Практикум по математике для самостоятельной работы (СПО)


Департамент образования, науки и молодежной
политики Воронежской области

Областное государственное образовательное
учреждение
среднего профессионального образования
«Борисоглебский индустриальный техникум»






Е.А. Рязанова



практикум по МАТЕМАТИКе

для самостоятельной работы











Борисоглебск 2011



Рецензенты:
Б.У. Шарипов – доктор технических наук, профессор кафедры математики, информатики, физики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Борисоглебский государственный педагогический институт».
Е.А. Позднова – кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, информатики, физики и методики их преподавания ФГБОУ ВПО «Борисоглебский государственный педагогический институт».





Печатается по решению учебно-методического совета ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный техникум»

Рязанова Е.А. Практикум по математике, предназначенный студентам юридическим и технических специальностей – Борисоглебск: ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный техникум», 2011. – 46 с., ил.


В пособии приведен необходимый теоретический материал, решения примеров и варианты заданий для самостоятельной работы при изучении разделов «Математики» «Дифференциальное и интегральное исчисления».
Практикум предназначен для организации самостоятельной работы студентов дневного отделения, а также студентам заочного отделения при самоподготовке.





© Е.А. Рязанова
© ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный
техникум», 2011.
Содержание

Введение
5

1 Дифференциальное исчисление ..
6

1.1 Производная функции
6

1.1.1 Примеры нахождения производной функции .....
8

1.1.2 Контрольные вопросы ...
8

1.1.3 Задания для самостоятельного решения ..
9

1.2 Производная сложной функции
9

1.2.1 Примеры нахождения производной сложной функции .....
9

1.2.2 Контрольные вопросы ...
11

1.2.3 Задания для самостоятельного решения ..
11

1.3 Производные высших порядков
11

1.3.1 Примеры нахождения производных высших порядков .....
11

1.3.2 Контрольные вопросы ...
12

1.3.3 Задания для самостоятельного решения ..
12

1.4 Дифференциал функции .
12

1.4.1 Примеры нахождения дифференциала функции
13

1.4.2 Контрольные вопросы ...
14

1.4.3 Задания для самостоятельного решения ..
14

1.5 Исследование функции при помощи производной .
15

1.5.1 Примеры исследования функции и построение ее графика ..
17

1.5.2 Контрольные вопросы ...
25

1.5.3 Задания для самостоятельного решения ..
25

1.6 Формула Тейлора
25

1.6.1 Примеры разложения функции по формуле Тейлора
26

1.6.2 Контрольные вопросы ...
26

1.6.3 Задания для самостоятельного решения ..
27

2 Интегральное исчисление .
27

2.1 Неопределенный интеграл .
27

2.1.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов по таблице ...
29

2.1.2 Контрольные вопросы ..
29

2.1.3 Задания для самостоятельного решения .
30

2.2 Основные методы интегрирования ...
30

2.2.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов ..
31

2.2.2 Контрольные вопросы ...
32

2.2.3 Задания для самостоятельного решения ..
32

2.3 Интегрирование рациональных выражений ..
32

2.3.1 Примеры интегрирования рациональных выражений ..
33

2.3.2 Контрольные вопросы ...
35

2.3.3 Задания для самостоятельного решения ..
35

2.4 Определенный интеграл .
35

2.4.1 Примеры нахождения определенных интегралов ..
36

2.4.2 Контрольные вопросы ...
39

2.4.3 Задания для самостоятельного решения ..
40

Варианты контрольной работы ...
41

Вопросы для подготовки к зачету ...
44

Рекомендуемая литература ..
45




Введение

Современное развитие российского общества ставит перед преподавателем задачу воспитания личности, которая могла бы самостоятельно и критически мыслить, сопоставлять и анализировать факты, находить различные варианты решения возникающих проблем, выбирать из них оптимальные, учитывая различные условия и конкретные ситуации.
В связи с этим модернизация российского образования на современном этапе его развития «предполагает ориентацию образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных возможностей».
В свете этих тенденций изменяется приоритет математического образования, которое на современном этапе рассматривается как процесс становления личности человека посредством овладения им основами математических знаний.
ПРАКТИКУМ учебное пособие с практическими заданиями, упражнениями, помогающее освоить учебную дисциплину практически.
В данном пособии рассмотрены дифференциальное и интегральное исчисления, в частности, следующие вопросы:
производная функции;
дифференциал функции;
исследование функции при помощи производной;
неопределенный интеграл;
основные методы интегрирования;
определенный интеграл.
Данный практикум предназначен для использования в учебном процессе, в первую очередь для организации дифференцированной работы на практических занятиях и студентам для самостоятельной подготовки.
Практикум «Математика» позволит студентам научиться решать задачи на отыскание производной сложной функции, производных второго и высших порядков, применять основные методы интегрирования при решении задач.
Пособие разработано в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования третьего поколения по специальностям «Право и организация социального обеспечения» и «Компьютерные системы и комплексы».

