Научно-исследовательская работа: «О вычислении числа „e”»




Научно-исследовательская работа

На тему: «О вычислении числа „e”»
Научный руководитель:
Ускова Нина Николаевна
учитель математики МБОУ «Лицей №60» г. Уфы РБ
Ученика 11В класса МБОУ «Лицей № 60» г. Уфы РБ
Уляева Лукмана
Уфа
О вычислении числа „e”
Наверное, число e всем хорошо знакомо. Самые любознательные, может быть, помнят даже 16 десятичных знаков:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
(2,7 далее год рождения Л.Н.Толстого, еще раз год рождения Л.Н.Толстого, углы прямоугольного равнобедренного треугольника)
Но вот вычислительная задача – как получить число e с большой точностью – скорее всего многими будет решена не лучшим образом. Дело в том, что обе стандартные формулы – определение
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 (1)
и разложение в ряд Тейлора
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(2)
для приближённого вычисления e на практике не годятся. Формула (1) даже при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(а это требует 32 последовательных возведения в квадрат) даёт всего 8 верных знаков после запятой. Формула (2) лучше: она уже при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(и, разумеется, при x = 1) даёт 16 верных знаков. Но вычисления по каждой из этих формул, особенно вручную, очень трудоёмки. Нельзя ли проще? Оказывается можно! Для этого используется другая формула – разложение в непрерывную дробь
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(3)
которое позволяет вычислять e по следующему алгоритму:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(4)
этот алгоритм почти не требует вычислений с большими числами и хорошо аппроксимирует e: уже при 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415– 6 верных знаком после запятой, а при n=11 – более 30 верных знаков!
Докажем, что вычисление по формуле (3) равносильно вычисления по алгоритму (4).
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415(3)
Пусть 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, тогда13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
(3+t) и (1+t) – цепные (или непрерывные) дроби, так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Найдём n-ую подходящую дробь для цепных дробей: (3+t) и (1+t). Для этого, воспользуемся рекуррентными формулами для вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей:
Для цепной дроби (3+t): 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Для цепной дроби (1+t): 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Следовательно, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Значит, что вычисление по формуле (3) равносильно вычислению по алгоритму (4).
Докажем формулу (3).
Так как любое вещественное число может быть записано (конечной или бесконечной) цепной дробью, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Мы представили вещественное число 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415в виде бесконечной цепной дроби. Осталось только найти 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Пусть 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415тогда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
По формуле разложения в цепную (или непрерывную) дробь получим, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Заметим, что любое 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415где [x] обозначает целую часть числа x.
Значит, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc m
    Размер файла: 76 kB Загрузок: 3