Практическая работа по математике


Практическая работа № 1
«Принцип математической индукции»
Цели:
Образовательная: научить применять метод математической индукции при решении задач;
Развивающая: содействовать развитию у обучающихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки;
Воспитательная: воспитывать внимательность, аккуратность, инициативность, трудолюбие.
Теоретический материал по данной теме
Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.
Принцип математической индукции.
Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1 и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует, что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для любого натурального числа n.
В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не для всех натуральных чисел, а лишь для n>p, где p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип математической индукции формулируется следующим образом.
Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k) Þ А(k+1) для любого k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.
Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е. устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение индукции), т.е. доказывают, что А(k) Þ A(k+1).
ПРИМЕР 1: Доказать, что 1+3+5+…+(2n-1)=n 2 .  
Решение: 1) Имеем n=1=1 2 . Следовательно,
утверждение верно при n=1, т.е. А(1) истинно.
2) Докажем, что А(k) Þ A(k+1).
Пусть k-любое натуральное число и пусть утверждение справедливо для n=k, т.е.
1+3+5+…+(2k-1)=k 2 .
Докажем, что тогда утверждение справедливо и для следующего натурального числа n=k+1, т.е. что
1+3+5+…+(2k+1)=(k+1) 2 .
В самом деле, 1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k 2 +2k+1=(k+1) 2 .
Итак, А(k) Þ А(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что предположение А(n) истинно для любого n ∈ N.
Применение изученного материала к решению заданий
Задание 1: Доказать, что
1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х ¹ 1
Задание 2: Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2.
Задание 3: Доказать, что при любом n справедливо утверждение:
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.
Задание 4: Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.
Задание 5: Доказать, что
((2 3 +1)/(2 3 -1)) ´ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ´ … ´ ((n 3 +1)/(n 3 -1))=3n(n+1)/2(n 2 +n+1), где n>2.
Задание 6: Доказать, что
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)
для любого натурального n.
Задание 7: Доказать верность тождества
(1 2 /1 ´ 3)+(2 2 /3 ´ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ´ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)
для любого натурального n.
Задание 8: Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1 ) делится на 133 без остатка.
Задание 9: Доказать, что при любом n, 7 n -1 делится на 6 без остатка.
Задание 10: Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11. 
Задание 11: Доказать, что 11 2n -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка.
Задание 12: Доказать, что 3 3n+3 -26n-27 при произвольном натуральном n делится на 26 2 (676) без остатка.
Ответы (один из вариантов решений):
Задание 1: Доказать, что 1+х+х 2 +х 3 +…+х n =(х n+1 -1)/(х-1), где х ¹ 1
Решение: 1) При n=1 получаем
1+х=(х 2 -1)/(х-1)=(х-1)(х+1)/(х-1)=х+1
следовательно, при n=1 формула верна; А(1) истинно.
2) Пусть k-любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.
1+х+х 2 +х 3 +…+х k =(х k+1 -1)/(х-1).
Докажем, что тогда выполняется равенство
1+х+х 2 +х 3 +…+х k +x k+1 =(x k+2 -1)/(х-1).
В самом деле
1+х+х 2 +x 3 +…+х k +x k+1 =(1+x+x 2 +x 3 +…+x k )+x k+1 =
=(x k+1 -1)/(x-1)+x k+1 =(x k+2 -1)/(x-1).
Итак, А(k) Þ A(k+1). На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого натурального числа n.
Задание 2: Доказать, что число диагоналей выпуклого n-угольника равно n(n-3)/2.
Решение: 1) При n=3 утверждение А 3  справедливо, ибо в треугольнике
А 3 =3(3-3)/2=0 диагоналей;
А 2 А(3) истинно.
2) Предположим, что во всяком
выпуклом k-угольнике имеется А k =k(k-3)/2 диагоналей. Докажем, что тогда в выпуклом А k+1
(k+1)-угольнике число
диагоналей А k+1 =(k+1)(k-2)/2.
 
Пусть А 1 А 2 А 3 …A k A k+1 -выпуклый (k+1)-уголь-ник. Проведём в нём диагональ A 1 A k . Чтобы под-считать общее число диагоналей этого (k+1)-угольника нужно подсчитать число диагоналей в k-угольнике A 1 A 2 …A k , прибавить к полученному числу k-2, т.е. число диагоналей (k+1)-угольника, исходящих из вершины А k+1 , и, кроме того, следует учесть диагональ А 1 А k .
Таким образом,
А k+1 =А k +(k-2)+1=k(k-3)/2+k-1=(k+1)(k-2)/2.
Вследствие принципа математической индукции утверждение верно для любого выпуклого n-угольника.
Задание 3: Доказать, что при любом n справедливо утверждение:
1 2 +2 2 +3 2 +…+n 2 =n(n+1)(2n+1)/6.
Решение: 1) Пусть n=1, тогда
Х 1 =1 2 =1(1+1)(2+1)/6=1.
