Исследовательская работа по математике «В мире функций» студентки группы № 17ЭБОу Замбаровой Татьяны, руководитель: Марченко О.В.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Министерство образования Оренбургской области Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Орский машиностроительный колледж» г.Орска Оренбургской области Исследовательская работа по математике «В мире функций» Подготовила : Замбарова Татьяна, студент к а группы 17ЭБОу Руководитель: Марченко О.В., преподаватель математики высшей категории Орск, 2016 Эпиграфом к моей работе служит высказывание Леонарда Эйлера: « Некоторые наиболее часто встречающиеся вид ы функций открывают доступ ко многим исследованиям». Современная математика знает множество функций, и у каждой своей неповторимый облик, как неповторим облик каждого из миллиардов людей, живущих на земле. Мы тоже являемся функцией многих переменных, одна из которых – время. Проходят годы и мы меняемся. Мы также зависим от своей наследственности, от книг, которые мы читаем, от температуры окружающей нас среды и от многих других факторов. Однако при всей непохожести одного человека на другого у каждого есть руки и голова, уши и рот. Точно так же облик каждой функции можно представить сложенным из набора характерных деталей. В них появляются основные свойства функций. На уроках математики все знакомятся с различными функциями, их свойствами и графиками, но ма ло знают о том, где в реальной жизни можно встретиться с этой моделью, и как человек использует свойства функций в своей практической деятельности. Актуальность темы . Реальные процессы в жизни обычно связаны с большим количеством переменных и зависимос тей между ними. Описать эти зависимости можно с помощью функций. Знание свойств функций позволяет понять суть происходящих процессов, предсказать ход их развития, управлять ими. Поэтому изучение функций является актуальным всегда. Объектом моего исследова ния стали математические функции и их приложения. Цель : увидеть связь функций с явлениями окружающего мира и практической деятельностью человека. Для достижения цели были поставлены следующие задачи:  изучить историю возникновения понятия «функция»;  найти примеры функций в окружающем мире. Гипотеза: В начале моего исследования я предположила, что между величинами существует функциональная связь. А чтобы проверить эту гипотезу мною была изучена и проанализирована дополнительная литература, а также был пров еден опрос студентов моей группы с целью выявления мнения о роли функции в жизни в виде мини сочинения на данную тему. Практическая ценность нашего исследования в том, что оно будет полезно обучающимся, желающим расширить свои знания о функциях и их приложениях. Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Так, вавилонские ученые (4 - 5тыс.лет назад) пусть не сознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса. Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отн ошения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений. Путь к появлению понятия функции заложили в 17 веке французские ученые Франсуа Виет и Рене Декарт; они разработали единую буквенную математическую символику, кото рая вскоре получила всеобщее признание. Само слово «функция» (от латинского functio - совершение , выполнение) впервые было употреблено немецким математиком Лейбницем в 1673г. Окончательную формулировку определения функции с аналитической точки зрения сдел ал в 1748 году Леонард Эйлер. Что такое функция? Функция – это зависимость переменной у от переменной х , при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у . При этом переменную х называют независимой переменной или аргумент, а переменную у - зависимой переменной. Понятие «Функция» сыграла и поныне играет большую роль в познании реального мира. Функция – это не только математическое понятие, но и: функция — это работа, производимая органом, организмом; роль, значение чего - либо; функция — это возможность, опция, умение программы или прибора; функцию можно понимать как обязанность, круг деятельности; функция персонажа в литературном произведении; функция — вид подпрограммы в информатике можно рассматривать функцию с соц иальной точки зрения Каждая область знаний: физика, химия, биология, социология, лингвистика имеет свои объекты изучения, устанавливает свойства и, что особенно важно, взаимосвязи