Практическая работа по математике для СПО


Практическая работа № 6
«Составление уравнений сферы, плоскости, прямой»
Цели урока:
Обучающая:  формировать умение обучающихся решать задачи на данную тему;
Развивающая: развивать логическое мышление, пространственное воображение; умение сравнивать, проводить аналогию; интерес к предмету; творческие способности обучающихся.
Воспитывающая: воспитание трудолюбия, усердия в достижении цели.
Теоретический материал по данной теме
Общее уравнение прямой имеет вид: , где  – некоторые числа. При этом коэффициенты  одновременно не равны нулю, так как уравнение теряет смысл.
Уравнение прямой по точке и направляющему вектору:Если известна некоторая точка , принадлежащая прямой, и направляющий вектор  этой прямой, то уравнение данной прямой можно составить по формуле:

Иногда его называют каноническим уравнением прямой.
Общее уравнение плоскости:
Общее уравнение плоскости имеет вид , где коэффициенты  одновременно не равны нулю.
Уравнение плоскости по трём точкам:
Любые ли три точки пространства задают плоскость? Нет. Во-первых, точки должны быть различными. А во-вторых, они не должны лежать на одной прямой (сразу все три).
Уравнение плоскости, проходящей через три различные точки , которые не лежат на одной прямой, можно составить по формуле:

Уравнение поверхности сферы:
Сфера радиуса R с центром в начале координат представлена уравнением второй степени.
x2+y2+z2=R2 (R – радиус сферы)
Сфера радиуса R центр которой не совпадает с началом координат представлена другим уравнением второй степени.
(x−a)2+(y−b)2+(z−c)2=R2
(R - радиус сферы; a, b, c - смещение центра сферы относительно центра координат)
Пример: Найти уравнение прямой, проходящей через две точки: (-1, 2) и (2, 1).
Решение.
По уравнению
полагая в нем x1 = -1, y1 = 2, x2 = 2, y2 = 1 (без разницы, какую точку считать первой, какую - второй), получим
 или  после упрощений получаем окончательно искомое уравнение в виде x + 3y - 5 = 0.
Применение изученного материала к решению заданий
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы (х + 4)2 + (y — 3)2 + z2 =100.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х2 + у2 + z2  — 2х + 4у — 6z + 5 = 0
является уравнением сферы.
Задача 5. Составить уравнение плоскости по точкам .

Задача 6. Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору 
Задача 7. Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору  Задача 8. Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору .Задача 9. Составить уравнение прямой по двум точкам .

Ответы (один из вариантов решений):
Задача 1. Составить уравнение сферы радиуса R = 5 с центром в начале координат.
Решение: Непосредственной подстановкой значения радиуса в уравнение
х2 + у2 + z2  =R2            получим х2 + у2 + z2  = 25.
Задача 2. Написать уравнение сферы с центром в точке С (2; —3; 5) и радиусом, равным 6.
Решение: Подставив значение координат точки С и значение радиуса в уравнение
(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2   = R2                получим
(x —  2)2 + (y + 3)2 + (z — 5)2 = 36.
Задача 3. Найти центр и радиус сферы (х + 4)2 + (y — 3)2 + z2 =100.
Решение: Сравнивая данное уравнение с уравнением сферы
(x — a)2 + (y — b)2 + (z — c)2   = R2  видим, что  
 а = — 4, b = 3, с = 0, R =10.   Следовательно, С(—4; 3; 0), R = 10.
Задача 4. Доказать, что уравнение
х2 + у2 + z2  — 2х + 4у — 6z + 5 = 0
является уравнением сферы.
Решение: Преобразуем левую часть данного уравнения, выделив квадраты двучленов, содержащих соответственно х, у и z:
х2 — 2х + у2 + 4у + z2 — 6z + 5 =
= (x —  1)2 —  1 + (y + 2)2 — 4 + (z — 3)2 — 9 + 5 =
= (x —  1)2 + (y + 2)2 + (z — 3)2—9.
Следовательно, данная поверхность имеет уравнение
(x —  1)2 + (y + 2)2 + (z — 3)2 = 9.
Это уравнение представляет собой уравнение сферы с центром в точке С(1; —2; 3) и радиусом R = 3
Задача 5. Составить уравнение плоскости по точкам .
Решение: составим уравнение плоскости по трём точкам. Используем формулу:
Вот теперь и аналитически видно, что всё дело свелось к координатам двух векторов. Раскрываем определитель по первому столбцу, находим уравнение плоскости:
Больше ничего упростить нельзя, записываем:
Ответ: 
Задача 6. Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору Решение: Уравнение прямой составим по формуле . В данном случае:С помощью свойств пропорции избавляемся от дробей:
И приводим уравнение к общему виду:
Ответ: 
Задача 7. Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору Решение: Уравнение прямой составим по формуле: Ответ: 
Задача 8. Составить уравнение прямой по точке  и направляющему вектору .Решение: Используем формулу:Ответ:  (ось ординат)
Задача 9. Составить уравнение прямой по двум точкам .
Решение: Используем формулу:
Выполняем действия в знаменателях:
Применяем метод пропорции:
Именно сейчас удобно избавиться от дробных чисел. В данном случае нужно умножить обе части на 6:
Раскрываем скобки и решаем уравнение:
Ответ: 

Приложенные файлы

  • docx fail1
    Размер файла: 63 kB Загрузок: 47