Исследовательская работа по математике для 5-6 классов

XIV муниципальная научно-практическая конференция старшеклассников «Старт в науку»

Секция физико-математических дисциплин
Название работы «Архимед и его открытия»
Автор работы Шитлова Лиана
Школа МБОУ СОШ №1, 6 класс
Научный руководитель Дергунова Алена Вячеславовна, учитель математики








2015 год
Содержание

Введение..3

Глава I. Рассказы о жизни Архимеда..4

Глава II. Произведения Архимеда7

Приложение16

Заключение18.

















Введение

Более 20 веков и с каждым последующим веком все чаще творческое напряжение человеческой мысли завершается удовлетворенно – эмоциональным восклицанием «ЭВРИКА!» («НАШЕЛ!»). Нашел решение новой задачи, проблемы - ЭВРИКА! Придумал новый метод решения - ЭВРИКА! Сделал открытие - ЭВРИКА! По преданию это, ставшее крылатым, восклицание, знаменующее торжество разума, подарил человечеству величайший Архимед - самый знаменитый в плеяде самобытных математиков Древней Греции. Именно о нем английский математик XVII века Джон Валлис (1616-1703) сказал: «Этот ученый обладал поразительной проницательностью. Он заложил первоосновы почти всех открытий, развитием которых гордится наш век». Так какие же открытия сделал этот великий ученый?

Цель данной работы – познакомиться с научными открытиями Архимеда.

Задачи:

1.Изучить литературу по данному вопросу

2. Составить список открытий, сделанных Архимедом и описать некоторые из них

3. Провести некоторые опыты, предложенные Архимедом

4. Составить викторину






Глава I. Рассказы о жизни Архимеда
Рассказы о жизни Архимеда содержатся у древних историков Полибия (II век до н.э.) и Тита Ливия (I век до н.э.), у писателей Цицерона (I век до н.э.), Плутарха (I-II в.в.) и других.
Архимед родился в Сиракузах на острове Сицилия. Отец Архимеда, астроном и математик Фидий был одним из приближенных царя Сиракуз Гиерона. Фидий дал сыну хорошее образование, побуждая сына к творческому познанию астрономии, механики и математики. Позже тяга к углублению теоретических знаний привела его в Александрию (Египет) - тогдашний мировой научный центр. Здесь он познакомился со знаменитым астрономом Кононом и математиком Эратосфеном, усиленно работал в богатейшей библиотеке, изучал труды ученых Демокрита, Евдокса и других. «Начала» Евклида были настольной книгой Архимеда всю его жизнь. В Александрии первые его блестящие успехи были достигнуты в теоретической механике и ее практических применениях. Замечательным его изобретением была машина для поливки полей («винт-улитка»), имевшая и имеющая до сих пор большое хозяйственное значение в Египте, где дождей почти не бывает и где все сельское хозяйство основано на искусственном орошении. Архимед всегда так сильно увлекался наукой, что его приходилось силой отрывать от рабочего места покушать или насильственно уводить в баню, где он продолжал размышлять над геометрическими фигурами, которые он пальцем чертил на намыленном теле. Об этом ученом, его жизни и научной деятельности создано много легенд.
Одна из легенд рассказывает об открытии Архимедом выталкивающей силы. Царь Гиерон заказал мастеру корону из чистого золота. Когда заказ был выполнен, царь пожелал проверить, не подменил ли мастер часть данного ему золота серебром, и обратился к Архимеду, который в это время был советником царя. Архимед сразу не смог решить поставленную перед ним задачу. Он начал искать путь решения, не переставая думать об этом даже когда занимался другими делами. Иначе не произошло бы то сказочное событие, которое легло в основу легенды.
Случилось оно, как говорят, в бане. Намылившись золой, Архимед решил погрузиться в ванну. Вода поднималась в ванне по мере того, как Архимед погружался в нее. Если он раньше не обращал на это внимания, то теперь это явление его заинтересовало; он привстал - уровень воды опустился, он снова сел - вода поднялась. «ЭВРИКА! Эврика! Я нашел!». Он выскочил из ванны и побежал за драгоценной короной.