Значит, при n=1 утверждение верно.
2) Предположим, что n=k
Х k =k 2 =k(k+1)(2k+1)/6.
3) Рассмотрим данное утверждение при n=k+1
X k+1 =(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
X k+1 =1 2 +2 2 +3 2 +…+k 2 +(k+1) 2 =k(k+1)(2k+1)/6+ +(k+1) 2 =(k(k+1)(2k+1)+6(k+1) 2 )/6=(k+1)(k(2k+1)+
+6(k+1))/6=(k+1)(2k 2 +7k+6)/6=(k+1)(2(k+3/2)(k+
+2))/6=(k+1)(k+2)(2k+3)/6.
Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого натурального n.
Задание 4: Доказать, что для любого натурального n справедливо равенство:
1 3 +2 3 +3 3 +…+n 3 =n 2 (n+1) 2 /4.
Решение: 1) Пусть n=1.
Тогда Х 1 =1 3 =1 2 (1+1) 2 /4=1.
Мы видим, что при n=1 утверждение верно.
2) Предположим, что равенство верно при n=k
X k =k 2 (k+1) 2 /4.
3) Докажем истинность этого утверждения для n=k+1, т.е.
Х k+1 =(k+1) 2 (k+2) 2 /4. X k+1 =1 3 +2 3 +…+k 3 +(k+1) 3 =k 2 (k+1) 2 /4+(k+1) 3 =(k 2 (k++1) 2 +4(k+1) 3 )/4=(k+1) 2 (k2 +4k+4)/4=(k+1) 2 (k+2) 2 /4.
Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при n=k+1, следовательно, равенство верно при любом натуральном n.
Задание 5: Доказать, что
((2 3 +1)/(2 3 -1)) ´ ((3 3 +1)/(3 3 -1)) ´ … ´ ((n 3 +1)/(n 3 -1))=3n(n+1)/2(n 2 +n+1), где n>2.
Решение: 1) При n=2 тождество выглядит: (2 3 +1)/(2 3 -1)=(3 ´ 2 ´ 3)/2(2 2 +2+1),
т.е. оно верно.
2) Предположим, что выражение верно при n=k
(2 3 +1)/(2 3 -1) ´ … ´ (k 3 +1)/(k 3 -1)=3k(k+1)/2(k 2 +k+1).
3) Докажем верность выражения при n=k+1.
(((2 3 +1)/(2 3 -1)) ´ … ´ ((k 3 +1)/(k 3 -1))) ´ (((k+1) 3 +
+1)/((k+1) 3 -1))=(3k(k+1)/2(k 2 +k+1)) ´ ((k+2)((k+
+1) 2 -(k+1)+1)/k((k+1) 2 +(k+1)+1))=3(k+1)(k+2)/2 ´
´ ((k+1) 2 +(k+1)+1).
Мы доказали справедливость равенства и при n=k+1, следовательно, в силу метода математической индукции, утверждение верно для любого n>2
Задание 6: Доказать, что
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2n-1) 3 -(2n) 3 =-n 2 (4n+3)
для любого натурального n.
Решение: 1) Пусть n=1, тогда
1 3 -2 3 =-1 3 (4+3); -7=-7.
2) Предположим, что n=k, тогда
1 3 -2 3 +3 3 -4 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 =-k 2 (4k+3).
3) Докажем истинность этого утверждения при n=k+1
(1 3 -2 3 +…+(2k-1) 3 -(2k) 3 )+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-k 2 (4k+3)+
+(2k+1) 3 -(2k+2) 3 =-(k+1) 3 (4(k+1)+3).
Доказана и справедливость равенства при n=k+1, следовательно, утверждение верно для любого натурального n.
Задание 7: Доказать верность тождества
(1 2 /1 ´ 3)+(2 2 /3 ´ 5)+…+(n 2 /(2n-1) ´ (2n+1))=n(n+1)/2(2n+1)
для любого натурального n.
Решение:
1) При n=1 тождество верно 1 2 /1 ´ 3=1(1+1)/2(2+1).
2) Предположим, что при n=k
(1 2 /1 ´ 3)+…+(k 2 /(2k-1) ´ (2k+1))=k(k+1)/2(2k+1).
3) Докажем, что тождество верно при n=k+1.
(1 2 /1 ´ 3)+…+(k 2 /(2k-1)(2k+1))+(k+1) 2 /(2k+1)(2k+3)=(k(k+1)/2(2k+1))+((k+1) 2 /(2k+1)(2k+3))=((k+1)/(2k+1)) ´((k/2)+((k+1)/(2k+3)))=(k+1)(k+2) ´ (2k+1)/2(2k+1)(2k+3)=(k+1)(k+2)/2(2(k+1)+1).Из приведённого доказательства видно, что утверждение верно при любом натуральном n.
Задание 8: Доказать, что (11 n+2 +12 2n+1 ) делится на 133 без остатка.
