Быстрый счет — путь к успеху

РОССИЙСКАЯ НАУЧНО-СОЦИАЛЬНАЯ ПРОГРАММА ДЛЯ
МОЛОДЕЖИ И ШКОЛЬНИКОВ «ШАГ В БУДУЩЕЕ»


ГОРОДСКАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
ШКОЛЬНИКОВ «ЗА СТРАНИЦАМИ ТВОЕГО УЧЕБНИКА»


Быстрый счет - путь к успеху

Автор: Мышов Егор Владимирович
учащийся 9 класса
МАОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 13 имени М.К. Янгеля»

Руководители: Маркин Иван Иванович, учитель математики
Цыцарева Людмила Николаевна, учитель информатики
МАОУ «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 13 имени М.К. Янгеля»








Российская Федерация
Иркутской области
город Усть-Илимск

СОДЕРЖАНИЕ

Введение 3
Глава 1. Из истории вычислительной математики 4
Глава 2. Математические методы быстрого счета 5
Глава 3. Исследование системы быстрого счета Я. Трахтенберга 6
Глава 4. Создание электронного пособия 8
Глава 5. Апробация 9
Заключение 10
Список используемых источников информации 11
Приложения:
Приложение 1. XII
Приложение 2. XIII
Приложение 3. XVIII
Приложение 4. XIX
Приложение 5 XX







ВВЕДЕНИЕ
Зачем нужно уметь быстро считать? Многие, наверное, согласятся, что это вопрос риторический. Современный ребёнок часто возмущается, когда в школе его заставляют учить на память таблицу умножения. – "Ну, зачем???", - удивлённо вскидывают они свои глаза к небу, сочувственно глядя на своих консервативных предков, в который раз пытаются пояснить им, что сейчас-то, мол, век ВЫСОКИХ информационных технологий. Калькулятор сейчас есть везде: в наручных часах, мобильном телефоне, в компьютере, настольном барометре, и бог знает, куда ещё не поместила его смелая фантазия современных изобретателей-дизайнеров. – Так спрашивается, зачем нам ещё и этим забивать себе голову?
На самом деле существует не одна причина знать таблицу умножения и уметь быстро считать в уме. Во-первых, это в значительной мере тренирует память, особенно в период активного развития интеллектуальных способностей человека, когда закладывается база его логического способа мышления. Во-вторых, умение производить в уме логические математические операции способствует формированию абстрактного мышления человека, что в принципе необходимо при изучении геометрии, черчения, изобразительного искусства и разных точных наук.
Знать технику быстрого счета полезно взрослым и детям. Сколько раз приходилось наблюдать ситуацию, когда человек мучается с тем, чтобы правильно отсчитать сдачу на рынке, или пробует высчитать, на сколько дачных грядок ему хватит купленной рассады или задумчиво чешет затылок, высчитывая на какие именно числа придутся начальная и конечная даты его отпуска.
В нашей исследовательской работе мы пытались рассмотреть новые методы счета и научить им ребят начальных классов. Перед собой мы поставили следующею цель: научиться новым методам быстрого счета; создать электронное пособие - «Быстрые счет – путь к успеху».
Для достижения поставленной цели мы решили следующие задачи:
Собрать информацию о разных методах быстрого счета.
Проанализировать систему быстрого счета Якова Трахтенберга, изучить наиболее рациональные методы быстрого счета.
Создать электронное пособие с использованием среды объектно-ориентированного языка программирования Visual Basic.
Апробировать изученные методы созданное пособие на учащихся начальных классов.



