Практическая работа по математике


   Практическая работа № 6-7
«Решение задач на подсчет числа перестановок»
Цели урока:
Обучающая: формировать у обучающихся умение решать задачи на подсчет числа перестановок;
Развивающая: выявлять и развивать математические способности, речь, мышление;
Воспитательная: формировать у обучающихся систему взглядов на мир, способность следовать нормам поведения в обществе.
Теоретический материал по данной теме
  Определение. Перестановками из n элементов называются такие размещения из n элементов, которые различаются только расположением элементов.     Число перестановок из n элементов Pn вычисляется  по формуле: Pn=n!     Пример 1. Сколькими способами могут встать в очередь 5 человек? Количество способов равно числу перестановок из 5 элементов, т.е.     P5=5!=1∙2∙3∙4∙5=120.     Определение. Если среди n  элементов k одинаковых, то перестановка этих n элементов называется перестановкой с повторениями.     Пример 2. Пусть среди 6 книг 2 одинаковые. Любое расположение всех книг на полке - перестановка с повторениями.     Число различных перестановок с повторениями  (из n  элементов, среди которых k одинаковых) вычисляется по формуле: .     В нашем примере число способов, которыми можно расставить книги на полке, равно: .
Пример 3. Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?
Решение. Будем считать выделенные книги за одну книгу. Тогда уже для шести книг существует P6=6!=720 перестановок. Однако четыре определенные книги можно переставить между собой P4=4!=24 способами. По принципу умножения имеем
P6P4 = 72024 = 17280.
Применение изученного материала к решению заданий
Задача 1: Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Задача 2: Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Задача 3: Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.
Задача 4: Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т.к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?
Задача 5: Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Задача 6: В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Задача 7: Сколькими способами можно упорядочить множество {1,2,3,…,2n} так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?
Задача 8: Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?
Задача 9: Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Задача 10: На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.
Ответы (один из вариантов решений):
Задача 1: Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если каждая цифра в изображении числа встречается один раз?
Решение. Рассматриваемое число может быть представлено как некоторая перестановка из цифр 0, 1, 2, 3, в которой первая цифра отлична от нуля. Так как число перестановок из четырех цифр равно P4=4! и из них 3! перестановок начинаются с нуля, то искомое количество равно
4! – 3! = 33! = 3123 = 18.
Задача 2: Сколькими способами можно посадить за круглый стол n мужчин и n женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Решение. Естественно предположить, что как мужчины, так и женщины различимы. Предположим также, что места за столом также различимы. Пронумеруем их. Если женщины займут чётные места n! способами, то мужчины будут занимать нечётные места тоже n! способами и наоборот. По правилу умножения получаем .
Если места за столом неразличимы, то стол можно поворачивать на одно место, то при этом расположение сидящих не изменится (такая ситуация имеет место, например, на карусели). Поскольку имеется n способов расположения стола относительно сидящих, то предыдущий результат нужно разделить на n.

Задача 3: Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани 6 различных цветов и все стулья должны быть разного цвета.
Ответ: .
Задача 4: Дачник выделил на своём участке семь грядок для выращивания овощей, т.к. хочет иметь свои помидоры, огурцы, перец, лук, чеснок, салат и кабачки. Каждый вид должен иметь отдельную грядку. Сколькими способами он может расположить грядки для посадки?
Ответ: .
Задача 5: Пассажирский поезд состоит из трех багажных вагонов и восьми купированных. Сколькими способами можно сформировать состав, если багажные вагоны должны находиться в его начале?
Ответ: .
Задача 6: В первенстве края по футболу участвуют 11 команд. Сколько существует различных способов распределения мест в таблице розыгрыша, если на первое место могут претендовать только 4 определенные команды?
Ответ:
Задача 7: Сколькими способами можно упорядочить множество {1,2,3,…,2n} так, чтобы каждое чётное число стояло на чётном месте?
Ответ: .
Задача 8: Четыре мальчика и четыре девочки рассаживаются в ряд на восемь подряд расположенных мест, причем мальчики садятся на четные места, а девочки – на нечетные. Сколькими способами они могут это сделать?
Ответ: .
Задача 9: Сколькими способами можно посадить за круглый стол трех мужчин и трех женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Ответ: .
Задача 10: На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г, Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов, если Б не должен выступать до того, как выступил А? Решите эту же задачу, если Б должен выступить сразу после А.
Ответ: 5!/2=60; 4!=24.

Приложенные файлы

  • docx fail1
    Размер файла: 39 kB Загрузок: 1