Практикум по математике для самостоятельной работы (СПО)


Департамент образования, науки и молодежной
политики Воронежской области

Областное государственное образовательное
учреждение
среднего профессионального образования
«Борисоглебский индустриальный техникум»






Е.А. Рязанова



практикум по МАТЕМАТИКе

для самостоятельной работы











Борисоглебск 2011



Рецензенты:
Б.У. Шарипов – доктор технических наук, профессор кафедры математики, информатики, физики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Борисоглебский государственный педагогический институт».
Е.А. Позднова – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информатики, физики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Борисоглебский государственный педагогический институт».





Печатается по решению учебно-методического совета ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный техникум»

Рязанова Е.А. Практикум по математике, предназначенный студентам юридическим и технических специальностей – Борисоглебск: ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный техникум», 2011. – 46 с., ил.


В пособии приведен необходимый теоретический материал, решения примеров и варианты заданий для самостоятельной работы при изучении разделов «Математики» «Дифференциальное и интегральное исчисления».
Практикум предназначен для организации самостоятельной работы студентов дневного отделения, а также студентам заочного отделения при самоподготовке.





© Е.А. Рязанова
© ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный
техникум», 2011.
Содержание

Введение
5

1 Дифференциальное исчисление ..
6

1.1 Производная функции
6

1.1.1 Примеры нахождения производной функции .....
8

1.1.2 Контрольные вопросы ...
8

1.1.3 Задания для самостоятельного решения ..
9

1.2 Производная сложной функции
9

1.2.1 Примеры нахождения производной сложной функции .....
9

1.2.2 Контрольные вопросы ...
11

1.2.3 Задания для самостоятельного решения ..
11

1.3 Производные высших порядков
11

1.3.1 Примеры нахождения производных высших порядков .....
11

1.3.2 Контрольные вопросы ...
12

1.3.3 Задания для самостоятельного решения ..
12

1.4 Дифференциал функции .
12

1.4.1 Примеры нахождения дифференциала функции
13

1.4.2 Контрольные вопросы ...
14

1.4.3 Задания для самостоятельного решения ..
14

1.5 Исследование функции при помощи производной .
15

1.5.1 Примеры исследования функции и построение ее графика ..
17

1.5.2 Контрольные вопросы ...
25

1.5.3 Задания для самостоятельного решения ..
25

1.6 Формула Тейлора
25

1.6.1 Примеры разложения функции по формуле Тейлора
26

1.6.2 Контрольные вопросы ...
26

1.6.3 Задания для самостоятельного решения ..
27

2 Интегральное исчисление .
27

2.1 Неопределенный интеграл .
27

2.1.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов по таблице ...
29

2.1.2 Контрольные вопросы ..
29

2.1.3 Задания для самостоятельного решения .
30

2.2 Основные методы интегрирования ...
30

2.2.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов ..
31

2.2.2 Контрольные вопросы ...
32

2.2.3 Задания для самостоятельного решения ..
32

2.3 Интегрирование рациональных выражений ..
32

2.3.1 Примеры интегрирования рациональных выражений ..
33

2.3.2 Контрольные вопросы ...
35

2.3.3 Задания для самостоятельного решения ..
35

2.4 Определенный интеграл .
35

2.4.1 Примеры нахождения определенных интегралов ..
36

2.4.2 Контрольные вопросы ...
39

2.4.3 Задания для самостоятельного решения ..
40

Варианты контрольной работы ...
41

Вопросы для подготовки к зачету ...
44

Рекомендуемая литература ..
45




Введение

Современное развитие российского общества ставит перед преподавателем задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации.
В связи с этим модернизация российского образования на современном этапе его развития «предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей».
В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.
ПРАКТИКУМ учебное пособие с практическими заданиями, упражнениями, помогающее освоить учебную дисциплину практически.
В данном пособии рассмотрены дифференциальное и интегральное исчисления, в частности, следующие вопросы:
производная функции;
дифференциал функции;
исследование функции при помощи производной;
неопределенный интеграл;
основные методы интегрирования;
определенный интеграл.
Данный практикум предназначен для использования в учебном процессе, в первую очередь для организации дифференцированной работы на практических занятиях и студентам для самостоятельной подготовки.
Практикум «Математика» позволит студентам научиться решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков, применять основные методы интегрирования при решении задач.
Пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования третьего поколения по специальностям «Право и организация социального обеспечения» и «Компьютерные системы и комплексы».