Глава 1. Из истории вычислительной математики
Вычислительная математика возникла довольно давно. Ещё в Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.
Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.
Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.
Вычислительная математика обладает широким кругом прикладных применений для проведения научных и инженерных расчётов. На её основе в последнее десятилетие образовались такие новые области естественных наук, как вычислительная химия, вычислительная биология и другие.
В вычислительной математике выделяют следующие направления: анализ математических моделей, разработка методов и алгоритмов решения стандартных математических задач, автоматизация программирования
Анализ выбранных математических моделей для поставленной задачи начинается с анализа и обработки входной информации, что очень важно для более точных входных данных. Для такой обработки зачастую применяются методы математической статистики. Следующим шагом является численное решение математических задач и анализ результатов вычислений. Степень достоверности результатов анализа должна соответствовать точности входных данных. Появление более точных входных данных может потребовать усовершенствование построенной модели или даже её замену.
Глава 2. Математические методы быстрого счета
Вычислительные (численные) методы  методы решения математических задач в численном виде. Представление как исходных данных в задаче, так и её решения  в виде числа или набора чисел. В системе подготовки инженеров технических специальностей является важной составляющей.
В нашем мире множество видов, способов систем счисления и инструментов для счета. Люди издавна вычисляли, используя свои пальцы. Это самый простой и удобный инструмент для ведения счета до 10. Как же быть, если нужно посчитать, до 30? Для этого, в младших классах, используют счетные палочки. Работают они по принципу пальцев: каждая палочка равна единице и, путем простого сложения (1+1+1+1+), производится счет.
Таблицу умножения изобрели независимо в Китае (2200-2300 лет назад) и в Греции (Пифагор, 2500-2600 лет назад).
Таблица умножения (она же таблица Пифагора или таблица Кэли) представляет собой таблицу, где строки и столбцы озаглавлены множителями, а в ячейках таблицы находится их произведение (Приложение 1). Она используется для обучения школьников быстрому умножению.
 В своё время введение заучиваемой наизусть таблицы умножения, революционизировало устный и письменный счёт. До этого времени использовались разные способы вычисления произведений однозначных чисел, которые сильно замедляли весь процесс решения и служили источником дополнительных ошибок.
В российских школах табличные значения множителей доходят до 10Ч10. В Великобритании, до 12Ч12, что связано с единицами английской системой мер длины (1 фут = 12 дюймов) и денежного обращения (существовавшей до 1971 г.: 1 фунт стерлингов = 20 шиллингам, 1 шиллинг = 12 пенсам.).
Глава 3. Исследование системы быстрого счета Я. Трахтенберга
Ни для кого не секрет, что заучивание многочисленных правил и таблиц сложения, умножения, деления довольно длительный и не всегда увлекательный процесс. Как говорил шотландский математик, изобретатель логарифмов - Непер: «Я старался, насколько мог и умел, отделаться от трудности и скуки вычислений, докучность которых обычно отпугивает весьма многих от изучения математики». В своей работе мы постарались показать некоторые эффективные методы счета, основанные на системе быстрого счета Трахтенберга.
Яков Трахтенберг родился 17 июня 1888, в городе Одесса Российской империи. Окончил с отличием Горный Институт в Петрограде, а позже работал на Адмиралтейских верфях в Обуховском заводе, где стал главным инженером, руководителем свыше 11 тысяч рабочих. После Великой Октябрьской Революции 1917 года Трахтенберг перебрался в Германию. После прихода к власти Гитлера выступал против нацизма. Во время Второй мировой войны Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении, будучи математиком, разработал свою арифметическую систему, так называемый метод Трахтенберга. С помощью своей жены он бежал в Швейцарию, где продолжил разработку этого метода. В 1950 году Трахтенберг основал Математический Институт в Цюрихе, где преподавал свою систему.
Яков Трахтенберг умер в 1953 году.
Сравнивая разные методы умножения, сложения, деления, возведения в квадрат, описанные в этой системе, мы определили наиболее простые на наш взгляд, приемы. В этой системе, производятся действия только над натуральными числами и, поэтому наиболее ценным материалом будет для ребят младших классов. Но это не значит, что он не интересен или не важен всем остальным, ведь вся остальная вычислительная математика базируется на множестве натуральных чисел.
Натуральные числа (естественные числа)  числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).
Существуют два подхода к определению натуральных чисел  числа, используемые при:
перечислении (нумерации) предметов (первый, второй, третий, );
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета, ).
Принят в трудах Бурбаки (псевдоним группы французских математиков), где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, ) числа натуральными не являются.
Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Множество натуральных чисел является бесконечным, так как для любого натурального числа найдётся большее его натуральное число.
К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:
Сложение. Слагаемое + Слагаемое = Сумма
Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
Возведение в степень [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], где a  основание степени и b  показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.
Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).
Вычитание. Уменьшаемое - Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и остаток [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] от деления [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] определяются так: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], причём [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] можно представить в виде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то есть можно было бы считать частным [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а остатком = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.
Глава 4. Создание электронного пособия
С появлением различных систем счисления (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная), формированием разных вычислительных методов, технический прогресс не стоял на месте. Человек пытался упростить многооперационные действия и в этом ему помогали различные подручные материалы (камешки, палочки) и более сложные механизмы (от абака до компьютера).
Данное электронное пособие «Быстрый счет – путь к успеху» предназначено для ребят, желающих быстро и правильно считать.
Пособие состоит из четырех разделов:
Сложение
Умножение
Деление
Возведение в квадрат
Каждый раздел содержит алгоритм выполнения действий и задания для самоконтроля усвоения этого алгоритма. В состав алгоритма входит правило и примеры решения вычислительных заданий.
Задания для самоконтроля могут быть придуманы самим участником (числа вносятся в поле «Ввод») или числа могут быть представлены компьютером случайным образом (генератор случайного числа). При неправильном выполнении задания, на экране высветится сообщение «Обратитесь за помощью к алгоритму». Если задание выполнено верно, то на экране появится поощрительное сообщение.
В любой момент через строку «Меню», пользователь может выйти на любой этап.
Кроме четырех основных разделов, предлагается пройти итоговый контрольный тест. В данном тесте пользователю будут предложены задания на все четыре, изученные с помощью алгоритмов, действия.
По итогам контрольного теста пользователю будет автоматически выставлена оценка.
Это электронное пособие выполнено с использованием объектно-ориентировано языка программирования Visual Basic, который предназначен для создания электронных приложений с графическим интерфейсом.