1. Дифференциальное исчисление

1.1. Производная функции

Пусть на некотором промежутке Х определена функция f(x). Возьмем любую точку х0 из Х и придадим аргументу х в точке х0 произвольное приращение (х такое, что точка х0 + (х также будет принадлежать Х. Функция получит приращение
(у = f(х0 + (х) – f(х0).
Определение. Производной функции у = f(х) в точке х0 называется предел при (х(0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента (при условии, что этот предел существует).
Символически это записывается так:
13 EMBED Equation.3 1415
или
13 EMBED Equation.3 1415
Если же предел отношения не существует, то говорят, что данная функция в точке х0 производной не имеет.
Теорема. Если функция у = f(х) имеет производную в точке х0, то она в этой точке непрерывна.
Обратная теорема неверна: функция может быть непрерывной в точке х0 и тем не менее в этой точке не иметь производной.
Функция, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на указанном промежутке, а операция нахождения производных называется дифференцированием.
Геометрический смысл производной. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на интервале (a, b). Производная функции f(x) в точке х0 равна угловому коэффициенту касательной (13 EMBED Equation.3 1415k = tg (0) к графику функции f(x) в точке М(х0; f(x0)).
Уравнение касательной к функции у = f(х) в точке М(х0,у0):
13 EMBED Equation.3 1415.
Если в некоторой точке производная равна нулю (k = 0), то касательная к графику функции в этой точке параллельна оси Ох, а если же производная обращается в бесконечность (k = (), то это значит, что касательная в этой точке параллельна оси Оу.
Уравнение нормали к функции у = f(х) в точке М(х0,у0):
13 EMBED Equation.3 1415.
Физический смысл производной. Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения производной функции. Какую бы зависимость ни выражала функция у = f(х), отношение 13 EMBED Equation.3 1415 – средняя скорость изменения у относительно изменения , а 13 EMBED Equation.3 1415 – мгновенная скорость изменения у при некотором х = х0.
Для нахождения производных различных функций надо знать правила дифференцирования и таблицу производных.

Производные основных элементарных функций
Для основных элементарных функций
Для сложных функций 13 EMBED Equation.DSMT4 1415

13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Правила дифференцирования
Если и ( дифференцируемые функции, а ( постоянная, то:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( независимая переменная;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;

1.1.1 Примеры нахождения производной функции.
1) .
Решение.



.
2) .
Решение.

.
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1.1.2 Контрольные вопросы:
Дайте определение производной.
В чем заключается геометрический смысл производной?
Записать уравнения касательной и нормали к кривой, заданной через производную?
Назовите производные основных элементарных функций?
Перечислите правила дифференцирования.

1.1.3 Задания для самостоятельного решения:
Найти производную функции:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.


Тема 1.2. Производная сложной функции

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым переменным аргументом х.
Для нахождения производной сложной функции надо: производную данной функции по промежуточному аргументу умножить на производную промежуточного аргумента по независимому аргументу.

1.2.1 Примеры нахождения производной сложной функции:
1)
Решение.
Обозначим , тогда
.
2)
Решение.
Обозначим , тогда
.
При вычислении производной сложной функции можно обойтись без введения переменных для обозначения промежуточных аргументов:
.
Дифференцирование начинается с внешней функции, при этом внутренняя функция , сколь громоздко она бы не выглядела, играет роль простого аргумента. Производная внутренней функции находится по обычным правилам.
3) 
Решение.

Функция , в свою очередь, является сложной, поэтому для нахождения ее производной еще раз применяют правило дифференцирования сложной функции:
.
Отсюда окончательно
.
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
6) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
7) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1.2.2 Контрольные вопросы:
Дайте определение сложной функции.
Сформулируйте правило для нахождения производной сложной функции.
Запишите таблицу производных для элементарных сложных функций.

1.2.3 Задания для самостоятельного решения
Найти производную сложной функции:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5.13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10.13 EMBED Equation.3 1415.


Тема 1.3. Производные высших порядков

Производная функции называется производной первого порядка.
Производная функции называется производной второго порядка функции (или второй производной). Обозначается , , .
В общем случае производной n-го порядка называется производная от производной (n ( 1)-го порядка: . Обозначается , , .
Для обозначения производных порядка выше третьего используются арабские цифры в скобках.