1. Дифференциальное исчисление

1.1. Производная функции

Пусть на некотором промежутке Х определена функция f(x). Возьмем любую точку х0 из Х и придадим аргументу х в точке х0 произвольное приращение (х такое, что точка х0 + (х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение
(у = f(х0 + (х) – f(х0).
Определение. Производной функции у = f(х) в точке х0 называется предел при (х(0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Символически это записывается так:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
или
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Если же предел отношения не существует, то говорят, что данная функция в точке х0 производной не имеет.
Теорема. Если функция у = f(х) имеет производную в точке х0, то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема неверна: функция может быть непрерывной в точке х0 и тем не менее в этой точке не иметь производной.
Функция, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на указанном промежутке, а операция нахождения производных называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале (a, b). Производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k = tg (0) к графику функции f(x) в точке М(х0; f(x0)).
Уравнение касательной к функции у = f(х) в точке М(х0,у0):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если в некоторой точке производная равна нулю (k = 0), то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох, а если же производная обращается в бесконечность (k = (), то это значит, что касательная в этой точке параллельна оси Оу.
Уравнение нормали к функции у = f(х) в точке М(х0,у0):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Физический смысл производной. Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения производной функции. Какую бы зависимость ни выражала функция у = f(х), отношение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – средняя скорость изменения у относительно изменения , а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – мгновенная скорость изменения у при некотором х = х0.
Для нахождения производных различных функций надо знать правила дифференцирования и таблицу производных.

Производные основных элементарных функций
Для основных элементарных функций
Для сложных функций HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Правила дифференцирования
Если и ( дифференцируемые функции, а ( постоянная, то:
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15 ( независимая переменная;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;

1.1.1 Примеры нахождения производной функции.
1) .
Решение.



.
2) .
Решение.

.
3) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

1.1.2 Контрольные вопросы:
Дайте определение производной.
В чем заключается геометрический смысл производной?
Записать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной через производную?
Назовите производные основных элементарных функций?
Перечислите правила дифференцирования.

1.1.3 Задания для самостоятельного решения:
Найти производную функции:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Тема 1.2. Производная сложной функции

Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым переменным аргументом х.
Для нахождения производной сложной функции надо: производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

1.2.1 Примеры нахождения производной сложной функции:
1)
Решение.
Обозначим , тогда
.
2)
Решение.
Обозначим , тогда
.
При вычислении производной сложной функции можно обойтись без введения переменных для обозначения промежуточных аргументов:
.
Дифференцирование начинается с внешней функции, при этом внутренняя функция , сколь громоздко она бы не выглядела, играет роль простого аргумента. Производная внутренней функции находится по обычным правилам.
3) 
Решение.

Функция , в свою очередь, является сложной, поэтому для нахождения ее производной еще раз применяют правило дифференцирования сложной функции:
.
Отсюда окончательно
.
4) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
5) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
6) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
7) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

1.2.2 Контрольные вопросы:
Дайте определение сложной функции.
Сформулируйте правило для нахождения производной сложной функции.
Запишите таблицу производных для элементарных сложных функций.

1.2.3 Задания для самостоятельного решения
Найти производную сложной функции:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Тема 1.3. Производные высших порядков

Производная функции называется производной первого порядка.
Производная функции называется производной второго порядка функции (или второй производной). Обозначается , , .
В общем случае производной n-го порядка называется производная от производной (n ( 1)-го порядка: . Обозначается , , .
Для обозначения производных порядка выше третьего используются арабские цифры в скобках.