Решение: 1) Пусть n=1, тогда
11 3 +12 3 =(11+12)(11 2 -132+12 2 )=23 ´ 133.
Но (23 ´ 133) делится на 133 без остатка, значит при n=1 утверждение верно; А(1) истинно.
2) Предположим, что (11 k+2 +12 2k+1 ) делится на 133 без остатка.
3) Докажем, что в таком случае
(11 k+3 +12 2k+3 ) делится на 133 без остатка. В самом деле 11 k+3 +12 2л+3 =11 ´ 11 k+2 +12 2 ´ 12 2k+1 =11 ´ 11 k+2+
+(11+133) ´ 12 2k+1 =11(11 k+2 +12 2k+1 )+133 ´ 12 2k+1 .
Полученная сумма делится на 133 без остатка, так как первое её слагаемое делится на 133 без остатка по предположению, а во втором одним из множителей выступает 133. Итак, А(k) Þ А(k+1). В силу метода математической индукции утверждение доказано.
Задание 9: Доказать, что при любом n, 7 n -1 делится на 6 без остатка.
Решение: 1) Пусть n=1, тогда Х 1 =7 1 -1=6 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно.
2) Предположим, что при n=k
7 k -1 делится на 6 без остатка.
3) Докажем, что утверждение справедливо для n=k+1.
X k+1 =7 k+1 -1=7 ´ 7 k -7+6=7(7 k -1)+6.
Первое слагаемое делится на 6, поскольку 7 k -1 делится на 6 по предположению, а вторым слагаемым является 6. Значит 7 n -1 кратно 6 при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.
Задание 10: Доказать, что 3 3n-1 +2 4n-3 при произвольном натуральном n делится на 11. Решение: 1) Пусть n=1, тогда
Х 1 =3 3-1 +2 4-3 =3 2 +2 1 =11 делится на 11 без остатка. Значит, при n=1 утверждение верно.
2) Предположим, что при n=k
X k =3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 без остатка.
3) Докажем, что утверждение верно для n=k+1.
X k+1 =3 3(k+1)-1 +2 4(k+1)-3 =3 3k+2 +2 4k+1 =3 3 ´ 3 3k-1 +2 4 ´ 2 4k-3 =
=27 ´ 3 3k-1 +16 ´ 2 4k-3 =(16+11) ´ 3 3k-1 +16 ´ 2 4k-3 =16 ´ 3 3k-1 +
+11 ´ 3 3k-1 +16 ´ 2 4k-3 =16(3 3k-1 +2 4k-3 )+11 ´ 3 3k-1 .
Первое слагаемое делится на 11 без остатка, поскольку 3 3k-1 +2 4k-3 делится на 11 по предположению, второе делится на 11, потому что одним из его множителей есть число 11. Значит и сумма делится на 11 без остатка при любом натуральном n. В силу метода математической индукции утверждение доказано.
Задание 11: Доказать, что 11 2n -1 при произвольном натуральном n делится на 6 без остатка.
Решение: 1) Пусть n=1, тогда 11 2 -1=120 делится на 6 без остатка. Значит при n=1 утверждение верно.
2) Предположим, что при n=k
11 2k -1 делится на 6 без остатка.
3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1
11 2(k+1) -1=121 ´ 11 2k -1=120 ´ 11 2k +(11 2k -1).
Оба слагаемых делятся на 6 без остатка: первое содержит кратное 6-ти число 120, а второе делится на 6 без остатка по предположению. Значит и сумма делится на 6 без остатка. В силу метода математической индукции утверждение доказано.
Задание 12: Доказать, что 3 3n+3 -26n-27 при произвольном натуральном n делится на 26 2 (676) без остатка.
Решение: Предварительно докажем, что 3 3n+3 -1 делится на 26 без остатка.
При n=0
3 3 -1=26 делится на 26
Предположим, что при n=k
3 3k+3 -1 делится на 26
Докажем, что утверждение
верно при n=k+1.
3 3k+6 -1=27 ´ 3 3k+3 -1=26 ´ 3 3л+3 +(3 3k+3 -1) –делится на 26
Теперь проведём доказательство утверждения, сформулированного в условии задачи.
1) Очевидно, что при n=1 утверждение верно
3 3+3 -26-27=676
2) Предположим, что при n=k
выражение 3 3k+3 -26k-27 делится на 26 2 без остатка.
3) Докажем, что утверждение верно при n=k+1
3 3k+6 -26(k+1)-27=26(3 3k+3 -1)+(3 3k+3 -26k-27).
Оба слагаемых делятся на 26 2 ; первое делится на 26 2 , потому что мы доказали делимость на 26 выражения, стоящего в скобках, а второе делится по предположению индукции. В силу метода математической индукции утверждение доказано.

Приложенные файлы

  • docx fail2
    Размер файла: 41 kB Загрузок: 4