1.3.1 Примеры нахождения производной высших порядков:
1) Найти производную второго порядка функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
2) Найти производную третьего порядка функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
3) Найти , если .
Решение.
,
,
.

1.3.2 Контрольные вопросы:
Какая производная называется производной первого порядка?
Дайте определение производной второго порядка.
Дайте определение производной n-го порядка.

1.3.3 Задания для самостоятельного решения
Найти производные второго порядка:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.


Тема 1.4. Дифференциал функции

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при . Отсюда:
.
Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:
1) - линейного относительно , т.к. ;
2) - нелинейного относительно , т.к. .

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:
.
Так как дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: 13 EMBED Equation.3 1415, то дифференциал функции можно записать так:
13 EMBED Equation.3 1415.
Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .
Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.
1)
2)
3)
4)
5)

1.4.1 Примеры нахождения дифференциала функции:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

1.4.2 Контрольные вопросы:
Чему равно приращение функции из определения производной?
Дайте определение дифференциала функции.
Как найти дифференциал функции?
Что значит отношение ?

1.4.3 Задания для самостоятельного решения
Найти дифференциалы заданных функций:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.






Тема 1.5. Исследование функции с помощью производной

Условие монотонности функции. Если производная функции положительна (отрицательна) во всех точках интервала , то функция возрастает (убывает) на этом интервале.
Точка называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такая окрестность этой точки, что для всех  из этой окрестности имеет место неравенство (). Точки максимума и минимума называются точками экстремума.
Необходимое условие экстремума. В точке экстремума функции ее производная либо равна нулю, либо не существует.
Функция может иметь экстремум только в тех точках области ее определения, в которых или не существует. Такие точки называются критическими.
Достаточное условие экстремума. Пусть ( критическая точка функции . Если при переходе через точку слева направо производная меняет знак с плюса на минус (с минуса на плюс), то ( точка максимума (точка минимума). Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.
График функции называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен не выше (не ниже) касательной, проведенной в любой точке этого интервала.
Достаточное условие выпуклости (вогнутости). Если вторая производная функции положительна (отрицательна) во всех точках интервала , то график функции является вогнутым (выпуклым) на этом интервале.
Точка графика функции , в которой выпуклость меняется на вогнутость или наоборот, называется точкой перегиба этого графика.
Необходимое условие точки перегиба. Если ( абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует. Точки области определения функции , в которых или не существует, называются критическими точками II рода.
Достаточное условие точки перегиба. Пусть ( критическая точка II рода функции . Если при переходе через эту точку вторая производная меняет знак, то ( точка перегиба. Если же при переходе через точку производная не меняет знак, то точкой перегиба не является.
Асимптоты. Прямая называется асимптотой графика функции , если расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки от начала координат.
Прямая является вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке равен бесконечности:
.
Прямая может быть вертикальной асимптотой в том случае, если ( точка разрыва или граничная точка области определения.
Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при (), если .
Наклонные асимптоты находятся по следующим формулам:
, .
Если , то асимптоту называют горизонтальной.

Общая схема исследования функции и построения графика.
Исследование функций осуществляют в следующей последовательности:
- определить область определения функции, выявить точки ее разрыва и точки пересечения с осями координат;
- определить четность или нечетность функции;
- найти все экстремумы, определить наибольшее и наименьшее значения функции;
- указать интервалы монотонности;
- найти точки перегиба данной функции;
- показать поведение функции при неограниченном возрастании (или убывании) аргумента, а также вблизи точек разрыва и граничных точек области определения;
- определить асимптоты графика функции;
- составить таблицу значений функции, характерных точек;
- построить график функции.

1.5.1 Примеры исследования функции и построение ее графика.
1) Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
1. Область определения функции (13 EMBED Equation.3 1415). Точек разрыва нет, так как x2 + 1>0 при любом действительном значении х.
2. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.
3. При х = 0 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, тогда x2 + 1= 1 и х = 0. Следовательно, график функции пересекает оси координат в единственной точке О (0; 0) – начале координат.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из условия 13 EMBED Equation.3 1415 находим критическую точку х=0.
5. Точка х = 0 разбивает область определения функции на два интервала (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415). Примем значение х из первого интервала: 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Из второго интервала возьмем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.Так как при х < 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, функция 13 EMBED Equation.3 1415 убывает, а при х>13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастает. При этом, так как производная функции меняет знак с минуса на плюс, функция 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 13 EMBED Equation.3 1415 достигает минимума, то есть 13 EMBED Equation.3 1415. Заносим полученные данные в таблицу.
х
(13 EMBED Equation.3 1415)
0
(13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415
-
0
+