1.3.1 Примеры нахождения производной высших порядков:
1) Найти производную второго порядка функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2) Найти производную третьего порядка функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3) Найти , если .
Решение.
,
,
.

1.3.2 Контрольные вопросы:
Какая производная называется производной первого порядка?
Дайте определение производной второго порядка.
Дайте определение производной n-го порядка.

1.3.3 Задания для самостоятельного решения
Найти производные второго порядка:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Тема 1.4. Дифференциал функции

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:
.
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) - линейного относительно , т.к. ;
2) - нелинейного относительно , т.к. .

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
.
Так как дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то дифференциал функции можно записать так:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
1)
2)
3)
4)
5)

1.4.1 Примеры нахождения дифференциала функции:
1) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
2) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
3) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
4) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
5) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

1.4.2 Контрольные вопросы:
Чему равно приращение функции из определения производной?
Дайте определение дифференциала функции.
Как найти дифференциал функции?
Что значит отношение ?

1.4.3 Задания для самостоятельного решения
Найти дифференциалы заданных функций:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.






Тема 1.5. Исследование функции с помощью производной

Условие монотонности функции. Если производная функции положительна (отрицательна) во всех точках интервала , то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности имеет место неравенство (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. В точке экстремума функции ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Функция может иметь экстремум только в тех точках области ее определения, в которых или не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточное условие экстремума. Пусть ( критическая точка функции . Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то ( точка максимума (точка минимума). Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.
График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная функции положительна (отрицательна) во всех точках интервала , то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале.
Точка графика функции , в которой выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба этого графика.
Необходимое условие точки перегиба. Если ( абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует. Точки области определения функции , в которых или не существует, называются критическими точками II рода.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть ( критическая точка II рода функции . Если при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то ( точка перегиба. Если же при переходе через точку производная не меняет знак, то точкой перегиба не является.
Асимптоты. Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности:
.
Прямая может быть вертикальной асимптотой в том случае, если ( точка разрыва или граничная точка области определения.
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (), если .
Наклонные асимптоты находятся по следующим формулам:
, .
Если , то асимптоту называют горизонтальной.

Общая схема исследования функции и построения графика.
Исследование функций осуществляют в следующей последовательности:
- определить область определения функции, выявить точки ее разрыва и точки пересечения с осями координат;
- определить четность или нечетность функции;
- найти все экстремумы, определить наибольшее и наименьшее значения функции;
- указать интервалы монотонности;
- найти точки перегиба данной функции;
- показать поведение функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента, а также вблизи точек разрыва и граничных точек области определения;
- определить асимптоты графика функции;
- составить таблицу значений функции, характерных точек;
- построить график функции.

1.5.1 Примеры исследования функции и построение ее графика.
1) Исследовать функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и построить ее график.
1. Область определения функции (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Точек разрыва нет, так как x2 + 1>0 при любом действительном значении х.
2. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.
3. При х = 0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда x2 + 1= 1 и х = 0. Следовательно, график функции пересекает оси координат в единственной точке О (0; 0) – начале координат.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим критическую точку х=0.
5. Точка х = 0 разбивает область определения функции на два интервала (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Примем значение х из первого интервала: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Из второго интервала возьмем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.Так как при х < HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 убывает, а при х>HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 возрастает. При этом, так как производная функции меняет знак с минуса на плюс, функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 достигает минимума, то есть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Заносим полученные данные в таблицу.
х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
0
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
-
0
+

у

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



6. Находим вторую производную
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим точки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, которые разделяют область определения функции на три интервала (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем х = –2, тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем х = 2, тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В этих интервалах кривая выпуклая вверх. В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем х = 0, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, следовательно, кривая выпуклая вниз.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеем точки перегиба. При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Заносим данные в таблицу.
х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
-1
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
1
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
-
0
+
0
-

у
выпуклая вверх
точка
перегиба
(0; ln2)
выпуклая вниз
точка
перегиба
(1; ln2)
выпуклая вверх


7. Функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 вертикальной асимптоты не имеет. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то наклонной асимптоты функция не имеет. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то функция не имеет горизонтальной асимптоты.
8. Строим график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.