этих объектов. В различных науках и областях человеческой деятельности в озникают количественные соотношения, и математика изучает их в виде свойств чисел. Свободное владение техникой построения графиков часто помогает решать многие задачи, а порой является естественным средством их решения. Математика является языком различных областей науки и нашей жизни. С функцией мы встречаемся каждый день : совершая покупки ( стоимость покупки есть функция от количества конфет) ; ежедневная температура на улице есть функция от времени и так далее. Каким же образом задаются функции? Существуе т несколько способов задания функций:  аналитический,  словесный,  графический,  табличный,  с помощью графов. Наиболее распространен аналитический способ задания функции , при котором функция задается формулой, устанавливающей, какие вычислительные операци и надо произвести над х, чтобы найти у. Примером словесного способа задания функций могут служить пословицы и поговорки. Ведь пословицы – это тоже отражение устойчивых закономерностей, выверенное многовековым опытом народа. Например: « Тише едешь – дальше будешь», «Чем больше гвоздей, тем крепче дом», «Светит, но не греет», «Без копейки, нет рубля». Распространен и графический способ задания функции . График функции - это множество точек на координатной плоскости, абсциссы которых равны з начениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции. Этот способ позволяет наглядно представить функциональную зависимость. С графическим способом задания функций мы имеем дело на уроках физики, химии. При табличном способе задания фун кция задается в виде таблицы, в которой для каждого значения аргумента указывается соответствующее ему значение функции. Табличный способ общеизвестен (таблица квадратов и таблица кубов натуральных чисел и т. д.). Этот способ сразу даёт числовое значение ф ункции. В этом его преимущество перед другими способами. Пример. Таблица квадратов чисел от 1 до 10, зависимость атмосферного давления от высоты и другие. С помощью графов. В математике графом называют набор точек, некоторые из которых соединены линиями. Точки именуются вершинами графов, а отрезки - ребрами. Рассмотрим основные математические функции и области их применения в нашей жизни. 1) Линейная функция: y = kx + b Графиком лин ейной функции является прямая. С линейной функциональной зависимостью мы встречаемся на уроках физики, химии, а также в повседневной жизни. 2). Квадратичная функция. Квадратичная функция является наиболее хорошо изученной функцией, она довольно часто встр ечается на практике. Графиком квадратичной функции является парабола. Хорошо известно, что траектория прыжков животных близка к параболе. Замечательное свойство параболы широко используется в науке и технике, например, параболическая арка; свод моста. Известно также, что многие законы природы выражаются в виде квадратичной зависимости . Траектория струй воды тоже будет параболой. Кроме того, с войство параболических зеркал используют при конструировании солнечных печей, солнечных электростанций, отражат ельных телескопов - рефлекторов. 3). Функция «Обратная пропорциональность» очень важна, как предмет изучения. Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Она обладает замечательными свойствами, которые позволяют считать её не только предмето м изучения, но и средством познания мира, позволяющим сделать мир более совершенным. Гипербола в жизни встречается гораздо реже, чем парабола. Вращая гиперболу вокруг каждой из этих осей, получают два гиперболоида вращения - однополостной и двуполо стной. Свойство однополостного гиперболоида использовал русский инженер В.Г.Шухов при строительстве радиостанции в Москве (башня Шухова). Она состоит из нескольких поставленных друг на друга гиперболоидов. Также устроена и Эйфелева башня в Париже. 4) Триг онометрическая функция. Различные колебания окружают нас на каждом шагу. Механические колебания применяются для просеивания материалов на виброситах, безболезненного высверливания отверстий в зубах. Акустические колебания нужны для приема и воспроизведения звука, а электромагнитные – для радио, телевидения, связи с космическими ракетами. С помощью электромагнитных колебаний учеными были получены снимки обратной стороны Луны и вечно закрытой облаками Венеры. Колебания сопровождают и биологические процессы, н апример, слух, зрение, работу сердца и мозга. Метеорологическая служба фиксирует изменения температуры, строя с помощью термографа график температуры. Используя показания сейсмографов (приборов, непрерывно фиксирующих колебания почвы и строящих специальн ые графики – сейсмограммы), геологи могут предсказать приближение землетрясение или цунами. Врачи выявляют болезни сердца с помощью кардиографа, их называют кардиограммами. 