у

13 EMBED Equation.3 1415



6. Находим вторую производную
13 EMBED Equation.3 1415.
Из условия 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 находим точки 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, которые разделяют область определения функции на три интервала (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415). В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем х = –2, тогда
13 EMBED Equation.3 1415. В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем х = 2, тогда
13 EMBED Equation.3 1415. В этих интервалах кривая выпуклая вверх. В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем х = 0, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, кривая выпуклая вниз.
При 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеем точки перегиба. При 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Заносим данные в таблицу.
х
(13 EMBED Equation.3 1415)
-1
(13 EMBED Equation.3 1415)
1
(13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415
-
0
+
0
-

у
выпуклая вверх
точка
перегиба
(0; ln2)
выпуклая вниз
точка
перегиба
(1; ln2)
выпуклая вверх


7. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 вертикальной асимптоты не имеет. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то наклонной асимптоты функция не имеет. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция не имеет горизонтальной асимптоты.
8. Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415.















2) Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
1. Функция определена и непрерывна на интервале (13 EMBED Equation.3 1415).
2. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция четная. Ее график симметричен относительно оси ординат.
3. При х = 0 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке (0; 1). Ось абсцисс график функции не пересекает, так как равенство 13 EMBED Equation.3 1415 ни при каких значениях х не выполняется.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции 13 EMBED Equation.3 1415. Из условия 13 EMBED Equation.3 1415 находим, что х = 0 – единственная критическая точка.
5. Точка х = 0 делит область определения функции на промежутки (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415). Из первого промежутка примем значение х = –1, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Из второго промежутка примем х = 1, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, в промежутке (13 EMBED Equation.3 1415) функция возрастает, а в промежутке (13 EMBED Equation.3 1415) – убывает. При х=0 функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет максимум, равный 13 EMBED Equation.3 1415, так как функция меняет знак с плюса на минус. Заносим полученные данные в таблицу.

х
(13 EMBED Equation.3 1415)
0
(13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415
+
0
-

у


13 EMBED Equation.3 1415




6. Находим вторую производную функции
13 EMBED Equation.3 1415. Из условия 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 находим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, которые разделяют область определения функции на три интервала (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415). В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, в интервалах (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415) кривая выпуклая вниз, а в интервале (13 EMBED Equation.3 1415) кривая выпуклая вверх.
При 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, координаты точек перегиба (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415).

Заносим полученные данные в таблицу.

х
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415
+
0

0
+

у
выпуклая вниз
точка перегиба (13 EMBED Equation.3 1415)
выпуклая вверх
точка перегиба (13 EMBED Equation.3 1415)
выпуклая вниз


7. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 вертикальной асимптоты не имеет. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то наклонной асимптоты функция не имеет. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция имеет горизонтальную асимптоту у = 0.
8. Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415.













3) Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить ее график.
1. При х = –1 и х = 1 функция терпит разрыв (у = 13 EMBED Equation.3 1415). Следовательно, область определения состоит из трех интервалов (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415).
2. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция четная, ее график симметричен относительно оси ординат.
3. График функции не пересекает ось Ох, так как уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет действительных корней. При х = 0 у = –1, в точке (0; –1) график пересекает ось Оу.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции 13 EMBED Equation.3 1415. Из условия 13 EMBED Equation.3 1415 находим критическую точку х = 0.
5. Таким образом, область определения функции разбита на интервалы (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415).
Примем в первом интервале значение 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Во втором интервале примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В третьем интервале примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В четвертом интервале примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, в интервалах (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415) функция возрастает, а в интервалах (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415) функция убывает. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 0 достигает максимума 13 EMBED Equation.3 1415, так как функция меняет знак с плюса на минус. Заносим данные в таблицу.
х
(13 EMBED Equation.3 1415)
(13 EMBED Equation.3 1415)
0
(13 EMBED Equation.3 1415)
(13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415
+
+
0



у



13 EMBED Equation.3 1415




6. Находим вторую производную функции 13 EMBED Equation.3 1415. Из условия 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 при любом х. 13 EMBED Equation.3 1415 находим точки х1 = –1 и х2 = 1, которые разделяют область определения функции на три интервала (13 EMBED Equation.3 1415), (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415). В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, в этих интервалах функция выпуклая вниз. В интервале (13 EMBED Equation.3 1415) примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, кривая выпуклая вверх.
При стремлении аргумента к концам области определения соответственно получаем
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Заносим все данные в таблицу
х
(13 EMBED Equation.3 1415)
(13 EMBED Equation.3 1415)
(13 EMBED Equation.3 14
·15)