2) Исследовать функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и построить ее график.
1. Функция определена и непрерывна на интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
2. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то функция четная. Ее график симметричен относительно оси ординат.
3. При х = 0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке (0; 1). Ось абсцисс график функции не пересекает, так как равенство HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ни при каких значениях х не выполняется.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим, что х = 0 – единственная критическая точка.
5. Точка х = 0 делит область определения функции на промежутки (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Из первого промежутка примем значение х = –1, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Из второго промежутка примем х = 1, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, в промежутке (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) функция возрастает, а в промежутке (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) – убывает. При х=0 функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет максимум, равный HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, так как функция меняет знак с плюса на минус. Заносим полученные данные в таблицу.

х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
0
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
+
0
-

у


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




6. Находим вторую производную функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, которые разделяют область определения функции на три интервала (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, в интервалах (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) кривая выпуклая вниз, а в интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) кривая выпуклая вверх.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, координаты точек перегиба (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).

Заносим полученные данные в таблицу.

х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
+
0

0
+

у
выпуклая вниз
точка перегиба (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
выпуклая вверх
точка перегиба (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
выпуклая вниз


7. Функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 вертикальной асимптоты не имеет. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то наклонной асимптоты функция не имеет. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то функция имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
8. Строим график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.













3) Исследовать функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и построить ее график.
1. При х = –1 и х = 1 функция терпит разрыв (у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Следовательно, область определения состоит из трех интервалов (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
2. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.
3. График функции не пересекает ось Ох, так как уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 не имеет действительных корней. При х = 0 у = –1, в точке (0; –1) график пересекает ось Оу.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим критическую точку х = 0.
5. Таким образом, область определения функции разбита на интервалы (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
Примем в первом интервале значение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Во втором интервале примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В третьем интервале примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В четвертом интервале примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, в интервалах (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) функция возрастает, а в интервалах (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) функция убывает. Функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при х = 0 достигает максимума HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, так как функция меняет знак с плюса на минус. Заносим данные в таблицу.
х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
0
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
+
+
0



у



HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




6. Находим вторую производную функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при любом х. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим точки х1 = –1 и х2 = 1, которые разделяют область определения функции на три интервала (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15), (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) и (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, в этих интервалах функция выпуклая вниз. В интервале (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, следовательно, кривая выпуклая вверх.
При стремлении аргумента к концам области определения соответственно получаем
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Заносим все данные в таблицу
х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14
·HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
+

+

у
выпуклая вниз
выпуклая вверх
выпуклая вниз


Точек перегиба график данной функции не имеет, так как производная в нуль нигде не обращается и не определена в тех же точках, в которых не определена и сама функция.
7. Так как при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция стремится к HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то она имеем две вертикальные асимптоты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция имеет горизонтальную асимптоту HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
8. Строим график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.














4) Исследовать функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и построить график.
1. Область определения функции: функция определена при всех значениях х, кроме HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2. Так как HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то функция нечетная, периодическая с периодом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. Исследуем данную функцию на промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция терпит разрыв (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т.е. функция не пересекает ось Ох.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Первая производная обращается в нуль в трех точках промежутка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
5. В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 примем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Следовательно, на промежутках HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция убывает, а на промежутках HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция возрастает.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция достигает минимума, так как она меняет знак с минуса на плюс. Значение функции в минимуме: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция достигает максимума, так как она меняет знак с плюса на минус. Значение функции в максимуме: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция достигает минимума, так как она меняет знак с минуса на плюс. Значение функции в минимуме: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Заносим полученные результаты в таблицу.
х
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0
+
0

0
+

у


min


max


min




6. Находим вторую производную:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 находим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Следовательно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 обращается в нуль в двух точках промежутка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15: в промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и в промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, на этом промежутке функция выпуклая вниз.
В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, на этом промежутке функция выпуклая вверх.
В промежутке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Следовательно, на этом промежутке функция выпуклая вниз.
При х1 и х2 вторая производная меняет знак, следовательно, точки кривой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с абсциссами х1 и х2 являются ее точками перегиба.
Вносим полученные результаты в таблицу.
х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
+
0

0
+

у
выпуклая вниз
точка перегиба
выпуклая вверх
точка перегиба
выпуклая вниз


7. Исследуем поведение функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в граничных точках HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Следовательно, в точках HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 имеет вертикальные асимптоты.
Строим график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (рис. 48).

















