Практические работы по математике для СПО


Практическая работа № 11-12
«Преобразование показательных выражений»
Цели урока:
 Образовательные: закрепить решение простейших показательных уравнений, обобщить и систематизировать методы решения показательных уравнений;
 Развивающие: продолжить работу по развитию умений работать с дополнительной литературой;
 Воспитательные: организация совместных действий, ведущих к активизации учебного процесса;Теоретический материал по данной теме
Пусть a>0, a¹ 1. Тогда определена показательная функция y=a x , (a x >0).Основные свойства показательной функции:
ax ay = a x + y,
ax / ay = a x - y,
ao = 1, a1 = a.
Решение показательных уравнений проводят по следующей схеме:
-Найти область допустимых значений задачи;
-Привести исходное уравнение к виду a f ( x )= b, либо a f ( x )=a g ( x );
-Выписать соответствующее эквивалентное уравнение f ( x ) = loga b, либо f(x) =g(x);
-Решить полученное уравнение.
Решение показательных неравенств проводят по следующей схеме:
-Найти область допустимых значений задачи;
-Привести неравенство к виду a f ( x ) >b, либо a f ( x ) > a g ( x );
-Выписать соответствующее эквивалентное неравенство:
если a > 1 то f( x ) > loga b, либо f( x ) > g( x );
если 0 < а < 1 то f( x ) < loga b, либо f( x ) < g( x );
-Решить полученное неравенство.
 
Решение показательных  уравнений
Простейшие показательные уравнения имеют вид: .
Уравнение при и при корней не имеет, так как показательная функция всегда положительна.
Если в уравнении присутствуют показательные функции с разными основаниями, можно попытаться привести их к одному и тому же основанию. То же относится и к логарифмическим уравнениям.
при , ;

Решение показательных неравенств
При решении показательных неравенств вида следует помнить, что показательная функция возрастает прии убывает при . Значит, в случае, когда , от неравенства следует переходить к неравенству того же смысла . В случае же, когда , от неравенства следует переходить к неравенству противоположного смысла .
Применение изученного материала к решению заданий
Решить уравнения
А) 3=27; Б) 4=64; В) 5=25; Г) 10=10000.
2. Решить уравнение 7
3. Решить графическим способом 
4. Решить уравнение:
9
5. Решить уравнение: (36. Решить уравнение: (х+3) =(х+3) 
7. Решить уравнение:
8. Решить уравнение: 4х + 2х+1 – 24 = 0
9. Решить уравнения: а) 2∙3х+1 – 3х = 15
б) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28
в) 9х – 8∙3х – 9 = 0
г) 8∙4х – 6∙2х + 1 = 0
10. Решить неравенство: ≤ 0
11. Решите неравенство: ≤ 0
12. Решите неравенство: ≤ 0.
Ответы:
А) 3; Б) 3; В) 2; Г) 4.
Решите уравнение 7; Решение.7; 7; 77=539; 7=539:77; 7=7; х=1; Ответ: х=1
Решить графическим способом 
Решение: 2 Строим в координатной плоскости графики функций. Находим абсциссу точки пересечения. Ответ: х=1
Решить уравнение:
9
Решение: поскольку 12=3*4, 16=4, 9=3, то исходное уравнение можно записать в виде
9Делим обе части исходного уравнения на 4
Получаем:9; 9-7; Пусть >0;
Тогда 9-7y-16y=0; 16y+7y-9=0; y=; y<0 – посторонний корень.
Отсюда y=; ; (; х=2; Ответ: х=2.Решить уравнение (3 Решение: Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а второй при этом не теряет смысл.1)3; 3; х.; х=2 и х=-2.
При х=2 подкоренное выражение отрицательно, значит, число 2 не является корнем уравнения.
2)  при х=1. Это число является корнем данного уравнения, так как выражение
3 имеет смысл при любом х. Ответ: х=-2 и х=1
Решить уравнение: (х+3) =(х+3) 
Решение: выражение в левой части уравнения представляет собой функцию, содержащую переменную, как в основании, так и в показателе степени. Для решения показательно-степенного уравнения нужно рассмотреть три случая:
Когда основание степени равно 1, 0 и когда оно отлично от указанных значений.
1).Если х+3=1, т.е. х=-2, то получаем 1 -верное равенство; значит, х=-2 –корень уравнения.
2). Если х+3=0, т.е. х=-3, то в левой части уравнения получаем 0, а в правой части 0 - выражение, не имеющее смысла. Поэтому х=-3 не является корнем уравнения.
3). Наконец, приравняв показатели, имеем х.
Откуда х=-1, х=3. При этих значениях х. получим соответственно -верные равенства, т.е. х=-1 и х=3 –корни уравнения.
Ответ: -2; -1; 3.
Решить уравнение:
Решение:


Ответ: -2.
Решить уравнение: 4х + 2х+1 – 24 = 0
Решение:
Так как 4х =(2х)2 и 2х+1 = 2∙2х, то данное уравнение перепишем в виде:
(2х)2 + 2∙2х – 24 = 0.
Обозначим : 2х = t, где t >0, получим уравнение t2 + 2t – 24 = 0, корни которого
t1 = -6 и t2 = 4.
Поэтому задача сводится к решению двух уравнений: 2х = 4 и 2х = - 6.
Из первого уравнения х = 2, второе уравнение не имеет решения, так как 2х > 0 при любых х.
Ответ: 2.
а) 2∙3х+1 – 3х = 15, б) 2х+1 + 2х-1 + 2х = 28,
3х(2∙3 – 1) = 15, 2х-1(22 + 1 + 2) = 28,
3х∙5 = 15, 2х-1∙7 = 28,
3х = 3, х = 1. 2х-1 = 4,
Ответ: 1. 2х-1 = 22, х – 1 = 2, х = 3.
Ответ: 3.
в) 9х – 8∙3х – 9 = 0, г) 8∙4х – 6∙2х + 1 = 0,
(3х)2 – 8∙3х -9 = 0, 8∙(2х)2 - 6∙2х + 1 = 0,
Обозначим 3х = t, где t >0, тогда Обозначим 2х = t, где t >0, тогда
t2 - 8t – 9 = 0, 8 t2 - 6t + 1 = 0,
t1 = 9, t2 = -1, t1 =, t2 =
Возвращаемся к замене: Возвращаемся к замене:
3х = 9, х = 2, 2х = , х = -1,
3х = -1, корней нет. 2х = , х = -2.
Ответ: 2. Ответ: -1, -2.


Практическая работа № 13-14
«Преобразование логарифмических выражений»
Цели урока:
Обучающие: повторение, обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Свойства логарифмической функции» и их применение, повторить основные методы и приемы решения логарифмических уравнений и неравенств.
Развивающие: способствование формированию умений применять полученные знания в новой ситуации, развитие математического мышления и речи.
Воспитывающие: воспитание интереса к математике, активности. Формирование навыков адекватной самооценки деятельности.
Теоретический материал по данной теме
Формулы и свойства логарифмов
Определение
Логарифмом числа  по основанию  (  ) называется такое число , что , то есть записи  и  равносильны. Логарифм имеет смысл, если .
Если немного перефразировать - Логарифм числа  по основанию  определяется как показатель степени, в которую надо возвести число , чтобы получить число  (Логарифм существует только у положительных чисел).
Логарифм в переводе с греческого буквально означает "число, изменяющее отношение".
Специальные обозначения:
Натуральный логарифм  - логарифм по основанию , где  - число Эйлера.
Десятичный логарифм  - логарифм по основанию 10.
Свойства логарифмов:
1°     - основное логарифмическое тождество.
2°    
3°    
Логарифм единицы по любому положительному, отличному от 1, основанию равен нулю. Это возможно потому, что из любого действительного числа можно получить 1 только возведя его в нулевую степень.
4°     - логарифм произведения.
Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.
5°     - логарифм частного.
Логарифм частного (дроби) равен разности логарифмов сомножителей.
6°     - логарифм степени.
Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания.
7°    
8°    
9°     - переход к новому основанию.
Примеры
Пример 1: Вычислить , если 
Решение. Перепишем данное выражение, используя свойство логарифма степени и логарифма произведения:

Ответ. 
Пример2: Упростить выражение 
Решение. Перепишем числитель, используя свойство для степени логарифма, а знаменатель, используя свойство -логарифм произведения:


Ответ.  
Пример 3: Найти значение выражения 
Решение. В первом логарифме разложим подлогарифмическую функцию - 15 - на множители и применим к полученному логарифму свойство суммы логарифмов, во втором воспользуемся свойством степени основания:



Учитывая, что , в итоге получаем

Ответ.  
Применение изученного материала к решению заданий
Вычислите.
log216; log3;
; log211-log244;
log814+log8; log35·log53;
log71; ;
; .

Определите вид монотонности. y=lg x; .
Сравните и
и
Выясните, положительное или отрицательное число.

5. Найти область определения функции
1) [0; 5] 2) (- ∞; 0)U(5; +∞) 3) (0; 5) 4) (-∞; 0]U[5; +∞)
6. Найти область определения функции
1) (0; 3)2) (- ∞; 0)U(3; +∞) 3) [0; 3]4) (-∞; 0]U[3; +∞)
7. Укажите значение выражения
1) 7,5 2) 6,5 3) 9 4) 5
8. Укажите значение выражения
1) 45 2) 49 3) 47 4)
9. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения .
1) (1; 30) 2) (30; 50) 3) (50; 100) 4) (100; 200)
10. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
1) (-4; -2) 2) (-2; -1) 3) (-1; 1) 4) (1; 5)
11. Решите неравенство
1) (7;+∞) 2) (-∞; 7) 3) (-∞; 2)U(7; +∞) 4) (2; 7)
12. Решите неравенство
1) (7; +∞) 2) (-∞; 2,5) 3) (-∞; -2)U(7; +∞) 4) (-2; 25)
13. Решить уравнение
14. Решить неравенство
15. Решить уравнение a) 2 log 8 x = log 8 (8x –7);
б)
в)
16. Решить неравенство а)
б)
17. Решить уравнение: lg (x+ 7) – lg (x+ 5) = 1.
18. Решить уравнение: lg (4x – 3) = 2lgx.

Приложенные файлы

  • docx fail1
    Размер файла: 109 kB Загрузок: 8
  • docx fail2
    Размер файла: 103 kB Загрузок: 3