13 EMBED Equation.3 1415
+

+

у
выпуклая вниз
выпуклая вверх
выпуклая вниз


Точек перегиба график данной функции не имеет, так как производная в нуль нигде не обращается и не определена в тех же точках, в которых не определена и сама функция.
7. Так как при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 функция стремится к 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то она имеем две вертикальные асимптоты 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 функция имеет горизонтальную асимптоту 13 EMBED Equation.3 1415.
8. Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415.














4) Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415 и построить график.
1. Область определения функции: функция определена при всех значениях х, кроме 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то функция нечетная, периодическая с периодом 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Исследуем данную функцию на промежутке 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 функция терпит разрыв (13 EMBED Equation.3 1415). При 13 EMBED Equation.3 1415 имеем 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. функция не пересекает ось Ох.
4. Находим критические точки функции. Первая производная функции:
13 EMBED Equation.3 1415.
Первая производная обращается в нуль в трех точках промежутка 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
5. В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда:
13 EMBED Equation.3 1415. В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 примем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, на промежутках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 функция убывает, а на промежутках 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 функция возрастает.
При 13 EMBED Equation.3 1415 функция достигает минимума, так как она меняет знак с минуса на плюс. Значение функции в минимуме: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 функция достигает максимума, так как она меняет знак с плюса на минус. Значение функции в максимуме: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 функция достигает минимума, так как она меняет знак с минуса на плюс. Значение функции в минимуме: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Заносим полученные результаты в таблицу.
х
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
(13 EMBED Equation.3 1415)

13 EMBED Equation.3 1415

0
+
0

0
+

у


min


max


min




6. Находим вторую производную:
13 EMBED Equation.3 1415.
Из условия 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 находим 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 обращается в нуль в двух точках промежутка 13 EMBED Equation.3 1415: в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 и в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415.
В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, на этом промежутке функция выпуклая вниз.
В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, на этом промежутке функция выпуклая вверх.
В промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, на этом промежутке функция выпуклая вниз.
При х1 и х2 вторая производная меняет знак, следовательно, точки кривой 13 EMBED Equation.3 1415 с абсциссами х1 и х2 являются ее точками перегиба.
Вносим полученные результаты в таблицу.
х
13 EMBED Equation.3 1415
х1
13 EMBED Equation.3 1415
х2
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
+
0

0
+

у
выпуклая вниз
точка перегиба
выпуклая вверх
точка перегиба
выпуклая вниз


7. Исследуем поведение функции 13 EMBED Equation.3 1415 в граничных точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, в точках 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 функция 13 EMBED Equation.3 1415 имеет вертикальные асимптоты.
Строим график функции 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 48).

















1.5.2 Контрольные вопросы.
Дайте определение функции.
Какая функция называется возрастающей (убывающей)?
Дайте определение экстремума функции. Максимум, минимум функции.
Какой график называется вогнутым (выпуклым)?
Что называется асимптотой графика функции?
Из каких этапов состоит общая схема исследования функции и построения графика?

1.5.3 Задания для самостоятельного решения
1. .
6. .

2. .
7. .

3. .
8. .

4. .
9. .

5. .
10. .


Тема 1.6. Формула Тейлора

Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 определена в некоторой окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415 и имеет в ней производные до 13 EMBED Equation.3 1415 -го порядка включительно, то для любого х из этой окрестности найдется точка 13 EMBED Equation.3 1415 такая, что справедлива формула
13 EMBED Equation.3 1415
Эта формула называется формулой Тейлора.
Формула Тейлора позволяет, при определенных условиях, приближенно представить функцию 13 EMBED Equation.3 1415 в виде многочлена и дать оценку погрешности этого приближения.
При 13 EMBED Equation.3 1415 получаем частный случай формулы Тейлора – формулу Маклорена:
13 EMBED Equation.3 1415

1.6.1 Примеры разложения функции по формуле Тейлора
1) Разложить функцию 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Тейлора в окрестности точки 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Вычислим значение функции и ее производных в точке 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.

Подставляя полученные значения в формулу Тейлора, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.
2) Разложить функцию 13 EMBED Equation.3 1415 формуле Маклорена.
Решение.
Вычислим значение функции и ее производных в точке 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,




Подставляя полученные значения в формулу Маклорена, получим:
13 EMBED Equation.3 1415.