Преданье старинное знает весь свет, Как тешась горячею ванной, Открыл свой закон Архимед, Связав его с выходкой странной.
Сияющий выскочил вон Архимед
Из ванны горячей, где мылся,
И прямо из бани, как был не
одет,
Куда-то бежать он пустился.
Картина, достойная кисти богов, По улице солнцем нагретой, Пунктир оставляя из мокрых следов, Бежит Архимед неодетый.
Толпа сиракузцев несется вослед,
В восторге от бешенной гонки,
И громко ликует, когда Архимед
Выкрикивал «ЭВРИКА!»- звонко.
Нашел! Он нашел тот желанный ответ, Который искал так упорно!
«Нашел!» - в упоенье кричал Архимед,
«Нашел!» - повторяли задорно.
По сей день во всех школах мира изучается закон Архимеда о телах, погруженных в жидкость.
Однажды школьница участливо посетовала: «Бедные гении! Они вынуждены были открывать то, что мы проходили в школе».
Другая легенда рассказывает...
Царь Гиерон построил в подарок египетскому царю Птолемею огромный и роскошный корабль «Сирокосия», но людям царя было не под силу спустить этот корабль на воду. Архимед построил машину, с помощью которой один только человек, сам царь, спустил корабль на воду. После этого царь воскликнул: «Отныне, чтобы ни сказал наш Архимед, мы будем считать правдой!» Архимед разработал теорию рычага. Известно еще одно его образно-горделивое высказывание, пережившее века: «Дайте мне точку опоры, и я сдвину Землю!» Разумеется, эти слова не более чем поэтическая гипербола.



Глава II . Произведения Архимеда
До нас дошли следующие произведения Архимеда:
Трактат «О шаре и цилиндре». В нем Архимед изложил свой метод вычисления объема шара и что гораздо сложнее - поверхности шара. И был очень горд открытием красивого результата - «объем шара, вписанного в цилиндр, в полтора раза меньше объема цилиндра и, что точно также относятся поверхности этих тел».
«Разумеется, - пишет Архимед в предисловии к трактату, - эти свойства были присущи этим телам всегда, но они остались неизвестными всем геометрам; ни один из них не заметил даже, что эти тела соизмеримы между собой».
Это открытие восхитило Архимеда настолько, что он даже завещал высечь на его будущем надгробии фигуру цилиндра с вписанным шаром, что было выполнено впоследствии.
Трактат «Квадратура параболы». В нем Архимед находит площадь сегмента параболы.
Трактат «О спиралях». Архимед определяет спираль, как линию, описываемую точкой, равномерно движущейся по прямой, в свою очередь равномерно вращающейся вокруг одной своей точки.
Трактат «О коноидах и сфероидах».
Трактат «Метод». В этой работе находятся объемы тел.
Трактат «Измерения круга». Это одно из наиболее известных произведений Архимеда, от которого, однако, до нас дошел лишь небольшой отрывок. В нем излагаются доказательства следующих положений:
Площадь круга.
Отношение между площадью круга и площадью квадрата, построенного на его диаметре 11:14
Отношение любой окружности к его диаметру
3 13 EMBED Equation.3 1415< 13 EMBED Equation.3 1415 < 3 13 EMBED Equation.3 1415
Трактат «Псаммит» («исчисление песчинок»).
В III веке до н.э. люди еще не знали, что натуральный ряд бесконечен. В этой работе Архимед разработал систему, которая позволяла выразить сколь угодно большое число и показал, что натуральный ряд бесконечен. А число песчинок во вселенной не больше 1065.
Трактат «О плавающих телах». Здесь среди других формулируется Закон Архимеда.
Трактат «О равновесии плоских фигур». Архимед находит центр тяжести треугольника, параллелограмма, трапеции, параболического сегмента, излагает доказательство закона равновесия рычага.
Архимед, таким образом, развивал наряду с теоретической математикой и практическую математику.
«Первый в математической физике»
Архимед был творцом науки, он открыл новые истины, создавал новые теории. Поэтому понятны то изумление и уважение, с которыми к нему относились его современники и теперь относятся те, кто близок к математике, механике и прикладным наукам. Из математических открытий Архимеда особое значение имело вычисление длин кривых, площадей и объемов фигур такими методами, которые спустя 2 тысячи лет были использованы для создания интегрального и дифференциального исчислений. Один из создателей этой теории Лейбниц в XVII век так писал об учении Архимеда: «Внимательно читая сочинения Архимеда, перестаешь удивляться всем новейшим открытиям геометрии».
Это уникальный факт в истории математики - ученый опередил время на 18 веков.
А механику он поднял до такого уровня, которого она не могла превзойти на протяжении 19 веков, до Галилея.
«Первый в мире планетарий»

Изумительное изобретение Архимеда - механический небесный глобус -своеобразный планетарий, демонстрировавший все видимые движения небесных тел на макетах и даже фазы Луны, осуществляемые с помощью специальных механизмов. На поверхности глобуса нанесены звезды и 12 зодиакальных созвездий, через которые движется Солнце, проходя одно созвездие в месяц. Это был первый на земле планетарий, много столетий бывший непревзойденным творением теоретической механики. Впервые он упоминается в I веке до н.э., а последнее принадлежит римскому поэту Клавдиану в V веке.