Глава 5. Апробация
Изученные нами методы, представленные в книге «Система быстрого счета по Трахтенбергу» мы апробировали на учащихся 2-5 классов нашей школы. Для этого нами были проведены 8 внеклассных занятий (по 2 занятия во 2 Б, 3 А, 4 В и 5 А классах).
На первом занятии в каждом классе вниманию ребят были предложены алгоритмы выполнения математических действий, а также примеры решения с пошаговым описанием (Приложения 2-5). В процессе закрепления изученных правил, ребята составляли свои выражения и решали их. Проводя устный опрос, нам стало понятно, кто из ребят усвоил новые правила, а кто нет. Самые активные из них были нами поощрены разными геометрическими фигурами.

Класс
Кол-во учащихся
Действие над числами
Кол-во занятий
Получили поощрение

2 Б
21
Умножение
2
15

3 А
23
Сложение
2
17

4 В
24
Деление
2
13

5 А
13
Возведение в квадрат
2
10

Второе занятие было проведено в кабинете информатики, где мы апробировали электронное пособие «Быстрый счет – путь к успеху» (Видеофайл). После апробации мы попросили ребят высказать свои мнения и пожелания. Проанализировав все пожелания, мы скорректировали наше пособие. Результаты контрольного теста вы видите в таблице.

Таблица выполнения контрольного теста:
Класс
Действие над числами
Кол-во учащихся
Справились
Не справились
% выполнения

