Научно-исследовательская работа: «О вычислении числа „e”»




Научно-исследовательская работа

На тему: «О вычислении числа „e”»
Научный руководитель:
Ускова Нина Николаевна
учитель математики МБОУ «Лицей №60» г. Уфы РБ
Ученика 11В класса МБОУ «Лицей № 60» г. Уфы РБ
Уляева Лукмана
Уфа
О вычислении числа „e”
Наверное, число e всем хорошо знакомо. Самые любознательные, может быть, помнят даже 16 десятичных знаков:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
(2,7 далее год рождения Л.Н.Толстого, еще раз год рождения Л.Н.Толстого, углы прямоугольного равнобедренного треугольника)
Но вот вычислительная задача – как получить число e с большой точностью – скорее всего многими будет решена не лучшим образом. Дело в том, что обе стандартные формулы – определение
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15 (1)
и разложение в ряд Тейлора
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15(2)
для приближённого вычисления e на практике не годятся. Формула (1) даже при HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15(а это требует 32 последовательных возведения в квадрат) даёт всего 8 верных знаков после запятой. Формула (2) лучше: она уже при HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15(и, разумеется, при x = 1) даёт 16 верных знаков. Но вычисления по каждой из этих формул, особенно вручную, очень трудоёмки. Нельзя ли проще? Оказывается можно! Для этого используется другая формула – разложение в непрерывную дробь
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15(3)
которое позволяет вычислять e по следующему алгоритму:
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15(4)
этот алгоритм почти не требует вычислений с большими числами и хорошо аппроксимирует e: уже при HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15– 6 верных знаком после запятой, а при n=11 – более 30 верных знаков!
Докажем, что вычисление по формуле (3) равносильно вычисления по алгоритму (4).
HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15(3)
Пусть HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, тогдаHYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
(3+t) и (1+t) – цепные (или непрерывные) дроби, так как HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Найдём n-ую подходящую дробь для цепных дробей: (3+t) и (1+t). Для этого, воспользуемся рекуррентными формулами для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:
Для цепной дроби (3+t): HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Для цепной дроби (1+t): HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Следовательно, HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Значит, что вычисление по формуле (3) равносильно вычислению по алгоритму (4).
Докажем формулу (3).
Так как любое вещественное число может быть записано (конечной или бесконечной) цепной дробью, то HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15.
Мы представили вещественное число HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15в виде бесконечной цепной дроби. Осталось только найти HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Пусть HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15тогда HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
По формуле разложения в цепную (или непрерывную) дробь получим, что HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Заметим, что любое HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15где [x] обозначает целую часть числа x.
Значит, что HYPER13 EMBED Microsoft Equation 3.0 HYPER14HYPER15
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc m
    Размер файла: 76 kB Загрузок: 2