Небо устав, законы богов, гармонию мира –
Все Сиракузский старик мудро на землю принес.
Воздух, сокрытый внутри, различные движет светила
Точно по дивным путям, сделав творенье живым.
Ложный бежит зодиак, назначенный ход выполняя
Лик поддельной луны вновь каждый месяц идет,
Смелым искусством гордясь, свой мир приводя во вращенье,
Звездами вышних небес правит умом человек.
Содержание и тон стихотворения не оставляют сомнения в том, что Клавдиан видел в действии «архимедов» планетарий больше, чем через 600 лет после его создания. Само появление этого стихотворения показывает, что глобус Архимеда был для людей символом могущества разума.
«Не трогайте моих кругов!»
Пленяет и высокий моральный облик Архимеда. Он был подлинным патриотом своего города. В 212 году до н.э. во время второй Пунической войны римские легионы двинулись на завоевание Карфогена. На их пути был родной город Архимеда - Сиракузы. Римские войска под командованием Мар-целла осадили город с двух сторон, и никто из осажденных уже не надеялся на спасение. Вот тут то и привел Архимед в действие свои машины, которые
он сам сконструировал и построил. Оборона города держалась на гениальной инженерной изобретательности Архимеда. При помощи нескольких десятков хорошо отполированный щитов сиракузских воинов, собирающих в одну точку отраженные солнечные зайчики, он поджигал галеры римлян, с моря подступивших к стенам города. И сегодня нельзя читать без восхищения и удивления строки Плутарха, рассказывающие об осаде Сиракуз римским полководцем Марцеллой: «Сухопутная армия была поражена градом метательных снарядов, камней, вес которых достигал четверть тонны, и бросаемых с великой стремительностью. Что касается флота - то вдруг с высоты стен бревна спускались на суда и топили их. То железные когти и клювы захватывали суда, поднимали их в воздух носом вверх, кормою вниз и потом погружали их в воду. А то и суда приводились во вращение, и, кружась, падали на подводные камни и утесы у подножия стен. Всякую минуту видели какое-нибудь судно поднятым в воздухе. Страшное зрелище!»
«Что же, придется нам прекратить войну против математика», - невесело шутил Марцелл, отводя флот и сухопутное войско от стен Сиракуз и перейдя к их длительной осаде.
Все же после 8-ми месяцев обороны, воспользовавшись отсутствием должной бдительности, римлянам удалось, наконец, ворваться в город. Взятие Сиракуз сопровождалось невероятными актами жестокости, убийствами и грабежами.В числе убитых был Архимед. Седой 75-летний старец сидел и напряженно размышлял над начертанными на песке геометрическими фигурами, когда к нему ворвался римский солдат и бросился на него с мечом. Архимед успел только выкрикнуть: «Не трогай моих кругов!» - как меч солдата поразил его.
Архимед вошел в историю как один из первых ученых, работавших на вой ну, и как первая жертва войны среди людей науки.
Он был задумчив и спокоен, Загадкой круга увлечен... Над ним невежественный воин Взмахнул разбойничьим мечом.
Чертил мыслитель с вдохновеньем, Сдавил лишь сердце тяжкий груз: «Ужель гореть моим твореньям Среди развалин Сиракуз?»

И думал Архимед: «Поникну ль
Я головой на смех врагу?»
Рукою твердой взял он циркуль
Провел последнюю дугу.

Уж пыль клубилась над дорогой,
То в рабство путь, в ярмо цепей.
«Убей меня, но лишь не трогай,
О, варвар, этих чертежей!»
По другой версии предания, солдат убил Архимеда за его отказ подчиниться приказу идти с солдатом к Марцеллу. Так или иначе, но восклицание «не порти моих кругов!» стало афоризмом - заповедью высокой морали на все последующие эпохи.
Стихотворение Дмитрия Кедрина «Архимед».
Нет, не всегда смешон и узок Мудрец глухой к делам Земли: Уже на рейде в Сиракузах
Стояли римлян корабли.
Над математиком курчавым Солдат занес короткий нож,
А он на отмели песчаной Окружность вписывал в чертеж.