2 Б
Умножение
19
14
5
73

3 А
Сложение
18
12
6
66

4 В
Деление
20
11
9
55

5 А
Возведение в квадрат
11
9
2
81


Итого
68
46
22
67

Заключение
В преддверии выпускного экзамена по математике (ГИА), нам особо близка проблема быстрого счета без применения технических средств (калькулятор, мобильный телефон, компьютер) ведь при решении задач правильность вычисления играет огромную роль.
Работая над проектом, дала нам возможность научиться новым методам счета, увидеть интересные закономерности и зависимости.
По-нашему мнению, ребятам младших классов было с нами интересно и познавательно. Судя по активности ребят и по результатам контрольного теста, большая часть из них усвоила предложенный нами материал. Надеемся, что учителя возьмут на вооружение некоторые из методов, рассмотренных в книге «Система быстрого счета по Трахтенбергу».
Наши выводы:
Владение разными методами решения задач и языками программирования позволяет создавать материалы полезные обществу.
При изучение разных методов вычисленной математики удобно действовать по алгоритму, от простого к сложному.
Электронные пособия помогают упростить и разнообразить процесс самоконтроля изученного материала
Чем больше мы знаем, тем больше хочется узнать.















Список используемых источников информации

Катлер Э., Мак-Шейн Р. «Система быстрого счета по Трахтенбергу» – с/п Каминского П.Г., Хаскина Я. О. Просвещение. 1967.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] Интернет энциклопедия «Википедия».
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – электронный учебник по Visual Basic



























ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Таблица Пифагора
Ч
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

2
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
30
32
34
36
38
40

3
3
6
9
12
15
18
21
24
27
30
33
36
39
42
45
48
51
54
57
60

4
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44
48
52
56
60
64
68
72
76
80

5
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100

6
6
12
18
24
30
36
42
48
54
60
66
72
78
84
90
96
102
108
114
120

7
7
14
21
28
35
42
49
56
63
70
77
84
91
98
105
112
119
126
133
140

8
8
16
24
32
40
48
56
64
72
80
88
96
104
112
120
128
136
144
152
160

9
9
18
27
36
45
54
63
72
81
90
99
108
117
126
135
144
153
162
171
180

10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190
200

11
11
22
33
44
55
66
77
88
99
110
121
132
143
154
165
176
187
198
209
220

12
12
24
36
48
60
72
84
96
108
120
132
144
156
168
180
192
204
216
228
240

13
13
26
39
52
65
78
91
104
117
130
143
156
169
182
195
208
221
234
247
260

14
14
28
42
56
70
84
98
112
126
140
154
168
182
196
210
224
238
252
266
280

15
15
30
45
60
75
90
105
120
135
150
165
180
195
210
225
240
255
270
285
300

16
16
32
48
64
80
96
112
128
144
160
176
192
208
224
240
256
272
288
304
320

17
17
34
51
68
85
102
119
136
153
170
187
204
221
238
255
272
289
306
323
340

18
18
36
54
72
90
108
126
144
162
180
198
216
234
252
270
288
306
324
342
360

19
19
38
57
76
95
114
133
152
171
190
209
228
247
266
285
304
323
342
361
380

20
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
300
320
340
360
380
400









ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Алгоритмы умножения:
«Сосед» - это цифра, находящаяся справа от той цифры, с которой мы проводим действие. Например, в числе 189 «сосед» цифры 9 - это 0 т.к. правей его ничего не стоит, а для цифры 8 - «сосед» 9.
Умножение на 11:

Правило:
Шаг:
Пример:

К каждой цифре прибавляем «соседа».
9+0=9
Пишем 9
0 1 8 9*11
9


8+9=17
7 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9 *11
7 9


1+8+1=10
0 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*11
0 7 9


0+1+1=2
Пишем 2
0 1 8 9*11
2 0 7 9

Умножение на 12:

Правило:
Шаг:
Пример:

Каждую цифру удваиваем и прибавляем «соседа».
9*2+0=18
8 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*12
8


8*2+9+1=26
6 пишем, 2 запоминаем.
0 1 8 9*12
6 8


1*2+8+2=12
2 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*12
2 6 8


0*2+1+1=2
Пишем 2
0 1 8 9*12
2 2 6 8



ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Умножение на 6:
Правило:
Шаг:
Пример:

Если цифра четная, то к ней прибавляем половину «соседа».
Если цифра нечетная, то к ней прибавляем половину «соседа» и еще 5.
(Остатки отбрасываем).