1.6.2 Контрольные вопросы
С помощью какой формулы можно вычислить приближенное значение функции?
Если формулу Тейлора рассмотреть для случая 13 EMBED Equation.3 1415, то какой вид она примет и как называется?
Разложите функцию 13 EMBED Equation.3 1415 по формуле Маклорена.


1.6.3 Задания для самостоятельного решения
Разложите функции по формуле Маклорена:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415.

Разложите функции по формуле Тейлора:
6. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.


Раздел 2. Интегральное исчисление

Тема 2.1. Неопределенный интеграл

Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется первообразной функции 13 EMBED Equation.3 1415 на интервале (a;b), если для любого 13 EMBED Equation.3 1415 выполняется равенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Множество всех первообразных функций 13 EMBED Equation.3 1415 для 13 EMBED Equation.3 1415 называется неопределенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.3 1415 и обозначается символом 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 - подынтегральная функция, 13 EMBED Equation.3 1415 - подынтегральное выражение, х - переменная интегрирования, 13 EMBED Equation.3 1415- знак неопределенного интеграла.
Свойства неопределенного интеграла.
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5. Если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, то 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таблица основных интегралов.
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
3. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
4. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
5. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
6. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
7. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
8. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
9. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
10. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
11. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
12. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
14. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
15. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
16. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
17. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Заменив 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 на 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, по свойствам неопределенного интеграла можно получить следующие дополнительные формулы таблицы неопределенных интегралов:
18. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
19. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
20. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
21. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
Эти формулы очень часто применяются при вычислении неопределенных интегралов.

2.1.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов по таблице
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2)

3) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
4) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
5) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

2.1.2 Контрольные вопросы
Дайте определение первообразной?
Что называется неопределенным интегралом? Обозначение.
Сформулируйте свойства неопределенного интеграла.
Найдите первообразные основных элементарных функций (таблица неопределенных интегралов).




2.1.3 Задания для самостоятельного решения
Вычислите неопределенные интегралы
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.


Тема 2.2. Основные методы интегрирования

Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной).
Формула интегрирования заменой переменной:
13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Для нахождения неопределенного интеграла чаще всего вводят такую замену 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы исходный интеграл содержал множитель 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Найдем неопределенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415. Введем подстановку (замену) 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Формулу замены переменной можно использовать и в обратном порядке.
Пример. Найти неопределенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415. Введем подстановку 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Получим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415. Далее необходимо выражение 13 EMBED Equation.3 1415 представить в виде суммы простых выражений. Для этого разделим столбиком t3 на t+1:
t3 t+1
-(t3+ t2 ) t2- t+1
- t2
-(- t2-t)
t
-(t+1)
-1
Получили: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Метод интегрирования по частям.
Формула интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.3 1415.
Подынтегральное выражение заданного интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 представляют каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Затем находят 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляя первообразную для 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, вычисляя производную 13 EMBED Equation.3 1415 по dx.
Интегрирование по частям целесообразно применять к неопределенным интегралам вида:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 - многочлен n-ой степени.
Причем заменяют следующим образом: 13 EMBED Equation.3 1415, а стальное - за dv. Исключение составляет 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Часто приходится применять интегрирование по частям несколько раз.
Пример. Найти 13 EMBED Equation.3 1415.
Введем подстановку 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. По формуле интегрирования по частям получим: 13 EMBED Equation.3 1415. Для вычисления 13 EMBED Equation.3 1415 снова применим метод интегрирования по частям: 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.

2.2.1 Примеры нахождения неопределенных интегралов
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение.
Применим формулу интегрирования по частям:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Обозначим: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

2.2.2 Контрольные вопросы:
Какие основные методы интегрирования вы знаете? Можно ли отнести к методам интегрирования нахождение интеграла по таблице первообразных?
В чем заключается метод интегрирования подстановкой?
В чем заключается метод интегрирования по частям?
Для каких подынтегральных выражений применяют метод интегрирования по частям?

2.2.3 Задания для самостоятельного решения
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.


Тема 2.3. Интегрирование рациональных выражений

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется функция, равная отношению двух многочленов, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - многочлен степени m, а 13 EMBED Equation.3 1415 - многочлен степени n.
Рациональная дробь называется правильной, если степень знаменателя, т.е. mВсякую неправильную дробь 13 EMBED Equation.3 1415 можно путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 и правильной рациональной дроби 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415.
Правильные (простейшие) рациональные дроби:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 (корни знаменателя комплексные, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415);
4) 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415, корни знаменателя комплексные),
где A, a, M, N, p, q – действительные числа.