Ах, если б смерть - лихую гостью Мне также встретить повезло,
Как Архимед, чертивший тростью
В минуту гибели число!
А известный поэт Черногории Жувдия Ходжич, как бы заново осмысливая последние слова Архимеда, написал взволнованное стихотворение.
Делайте со мною что хотите, Вздерните меня на звездном крюке,
Мокрыми цепями укротите, жгите ноги и ломайте руки
Цельте в сердце мне и наших вдов,
Но не трогайте моих кругов!
По водам томящегося жаждой, Под палящим солнцем загоняйте, Пусть на мне свой меч проверит каждый, На колени бросьте и пытайте,
В ссылку я отправиться готов.
«Но не трогайте моих кругов!
Скифы или порошок термита Нависает в будущем над нами Под меня подсыпьте динамита.
Сиракузы мы спасем кругами.
Не прощайте мне чужих долгов.
Но не трогайте моих кругов!

Слабою натруженной рукою
Север с югом сдвину, дни и ночи.
Не давайте ни на миг покою,
Известью гашеной жгите очи.
Лгу перед лицом ваших судов.
Но не трогайте моих кругов!
«Не трогайте моих кругов!»
Цицерон - знаменитый римский оратор и политик - разыскал могилу Архимеда, когда в 76 году до н.э. был в Сицилии. Им был найден могильный обелиск с выгравированным шаром, вписанным в цилиндр. За 136 лет, прошедших со дня смерти Архимеда, его могила была заброшена и забыта. В Сиракузах все же воздвигли оригинальный памятник Архимеду с моделью вогнутого зеркала в руке. По преданию, с помощью такого зеркала Архимед поджигал корабли неприятеля, угрожавшие Сиракузам. Зеркало имеет вид сферического сегмента, радиус кривизны которого равен примерно 1 м.
Прошла столетий вереница,
Научный подвиг не забыт.
Никто не знает, кто убийца,
Но знают все, кто был убит.
Труды Архимеда значительно подкрепили убеждение людей в том, что Вселенная движется на математических принципах. Закон и порядок существуют в природе, и математика - ключ к пониманию этого порядка.
«Задача - легенда»
Однажды царь приказал Архимеду установить, сколько потребуется золота, чтобы оно по массе равнялось бы массе слона. Но таких весов, чтобы взвесить этот громадный груз, нигде не оказалось. Интересно, каким же способом - и довольно простым - Архимед решил эту задачу?
ОТВЕТ. Архимед решил задачу, поставив слона на большой плот и отметив уровень, до которого плот погрузился в воду. Потом слона сняли с плота и стали нагружать плот слитками до тех пор, пока плот не погрузили до отмеченного уровня. В этом положении вес плота с золотом сравнялся с весом плота со слоном, и, значит, золото весило столько же, сколько слон.

«Как взвесить площадь?»
Архимед предложил остроумный способ приближенного вычисления площади начерченной плоской фигуры при помощи взвешивания: перечертить фигуру на лист из однородного материала, вырезать ее, взвесить на точных весах, а затем взвесить квадрат со стороной, равной единице масштаба фигуры, вырезанной из того же материала, и разделить первый результат на второй.
(Показ взвешивания числа
·)
Начертите на картоне круг радиуса R=l дм, аккуратно вырежьте круг, определите массу при помощи весов. Значение
· = т.

«Задача Гиерона»

Царь Гиерон заказал мастеру венец из чистого золота. Когда заказ был выполнен, царь пожелал проверить, не подменил ли мастер часть данного ему золота серебром и обратился к Архимеду, который в это время был советником царя.

Решение задачи с точки зрения физики:
Дано:
Pв воздухе=20Н
P в воде=18,75Н
(воды=1000
(золота=1932013 EMBED Equation.3 1415
Найти: (венца
Сравнить ( венца с (золота.
Решение:
Fарх= Pв воздухе- P в воде=1,25Н
Fарх=(жVтелаg(Vтела=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=1,25*10-4Н
Pв воздухе=mg(mвенца=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=2 (кг)
m=V( венца (( венца=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415104=1,6*104=1600013 EMBED Equation.3 1415- это меньше плотности золота. Значит, мастер обманул царя.

Решение задачи с точки зрения математики.

