дней.  К испТФРВ  ОВ / ТФРВ = 1149300 /1350000 = 0,851, то есть из - за неявок по все м причинам, кроме выходных и праздничных дней и целодневных простоев фонд недоиспользован на 14,9%.  К испМВФРВ  ОВ / МВФРВ = 1149300/1255000 = 0,916, то есть из - за неявок по всем причинам, кроме выходных и праздничных дней и очередных отпусков, а также цел одневных простоев фонд недоиспользован на 8,4 %. Коэффициент использования рабочего периода года определяется по формуле: К исп.года = , где d факт = – фактическая продолжительность года, d уст = – ус тановленная продолжительность года. В нашей задаче: d факт = 1149300 / 5 0 00 = 229,9 дня, то есть из - за неявок по всем причинам и целодневных простоев каждый работник отработал в среднем не 365 календарных дней года, а только 229,9 дня; d уст = 12550 00 / 5 0 00 = 251 д ень , то есть с учетом неявок вследствие выходных и праздничных дней и очередных отпусков каждый работник должен отработать в среднем 2 51 д ень в году. Тогда : К исп.года = 229,9 / 251 = 0,9 159 , то есть из - за неявок по всем причинам, кроме выходны х и праздничных дней, а также очередных отпусков, фактическая рабочая продолжительность года недоиспользована на 8,41 %, или на 21,1 ( 229,9 – 2 51  дня. Коэффициент использования рабочего дня: К исп.дня = где t факт – фактическая продолжит ельность дня, определяемая как соотношение количества отработанных человеко - часов и человеко - дней; t уст – установленная продолжительность дня, определяемая нормативами в зависимости от сферы деятельности. В нашей задаче получаем : К исп.дня = ( 8941875 / 11493 0 0) / 8 = 7, 8 / 8 = 0,9 7 , то есть продолжительность ра бочего дня недоиспользована на 3 % или на 0, 2 (7, 8 – 8 часа. Определ яем и нтегральный коэффициент использования рабочего времени определяется по формул е : К инт = = , где ОВ чел. - ч. – отработанное время за год в человеко - часах; МВФРВ чел. - ч. – максимально возможный фонд рабочего времени в челове ко - часах. Для нашей задачи получаем: К инт = 8941875 /( 12550 00*8) = 0,8 91, то есть рабочее время за год недоиспользовано на 10, 9 %. Литература 1. Ефимова М.Р., Петрова Е.В., Румянцев В.Н. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2002 . – 304 с. 2. Теория статистики: Учебник / Под ред. Р.А. Шмойловой. М.: Финансы и статистика, 2008. 3. Экономическая статистика: Учеб ное пособие / Н.М. Матегорина . – Ростов н/Д: Феникс, 200 7 . – 352 с. 4. Практикум по теории статистики. Учебное пособие. / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М. Финансы и ст а тистика, 2003. 5. Елисеева И.И., Юзбашев М.М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2003.

Приложенные файлы

  • pdf statistikareshzadach
    Борисова Елена Анатольевна
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 69