1.5.2 Контрольные вопросы.
Дайте определение функции.
Какая функция называется возрастающей (убывающей)?
Дайте определение экстремума функции. Максимум, минимум функции.
Какой график называется вогнутым (выпуклым)?
Что называется асимптотой графика функции?
Из каких этапов состоит общая схема исследования функции и построения графика?

1.5.3 Задания для самостоятельного решения
1. .
6. .

2. .
7. .

3. .
8. .

4. .
9. .

5. .
10. .


Тема 1.6. Формула Тейлора

Если функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 определена в некоторой окрестности точки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и имеет в ней производные до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 такая, что справедлива формула
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Эта формула называется формулой Тейлора.
Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
При HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1.6.1 Примеры разложения функции по формуле Тейлора
1) Разложить функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 по формуле Тейлора в окрестности точки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
Вычислим значение функции и ее производных в точке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Подставляя полученные значения в формулу Тейлора, получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2) Разложить функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 формуле Маклорена.
Решение.
Вычислим значение функции и ее производных в точке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,




Подставляя полученные значения в формулу Маклорена, получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

1.6.2 Контрольные вопросы
С помощью какой формулы можно вычислить приближенное значение функции?
Если формулу Тейлора рассмотреть для случая HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то какой вид она примет и как называется?
Разложите функцию HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 по формуле Маклорена.


1.6.3 Задания для самостоятельного решения
Разложите функции по формуле Маклорена:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Разложите функции по формуле Тейлора:
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Раздел 2. Интегральное исчисление

Тема 2.1. Неопределенный интеграл

Функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называется первообразной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на интервале (a;b), если для любого HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 выполняется равенство
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Множество всех первообразных функций HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 называется неопределенным интегралом от функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и обозначается символом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - подынтегральная функция, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- знак неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
1. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
5. Если HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Таблица основных интегралов.
1. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
11. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
12. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
13. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
14. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
15. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
16. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
17. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Заменив HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15 на HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15, по свойствам неопределенного интеграла можно получить следующие дополнительные формулы таблицы неопределенных интегралов:
18. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
19. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
20. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
21. HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
Эти формулы очень часто применяются при вычислении неопределенных интегралов.

2.1.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов по таблице
1) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
2)

3) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
4) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
5) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

2.1.2 Контрольные вопросы
Дайте определение первообразной?
Что называется неопределенным интегралом? Обозначение.
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
Найдите первообразные основных элементарных функций (таблица неопределенных интегралов).




2.1.3 Задания для самостоятельного решения
Вычислите неопределенные интегралы
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Тема 2.2. Основные методы интегрирования

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).
Формула интегрирования заменой переменной:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Для нахождения неопределенного интеграла чаще всего вводят такую замену HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, чтобы исходный интеграл содержал множитель HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пример. Найдем неопределенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Введем подстановку (замену) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Формулу замены переменной можно использовать и в обратном порядке.
Пример. Найти неопределенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Введем подстановку HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Получим интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Далее необходимо выражение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 представить в виде суммы простых выражений. Для этого разделим столбиком t3 на t+1:
t3 t+1
-(t3+ t2 ) t2- t+1
- t2
-(- t2-t)
t
-(t+1)
-1
Получили: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Метод интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Подынтегральное выражение заданного интеграла HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 представляют каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Затем находят HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, вычисляя первообразную для HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, вычисляя производную HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 по dx.
Интегрирование по частям целесообразно применять к неопределенным интегралам вида:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - многочлен n-ой степени.
Причем заменяют следующим образом: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а стальное - за dv. Исключение составляет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Часто приходится применять интегрирование по частям несколько раз.
Пример. Найти HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Введем подстановку HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. По формуле интегрирования по частям получим: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Для вычисления HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 снова применим метод интегрирования по частям: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