Интегрирование простейших рациональных дробей.
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей:
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415.
Для решения четвертого вида простейших уравнений необходимо применять разного вида подстановки в зависимости от интеграла.

Общее правило интегрирования рациональных дробей.
1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби;
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей;
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.

2.3.1 Примеры интегрирования рациональных выражений:
1) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
Разложим подынтегральную дробь на сумму простейших дробей.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
В правой части последнего равенства раскроем скобки и приравняем коэффициенты при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, при x и свободные члены:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
Получим следующую систему:
13 EMBED Equation.3 1415
при решении которой получаем 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Получим следующую систему:
13 EMBED Equation.3 1415
при решении которой получаем 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415

2.3.2 Контрольные вопросы:
Какая функция называется дробно-рациональной?
Какая рациональная дробь называется правильной?
Чему равняются неопределенные интегралы простейших рациональных дробей?
В чем заключается общее правило интегрирования рациональных дробей?

2.3.3 Задания для самостоятельного решения
Найти интеграл от рационального выражения в неопределенном интеграле:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.


Тема 2.4. Определенный интеграл

Определенный интеграл от функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [a, b] называется число, равное

Числа a и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, отрезок [a, b] – промежутком интегрирования.
Свойства определенного интеграла.
1. Определенный интеграл меняет знак при перестановке пределов интегрирования, но сохраняет абсолютное значение:

2. Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

4. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций

Формула Ньютона  Лейбница.
Если 13 EMBED Equation.3 1415 есть первообразная от непрерывной функции 13 EMBED Equation.3 1415, то справедлива формула

По формуле Ньютона – Лейбница сначала находят первообразную, а затем находят разность первообразных, соответственно, при верхнем и нижнем значении предела.
Замена переменной в определенном интеграле
Пусть дан интеграл 13 EMBED Equation.3 1415, где функция 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывна на отрезке [a, b]. Введем новую переменную t по формуле 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, функция 13 EMBED Equation.3 1415 и ее производная 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 определена и непрерывна на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415, то

Интегрирование по частям.
Интегрирование по частям в определенном интеграле выполняется по формуле


2.4.1 Примеры нахождения определенного интеграла
1) Вычислить интеграл:

Решение.
Представим определенный интеграл в виде суммы двух интегралов и для каждого из них воспользуемся формулой Ньютона – Лейбница.

2) Вычислить интеграл:

Решение.
Подынтегральная функция есть произведение двух нечетных функций, то есть является четной функцией, поэтому

3) Вычислить интеграл:

Решение.
В силу нечетности подынтегральной функции и симметричности пределов интегрирования данный определенный интеграл равен нулю

4) Вычислить интеграл:

Решение.
Подынтегральная функция имеет период
·, поэтому из верхнего и нижнего пределов интегрирования можно вычесть 2
·. Определенный интеграл примет вид:


5) Вычислить интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Сделаем замену переменной 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Находим новые пределы интегрирования: при х = 0, t = 0 и при х = 3, t = 13 EMBED Equation.3 1415. Интеграл примет вид

6) Вычислить интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Полагаем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Находим новые пределы интегрирования: при 13 EMBED Equation.3 1415, t = 2 и при 13 EMBED Equation.3 1415, t = 3. Отсюда

7) Вычислить интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Сделаем замену 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Перейдем к новым пределам интегрирования: при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Интеграл примет вид:

8) Вычислить интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
В данном определенном интеграле первообразная не выражается через элементарные функции. Воспользуемся искусственным приемом. Сделаем подстановку 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом,



Последние два интеграла равны между собой, так как приводится к другому с помощью подстановки 13 EMBED Equation.3 1415. Действительно, 13 EMBED Equation.3 1415, причем при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, а при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и интеграл равен


9) Вычислить интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Полагаем 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.


10) Вычислить интеграл:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Полагаем 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.



2.4.2 Контрольные вопросы:
В чем заключаются свойства определенного интеграла?
Как записывается формула Ньютона-Лейбница?
Как вычисляется определенный интеграл с помощью замены переменной?
В чем заключается метод интегрирования по частям в определенном интеграле?




2.4.3 Задания для самостоятельного решения
Найти определенный интеграл:
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
2. 13 EMBED Equation.3 1415;
3. 13 EMBED Equation.3 1415;
4. 13 EMBED Equation.3 1415;
5. 13 EMBED Equation.3 1415;
6. 13 EMBED Equation.3 1415;
7. 13 EMBED Equation.3 1415;
8. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;
10. 13 EMBED Equation.3 1415.


