Практическая работа по математике


Практическая работа № 4«Скалярное произведение векторов»
Цели урока:
- обучающая: отработка навыков и умений решения простейших задач в координатах, решения задач на скалярное произведение векторов;
- развивающая: формирование умений выполнять обобщение; развитие качеств мышления: целенаправленность, рациональность, развитие самостоятельной деятельности обучающихся;
- воспитывающая: воспитание интереса и любви к предмету и культуры общения.
Теоретический материал по данной теме
Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Векторы можно умножать не только на числа, но и друг на друга.
Обратите внимание — перемножили два вектора, а получился скаляр, то есть число. Например, в физике механическая работа равна скалярному произведению двух векторов — силы и перемещения:

Если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. А вот так скалярное произведение выражается через координаты векторов  и :

Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:

Эта формула особенно удобна в стереометрии. Например, в задаче С2 нужно найти угол между скрещивающимися прямыми или между прямой и плоскостью.
Пример:
 
Стороны правильного треугольника  равны 3. Найдите скалярное произведение векторов  и .
Решение.
Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними. Углы в правильном треугольнике равны . Поэтому скалярное произведение равно .
Ответ: 4,5.
Применение изученного материала к решению заданий
Пример 1: Найти скалярное произведение векторов  и , если 
Пример 2: Найти , если , а угол между векторами равен .
Пример 3: Найти скалярное произведение векторов  и , если 
Пример 4: Найти скалярное произведение векторов  и , если известно, что .
Пример 5: В равностороннем треугольнике  длины сторон равны 1. Вычислить .
Пример 6: Вычислите скалярное произведение двух векторов  и , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Пример 7: В прямоугольной системе координат заданы два вектора  и , найдите их скалярное произведение.
Ответы (один из вариантов решений):
Пример 1: Найти скалярное произведение векторов  и , если 
Решение: Используем формулу . В данном случае:
Ответ: 
Пример 2: Найти , если , а угол между векторами равен .
Решение: Ответ: 
Пример 3: Найти скалярное произведение векторов  и , если 
Решение: Ответ: 
Пример 4: Найти скалярное произведение векторов  и , если известно, что .
Решение: Ответ: 
Пример 5: В равностороннем треугольнике  длины сторон равны 1. Вычислить .

Пример 6: Вычислите скалярное произведение двух векторов  и , если их длины равны 3 и 7единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
Решение.
У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению: .
Ответ:
.
Пример 7: В прямоугольной системе координат заданы два вектора  и , найдите их скалярное произведение.
Решение.
В этом примере целесообразно использовать формулу, позволяющую вычислить скалярное произведение векторов через их координаты:
Ответ:
.

Приложенные файлы

  • docx fail1
    Размер файла: 92 kB Загрузок: 15