2.2.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов
1) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15.
Решение.
Применим формулу интегрирования по частям:
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
Обозначим: HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

2.2.2 Контрольные вопросы:
Какие основные методы интегрирования вы знаете? Можно ли отнести к методам интегрирования нахождение интеграла по таблице первообразных?
В чем заключается метод интегрирования подстановкой?
В чем заключается метод интегрирования по частям?
Для каких подынтегральных выражений применяют метод интегрирования по частям?

2.2.3 Задания для самостоятельного решения
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Тема 2.3. Интегрирование рациональных выражений

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - многочлен степени m, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - многочлен степени n.
Рациональная дробь называется правильной, если степень знаменателя, т.е. mВсякую неправильную дробь HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 можно путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и правильной рациональной дроби HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т.е.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Правильные (простейшие) рациональные дроби:
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (корни знаменателя комплексные, т.е. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15);
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, корни знаменателя комплексные),
где A, a, M, N, p, q – действительные числа.

Интегрирование простейших рациональных дробей.
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Для решения четвертого вида простейших уравнений необходимо применять разного вида подстановки в зависимости от интеграла.

Общее правило интегрирования рациональных дробей.
1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

2.3.1 Примеры интегрирования рациональных выражений:
1) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
Решение.
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
В правой части последнего равенства раскроем скобки и приравняем коэффициенты при HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15, при x и свободные члены:
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15;
Получим следующую систему:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
при решении которой получаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
2) HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
Решение.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
Получим следующую систему:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
при решении которой получаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.DSMT4 HYPER14HYPER15

2.3.2 Контрольные вопросы:
Какая функция называется дробно-рациональной?
Какая рациональная дробь называется правильной?
Чему равняются неопределенные интегралы простейших рациональных дробей?
В чем заключается общее правило интегрирования рациональных дробей?

2.3.3 Задания для самостоятельного решения
Найти интеграл от рационального выражения в неопределенном интеграле:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Тема 2.4. Определенный интеграл

Определенный интеграл от функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на отрезке [a, b] называется число, равное

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a, b] – промежутком интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
1. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, но сохраняет абсолютное значение:

2. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций

Формула Ньютона  Лейбница.
Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 есть первообразная от непрерывной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то справедлива формула

По формуле Ньютона – Лейбница сначала находят первообразную, а затем находят разность первообразных, соответственно, при верхнем и нижнем значении предела.
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 непрерывна на отрезке [a, b]. Введем новую переменную t по формуле HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, функция HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и ее производная HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 непрерывны на отрезке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 определена и непрерывна на отрезке HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то

Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям в определенном интеграле выполняется по формуле


2.4.1 Примеры нахождения определенного интеграла
1) Вычислить интеграл:

Решение.
Представим определенный интеграл в виде суммы двух интегралов и для каждого из них воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

2) Вычислить интеграл:

Решение.
Подынтегральная функция есть произведение двух нечетных функций, то есть является четной функцией, поэтому

3) Вычислить интеграл:

Решение.
В силу нечетности подынтегральной функции и симметричности пределов интегрирования данный определенный интеграл равен нулю

4) Вычислить интеграл:

Решение.
Подынтегральная функция имеет период
·, поэтому из верхнего и нижнего пределов интегрирования можно вычесть 2
·. Определенный интеграл примет вид:


5) Вычислить интеграл:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
Сделаем замену переменной HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Находим новые пределы интегрирования: при х = 0, t = 0 и при х = 3, t = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Интеграл примет вид

6) Вычислить интеграл:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
Полагаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Находим новые пределы интегрирования: при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, t = 2 и при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, t = 3. Отсюда

7) Вычислить интеграл:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение.
Сделаем замену HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Перейдем к новым пределам интегрирования: при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Интеграл примет вид:

8) Вычислить интеграл:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
В данном определенном интеграле первообразная не выражается через элементарные функции. Воспользуемся искусственным приемом. Сделаем подстановку HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Таким образом,



Последние два интеграла равны между собой, так как приводится к другому с помощью подстановки HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Действительно, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, причем при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и интеграл равен


9) Вычислить интеграл:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение.
Полагаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


10) Вычислить интеграл:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение.
Полагаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.