9+0+5=14
4 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*6
4


8+9/2+1=13
3 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*6
3 4


1+8/2+1+5=11
1 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*6
1 3 4


0+1/2+1=1
Пишем 1
0 1 8 9*6
1 1 3 4


Умножение на 7:

Правило:
Шаг:
Пример:

Если цифра нечетная, то умножаем ее на 2 и прибавляем половину «соседа» и еще 5.
Если цифра четная, то умножаем ее на 2 и прибавляем половину «соседа». (Остатки отбрасываем).


9*2+0+5=23
3 пишем, 2 в уме.
0 1 8 9*7
3


8*2+9/2+2=22
2 пишем, 2 в уме.
0 1 8 9*7
2 3


1*2+8/2+5+2=13
3 пишем,1 в уме.
0 1 8 9*7
3 2 3


0*2+1/2+1=1
Пишем 1.
0 1 8 9*7
1 3 2 3


ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Умножение на 5:

Правило:
Шаг:
Пример:

Если цифра нечетная берем половину «соседа» и прибавляем 5. Если цифра четная берем половину «соседа».
(Остатки отбрасываем).
0+5=5 (9 нечетная)
Пишем 5
0 1 8 9*5
5


9/2=4 (8 четная)
Пишем 4
0 1 8 9*5
4 5


8/2+5=9 (1нечетная)
Пишем 9
0 1 8 9*5
9 4 5


0+0=0
Ничего не пишем
0 1 8 9*5
9 4 5


Умножение на 9:

Правило:
Шаг:
Пример:

1) Самую правую цифру числа вычесть из 10.
10-9=1
Пишем 1
0 1 8 9*9
1

2) Цифры находящиеся в середине числа, нужно вычитать из 9 и к ней прибавить «соседа».
9-8+9=10
0 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*9
0 1


9-1+8+1=17
7 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*9
7 0 1

3) Самую левую цифру уменьшить на 1 и к ней прибавить «соседа».
0-1+1+1=1
Пишем 1

0 1 8 9*9
1 7 0 1


ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Умножение на 8:

Правило:
Шаг:
Пример:

1) Самую правую цифру числа вычесть из 10 и умножить на 2.
(10-9)*2=2
Пишем 2
0 1 8 9*8
2

2) Цифры находящиеся в середине числа, нужно вычитать из 9, удвоить её и прибавить «соседа».
(9-8)*2+9=11
1 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*8
1 2


(9-1)*2+8+1=25 5 пишем, 2 запоминаем
0 1 8 9*8
5 1 2

3) Самую левую цифру уменьшить на 2.
0-2+2+1=1
Пишем 1

0 1 8 9*8
1 5 1 2


Умножение на 4:

Правило:
Шаг:
Пример:

1) Самую правую цифру числа вычесть из 10, если она нечетная нужно к ней прибавить 5.
10-9+5=6
Пишем 6
0 1 8 9*4
6

2) Цифры находящиеся в середине числа, нужно вычитать из 9, прибавить половину «соседа» и если она нечетная нужно к ней прибавить 5.
9-8+4=5
пишем 5
0 1 8 9*4
5 6


9-1+4+5=17
7 пишем, 1 запоминаем
0 1 8 9*4
7 5 6

3) Половину самой левой цифры уменьшить на 1.
0/2-1+1=0
Ничего не пишем

0 1 8 9*4
7 5 6


ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Умножение на 3:

Правило:
Шаг:
Пример:

1) Самую правую цифру вычесть из 10 и удвоить, если она нечетная нужно к ней прибавить 5.
(10-9)*2+5=7
Пишем 7
0 1 8 9 * 3
7

2) Цифры находящиеся в середине числа, нужно вычитать из 9, умножить на 2, прибавить половину «соседа», если она нечетная нужно к ней прибавить 5.
(9-8)*2+4=6
пишем 6
0 1 8 9 * 3
6 7


(9-1)*2+5+4=25
5 пишем, 2 запоминаем
0 1 8 9 * 3
5 6 7

3) Половину самой левой цифры уменьшить на 2.
0/2-2+2=0
Ничего не пишем

0 1 8 9 * 3
5 6 7




ПРИЛОЖЕНИЕ 3
Алгоритм сложения:

Правило:
Шаг:
Пример:

1) Счет ведем с любого столбца
(для примера начнем с левого); из данной суммы вычитаем 11, пока полученное число не станет меньше вычитаемого числа, ставим столько черточек над цифрой 7 столько раз, сколько мы вычли 11 и записываем под первым столбцом остаток от разности, а под остатком, кол-во поставленных чёрточек.
1+2+2+4+7=16
16-11=5
Ставим чёрточку.
1 0 0 9
2 0 0 4
2 5 4 3
4 3 0 2
7`0 8 9
5
1

2) То же самое проделываем с остальными столбцами
0+0+5+3+0=8 (чёрточек не ставим и не отнимаем 11, так как 11>8)
0+0+4+0+8=12 (11<12) вычитаем:
12-11=1
последний столбик:
9+4+3+2+9=27
(11<27)
27-11=16
(11<16)
16-11=5 (ставим две чёрточки и остаток - 5)
1 0 0 9
2 0 0 4
2 5 4 3
4 3 0 2
7`0 8`9``
5 8 1 5
1 0 1 2


3) Теперь нужно складывать то, что получилось под чертой по принципу буквы «L»
5+2+0=7
1+1+2=4
8+0+1=9
5+1+0=6
0+0+1=1

1 0 0 9
2 0 0 4
2 5 4 3
4 3 0 2
7`0 8`9``
0 5 8 1 5
0 1 0 1 2 0
1 6 9 4 7


ПРИЛОЖЕНИЕ 4
Алгоритм возведения в квадрат:

Правило:
Шаг:
Пример:

Чтобы найти последнюю цифру ответа, мы будем возводить в квадрат правую цифру числа.
6*6=36
Пишем 6, запоминаем 3
76*76
6

Чтобы найти следующую цифру ответа, нужно перемножить цифры возводимого в квадрат числа и умножить результат на 2
7*6=42
42*2=84
84+3=87
Пишем 7, запоминаем 8
76*76
76

Чтобы найти последние цифры ответа, нужно умножить саму на себя первую цифру возводимого в квадрат числа.

7*7=49
49+8=57

76*76
57 76


Справка: При возведении в квадрат двухзначных чисел, ответ может получиться размером от 3 до 4 знаков.
ПРИЛОЖЕНИЕ 5
Алгоритм деления:

Правило:
Шаг:
Пример:

Для начала построим столбец делителя, в котором 62 становиться верхним числом образующегося после десятикратного сложения 62 с самим собой
(это поможет нам во время деления).

Составляем столбец чисел:
62+62=124
124+62=186
186+62=248
248+62=310
310+62=372
372+62=434
434+62=496
496+62=558
558+62=620


6 2 (1)
6 2
1 2 4 (2)
6 2
1 8 6 (3)
6 2
2 4 8 (4)
6 2
3 1 0 (5)
6 2
3 7 2 (6)
6 2
4 3 4 (7)
6 2
4 9 6 (8)
6 2
5 5 8 (9)
6 2
6 2 0 (10)

После того, как мы составили столбец делителя, можно приступить к делению столбиком.

Делим столбиком,
то есть:
274-248=26
268-248=20
203-186=17
176-124=52
522-496=26
264-248=16
16(остаток)



6 2 (1) 27483624 = 443284
6 2 248
1 2 4 (2) 268
6 2 248
1 8 6 (3) 203
6 2 186
2 4 8 (4) 176
6 2 124
3 1 0 (5) 522
6 2 496
3 7 2 (6) 264
6 2 248
4 3 4 (7) 16
6 2
4 9 6 (8)
6 2
5 5 8 (9)
6 2
6 2 0 (10)












HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER142HYPER15


HYPER13PAGE HYPER15








0\leqslant r

Приложенные файлы

  • doc file12
    Размер файла: 222 kB Загрузок: 4