Варианты контрольной работы

Вариант 1.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415;
б) f(x) = (x3-1)(x2+x+1);
в) f(x) = ln3x.
2. Найти 13 EMBED Equation.3 1415 сложной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Исследовать на экстремум следующую функцию
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Вычислить интеграл с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл методом подстановки.
6. Вычислить интеграл методом интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы 13 EMBED Equation.3 1415, прямыми х = 1, х = 4 и отрезком оси абсцисс.


Вариант 2.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415;
б) f(x) = (3x2+1)(2x2+3);
в) f(x) = ln(2x2-3).
2. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415 сложной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Исследовать на экстремум следующую функцию
13 EMBED Equation.3 1415.
4. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 методом подстановки.
6. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 методом интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной дугой параболы 13 EMBED Equation.3 1415 и отрезком прямой х = 2.

Вариант 3.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415;
б) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415;
в) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415 сложной функции:
13 EMBED Equation.3 1415
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [-2; 2]
4. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 методом подстановки.
6. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 методом интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной синусоидой у = sin x и осью Ох, если 13 EMBED Equation.3 1415.

Вариант 4.

1. Найти производные следующих функций:
а) f(x) =13 EMBED Equation.3 1415
б) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
в) f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415 сложной функции 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Найти наименьшее и наибольшее значение функции
13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке [-4; 2].
4. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 с помощью формул интегрирования.
5. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 методом подстановки.
6. Вычислить интеграл методом 13 EMBED Equation.3 1415 интегрирования по частям.
7. Вычислить определенный интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 (формула Ньютона-Лейбница).
8. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой у = 2х2, прямыми
х = 0, х = 3 и осью Ох.


Примерные вопросы для подготовки к зачету по
«Дифференциальному и интегральному исчислению»

Определение производной.
Геометрический и физический смысл производной.
Правила дифференциального исчисления.
Таблица производных.
Производная сложной функции.
Дифференциал функции.
Производные высших порядков.
Исследование функции с помощью производной.
Формула Тейлора.
Первообразная функции.
Неопределенный интеграл.
Метод вычисления неопределенных интегралов: замены переменной.
Метод вычисления неопределенных интегралов: по частям.
Интегрирование рациональных выражений.
Интегрирование иррациональных выражений.
Определенный интеграл.
Геометрический смысл определенного интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла: длина дуги кривой.
Приложения определенного интеграла: площадь плоской фигуры.


Рекомендуемая литература

Башмаков М.И. Математика / М.И. Башмаков. – М.: ОИЦ «Академия», 2010.
Березина Н.А., Максина Е.П. Математика / Н.А. Березина, Е.П. Максина. – М.: ИД «Риор», 2007.
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике / Н.В. Богомолов. – ООО «Дрофа», 2006.
Богомолов Н.В., Самойленко П.И. Математика / Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.: Изд-во «Дрофа», 2009.
Богомолов Н.В., Сергиенко Л.Ю. Математика. Дидактические задания / Н.В. Богомолов, Л.Ю. Сергиенко. – М.: Изд-во «Дрофа», 2009.
Григорьев С.Г., Задулина С.В. Математика / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина. – М.: ОИЦ «Академия», 2009.
Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. – М.: Изд.центр «Академия», 2008.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс. / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-пресс, 2009.





Научно-методическое издание





ПРАКТИКУМ ПО МАТЕМАТИКЕ
для самостоятельной работы












Печатается с авторских дискет


Подписано в печать 22.12.11
Бумага офсетная. Печать трафаретная
формат 62х94/8,6. п.л. Тираж 100 экз.


ОГОУ СПО «Борисоглебский индустриальный техникум»,
397160 г. Борисоглебск Воронежской области, ул. Свободы, 185


Отпечатано ООО «Кристина и К»
397160 Борисоглебск, ул. Свободы 188в, т. (47354) 6-16-20














13PAGE 15


13PAGE 144615
















13 EMBED Equation.3 1415

y

ln2

0

x

1

-1

0,

х

у

1

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

у

3

0

х

1

-1

-1

0

у

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

х

13 EMBED Equation.3 1415

х2

х1

13 EMBED Equation.3 1415

0



 ц ~Ђцш
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·O Эмблема%204Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativesEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc posobie_matematika_spo
    Практикум по математике для самостоятельной работы (СПО)
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 19