Практическая работа по математике


   Практическая работа № 8-9
«Решение задач на подсчет числа сочетаний»
Цели урока:
Обучающая: формировать у обучающихся умение  решать комбинаторные задачи;
Развивающая:  развитие математического мышления;  развитие познавательного интереса обучающихся; 
Воспитательная: формирование навыков самоконтроля, воспитание самостоятельности и настойчивости в достижении цели.
Теоретический материал по данной теме
  Определение . Сочетаниями из n элементов по k называются такие размещения из  n элементов по k, которые одно от другого отличаются хотя бы одним элементом.     Число различных сочетаний из n элементов по k  обозначается и  вычисляется по формуле: .      По определению 0!=1.     Для сочетаний справедливы следующие свойства:     1.      2.      3.      4.      Пример 1:  Имеются 5 цветков разного цвета. Для букета выбирается 3 цветка. Число различных букетов по 3 цветка из 5 равно: .Пример 2: Сколькими способами можно составить комиссию в составе из трех человек из имеющихся 9 человек, 4 женщин и 5 мужчин, если: а) не важен пол членов комиссии; б) комиссия должна состоять из двух женщин и одного мужчины.
Решение. а) Из смысла задачи следует, что порядок выбора членов комиссии не играет роли. Здесь важен только состав. Тогда выбрать комиссию из трех человек из 9 имеющихся можно

способами.
б) Двух женщин из 4 имеющихся можно выбрать способами, а одного мужчину из 5 можно способами. Тогда общее количество способов выбора комиссии, в соответствии с принципом умножения, можно способами.
Применение изученного материала к решению заданий
Задача 1: Сколькими различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?
Задача 2: Сколько существует делителей числа 210?
Задача 3: Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствуют 15 человек?
Задача 4: У одного студента есть 11 книг по математике, а другого – 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена?
Задача 5: Сколько прямых провести через 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Задача 6: Найти число диагоналей n-угольника.
Задача 7: Компания из 15 человек разделяется на две группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая – из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 8: В пространстве даны 7 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?
Задача 9: В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из нее одновременно вынимают три шара одного цвета. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 10: В колоде десять карт, из которых три – тузы. Наудачу последовательно вынимается, запоминаются и возвращаются в колоду четыре карты. После каждого возвращения карты колода перемешиваются. Сколько возможно случаев, когда среди вытянутых карт окажется хотя бы один туз?
Задача 11: В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую – 5 химиков, а третья должна состоять из 3 человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие группы?
Ответы (один из вариантов решений):
Задача 1: Сколькими различных правильных дробей можно составить из чисел 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, берущихся попарно?
Решение. Различных пар из данных чисел, в которых первый элемент меньше второго, будет, очевидно, столько, сколько можно составить сочетаний из 7 по 2:
.
Задача 2: Сколько существует делителей числа 210?
Решение. Разложим данное число на простые множители: . Число делителей, составленных из произведения двух простых множителей, равно (а именно числа 6, 10, 14, 15, 21,35); число делителей, составленных из произведения трёх простых множителей, равно (а именно числа 30, 42, 70, 105); число простых делителей равно четырём (а именно 2, 3, 5, 7). Кроме того, делителями являются число 1 и число 210. Итак, согласно принципу сложения, число всех делителей равно
.
Эту задачу можно решить и по-другому. Натуральное число N можно разложить на простые множители следующим образом:,
1, 2, …, n – некоторые натуральные числа. Число pi может войти в данный делитель с показателем 0, 1, …, n – всего n+1 способами. Из принципа умножения получаем, что число делителей числа N равно
.
Для числа 210 число делителей будет равно (1=2=3=4=1)
2222=16.
Задача 3: Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствуют 15 человек?
Ответ: .
Задача 4: У одного студента есть 11 книг по математике, а другого – 15 книг. Сколькими способами они могут выбрать по 3 книги для обмена?
Ответ: .
Задача 5: Сколько прямых провести через 8 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой?
Ответ: .
Задача 6: Найти число диагоналей n-угольника.
Ответ: .
Задача 7: Компания из 15 человек разделяется на две группы, одна из которых состоит из 6 человек, а другая – из 9 человек. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: .
Задача 8: В пространстве даны 7 точек, никакие четыре из которых не лежат в одной плоскости. Сколько различных плоскостей можно провести через эти точки?
Ответ: .
Задача 9: В урне 6 белых и 8 черных шаров. Из нее одновременно вынимают три шара одного цвета. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: .
Задача 10: В колоде десять карт, из которых три – тузы. Наудачу последовательно вынимается, запоминаются и возвращаются в колоду четыре карты. После каждого возвращения карты колода перемешиваются. Сколько возможно случаев, когда среди вытянутых карт окажется хотя бы один туз?
Ответ: .
Задача 11: В лаборатории работают 8 физиков и 10 химиков. Надо создать рабочие группы по трем темам. В первую группу должны войти 4 физика, во вторую – 5 химиков, а третья должна состоять из 3 человек, которые могут быть как физиками, так и химиками. Сколькими способами можно создать такие группы?
Ответ:

Приложенные файлы

  • docx fail2
    Размер файла: 64 kB Загрузок: 5