Чистое золото теряет в воде 20-ю долю своего веса, а серебро 10-ю долю. Обман мы раскрыли, но последуем примеру Архимеда и выясним, сколько золота мастер заменил серебром?
Корона потеряла в весе 1,25Н=13 EMBED Equation.3 1415Н, а должна бы потерять 1Н. Это потому, что она содержит серебро, которое теряет в воде не 13 EMBED Equation.3 1415долю веса, а 13 EMBED Equation.3 1415. Серебра должно быть в короне столько, чтобы венец терял в воде не 1Н, а 13 EMBED Equation.3 1415Н, т.е. на 13 EMBED Equation.3 1415Н более.
Если в короне из чистого золота мысленно заменить 1Н золота серебром, то корона потеряет в воде больше, чем прежде на 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415Н.
Следовательно, чтобы получилось требуемое увеличение потери веса на 13 EMBED Equation.3 1415Н, необходимо заменить серебром столько золота, во сколько раз 13 EMBED Equation.3 1415Н больше 13 EMBED Equation.3 1415Н, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415= в 5 раз.
Итак, в венце было 5 Н серебра и 15 Н золота.










Приложение


Игрушка «Подводный житель» (Поплавок Декарта)

Из яйца выдуть содержимое. Приделать «ручки» и «ножки» из пластилина.
Налить в яйцо воды, закрыть указательным пальцем, опрокинуть и опустить в сосуд с водой. Приливая и отливая воду, добиваемся, чтобы игрушка плавала. Теперь дополните банку водой до краев, затяните резиновой пленкой, обвязав горлышко сосуда ниткой.
Нажатием на пленку вы заставите «человечка» плясать вверх и вниз.

Опыты:

За столом.
Растворите в стакане, наполненном на ѕ кипятком, 2-3 кусочка сахару. У поверхности жидкости поместите наклонно чайную ложку и на нее лейте тонкой струйкой крепкий чай. Золотистый слой чая будет находится поверх подслащенного кипятка, не смешиваясь с ним. Почему?
Три банки и три картофелины.
Приготовьте три примерно одинаковые небольшие картофелины, три полулитровые банки, поваренную соль, сосуд с водой.
В 1 банку налейте воды, во 2 – очень крепкий раствор. Третью банку до половины наполните крепким рассолом, а поверх него осторожно налейте чистой воды так, чтобы жидкости не смешивались (см. предыдущий опыт). Если положить во все три банки по картофелине, то как они распложаться? Почему? Проверьте свои рассуждения опытным путем.

Викторина « На воде и под водой».
Почему, плывя на спине, легче держаться на воде?
Ответ: плыть на спине легче, т.к. при этом наибольшая часть тела человека погружена в воду. Это увеличивает выталкивающую силу.
Почему спасательные пояса делают из пробки?
Ответ: пробка имеет малую плотность по сравнению с водой: (пробки=220 13 EMBED Equation.3 1415 (воды=1000 13 EMBED Equation.3 1415
Почему надувная лодка имеет малую осадку?
Ответ: Плотность воздуха, которым надута лодка, во много раз меньше плотности воды, а вес стенок лодки также невелик: (воздуха(1,313 EMBED Equation.3 1415 (воды=1000 13 EMBED Equation.3 1415
Зачем у ледоколов надводную носовую часть делают наклонной, как бы срезанной?
Ответ: Чтобы нижняя часть носа ледокола наезжая на льдины, и ледокол разрушал лед собственным весом.
Почему у кораблей, выходя из устьев рек в открытое море, осадка становится меньшей?
Ответ: Плотность морской воды 105013 EMBED Equation.3 1415( плотности пресной воды
Обучаясь, водолазы должны сколотить деревянный ящик под водой. В чем трудность задания?
Ответ: Трудность заключается в следующем: гвозди, молоток падают вниз, а доски уплывают вверх. Рукоятка молотка, вырываясь из рук располагается вертикально и т.п.
Когда мы стоим на каменистом дне реки или моря на мелководье, у самого берега, то ногам больно, а когда уходим вглубь, боль уменьшается. Почему?
Ответ: Чем большая часть тела человека погружена в воду, тем больше выталкивающая сила. Это приводит к уменьшению силы давления ступни на дно ( по III закону Ньютона уменьшается давление дна на ступни.
Заключение
Работая над выбранной темой, мною было изучено много литературы, рассказывающей о жизни и деятельности Архимеда, его открытиях. Я нашла в изученной литературе подтверждение тому, что Архимед – действительно великий ученый, который сделал много открытий не просто теоретических, а таких, которые использовались человеком еще в глубокой древности. Этот ученый достоин того, чтобы его имя знали все. Мною были проделаны некоторые опыты, которые оказались интересными, они подтверждают законы физики. В ходе работы я составила викторину для проверки знаний учащихся. Работа по данной теме оказалась интересной и полезной. Думаю, что подобранный мною материал пригодится и учащимся, и учителям нашей школы.












Root Entry

Приложенные файлы