2.4.2 Контрольные вопросы:
В чем заключаются свойства определенного интеграла?
Как записывается формула Ньютона-Лейбница?
Как вычисляется определенный интеграл с помощью замены переменной?
В чем заключается метод интегрирования по частям в определенном интеграле?




2.4.3 Задания для самостоятельного решения
Найти определенный интеграл:
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
5. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
6. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
7. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
8. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
9. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
10. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.


Варианты контрольной работы

Вариант 1.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
б) f(x) = (x3-1)(x2+x+1);
в) f(x) = ln3x.
2. Найти HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 сложной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. Исследовать на экстремум следующую функцию
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
4. Вычислить интеграл с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл методом подстановки.
6. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, прямыми х = 1, х = 4 и отрезком оси абсцисс.


Вариант 2.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
б) f(x) = (3x2+1)(2x2+3);
в) f(x) = ln(2x2-3).
2. Найдите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 сложной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. Исследовать на экстремум следующую функцию
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
4. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 методом подстановки.
6. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 методом интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и отрезком прямой х = 2.

Вариант 3.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
б) f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
в) f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2. Найдите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 сложной функции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на отрезке [-2; 2]
4. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 методом подстановки.
6. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 методом интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой у = sin x и осью Ох, если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Вариант 4.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. Найдите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 сложной функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на отрезке [-4; 2].
4. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 методом подстановки.
6. Вычислить интеграл методом HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = 2х2, прямыми
х = 0, х = 3 и осью Ох.


Примерные вопросы для подготовки к зачету по
«Дифференциальному и интегральному исчислению»

Определение производной.
Геометрический и физический смысл производной.
Правила дифференциального исчисления.
Таблица производных.
Производная сложной функции.
Дифференциал функции.
Производные высших порядков.
Исследование функции с помощью производной.
Формула Тейлора.
Первообразная функции.
Неопределенный интеграл.
Метод вычисления неопределенных интегралов: замены переменной.
Метод вычисления неопределенных интегралов: по частям.
Интегрирование рациональных выражений.
Интегрирование иррациональных выражений.
Определенный интеграл.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой.
Приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры.


Рекомендуемая литература

Башмаков М.И. Математика / М.И. Башмаков. – М.: ОИЦ «Академия», 2010.
Березина Н.А., Максина Е.П. Математика / Н.А. Березина, Е.П. Максина. – М.: ИД «Риор», 2007.
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике / Н.В. Богомолов. – ООО «Дрофа», 2006.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.: Изд-во «Дрофа», 2009.
Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – М.: Изд-во «Дрофа», 2009.
Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. – М.: ОИЦ «Академия», 2009.
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. – М.: Изд.центр «Академия», 2008.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2009.





Научно-методическое издание





ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ
для самостоятельной работы












Печатается с авторских дискет


Подписано в печать 22.12.11
Бумага офсетная. Печать трафаретная
формат 62х94/8,6. п.л. Тираж 100 экз.


ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный техникум»,
397160 г. Борисоглебск Воронежской области, ул. Свободы, 185


Отпечатано ООО «Кристина и К»
397160 Борисоглебск, ул. Свободы 188в, т. (47354) 6-16-20














HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1446HYPER15
















HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

y

ln2

0

x

1

-1

0,

х

у

1

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

у

3

0

х

1

-1

-1

0

у

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

х

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

х2

х1

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

0



 ц ~Ђцш
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·O Эмблема%204Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativesEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc posobie_matematika_spo
    Практикум по математике для самостоятельной работы (СПО)
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 18