5) Логарифмическая функция Самая интересная, полезная и лирическая Это – функци я логарифмическая. Спросите вы: «А чем интересна?» А тем, что обратна она показательной И относительно прямой у=х, как известно, Симметричны их графики обязательно. Проходит график через точку (1;0). И в том еще у графика соль, Что в правой полуплоскости он стелется, А в левую попасть и не надеется. Но если аргументы поменяем, Тогда по правилам кривую мы сдвигаем, Растягиваем, если надо, иль сжимаем И относительно осей отображаем. Сама же функция порою убывает, Порою по команде возрастает. А командиром слу жит ей значенье а И подчиняется она ему всегда. Теперь полезность мы вам четко обоснуем И яркую картину нарисуем. Вот вы когда - нибудь слыхали О логарифмической спирали? Закручены по ней рога козлов, И не найдете вы на них нигде узлов. Моллюсков многих и ул иток Ракушки тоже все завиты. И как сказал великий Гете: «Вы совершеннее строенья не найдете!» И эту спираль мы повсюду встречаем: К примеру, ножи в механизме вращая. В изгибе трубы мы ее обнаружим – Турбины тогда максимально послужат! В подсолнухе семечк и тоже закручены, И паука все плетенья заучены. Наверняка и о том вы не знали, Галактики тоже кружат по спирали! 6) Показательная функция Слушайте, слушайте внимательно! И тогда признаете обязательно: Самая важная – функция показательная! Экспонента – имя линии моей! Хоть нет как у параболы, ветвей, Я – положительна! И это всем нам видно. И жмусь к оси Ох одним концом я безобидно, Вторым концом я устремляюсь ввысь! А ну - ка, степенная, доберись! Давно сравнили нашу скорость роста. Ты по сравнению со мной – малютка просто! Я монотонна, это правда: Иль возрастаю иль спускаюсь вниз. Но помнить вам еще о том бы надо, Что в свойстве этом есть один сюрприз: Я – обратима! Это ли не счастье – В логарифмическую обратиться в одночасье. Скажу о точке ноль и единице: Х оть график мой и быстро вверх стремиться, В любом он случае через нее проходит – Она все графики в пучок единый сводит. Н. Будлянская Показательная функция, подобно линейной и квадратичной, очень часто реализуется в физических, биологических и иных закона х. И это, конечно, не является случайностью. В жизни нередко приходится встречаться с такими фактами, когда скорость изменения какой - либо величины пропорциональна самой величине. Например, рост бактерий, микроорганизмов, дрожжей, ферментов. Показательная ф ункций также используется в физике для определения результирующей силы света припрохождении через среду. Поскольку я будущий экономист и бухгалтер, то меня интересовало применение математических функций в экономике. Функции в экономике Функции находят шир окое применение в экономической теории и практике. Спектр использования разнообразных функций: от простейших линейных до функций, полученных по определённому алгоритму с помощью программ, соотношений, связывающих состояния изучаемых объектов в разные пери оды времени. Изучением этих вопросов занимается математическая экономика - наука, предметом которой являются математические модели экономических объектов и процессов. Например, кривая спроса и предложения, линия производственных возможностей. Вывод: Таки м образом, изучив и проанализировав литературу по истории развития функций, их применения в науке, технике и в окружающем мире, я убедилась, что между величинами существует функциональная связь, а также мне удалось показать, что понятие “функция” находит п роявление в природе и широкое применение в жизни человека. Наблюдая различные процессы и явления, мы стараемся разглядеть самые существенные их черты, самые глубокие закономерности. Часто они оказываются общими для широчайшего круга наблюдаемых событий . Общей оказывается и математическая модель, построенная на основе этих закономерностей. Библиографический список  Виленкин Н. Я. Функции в природе и технике: Книга для внеклассного чтения 9 – 10 кл. – 2 – е изд., испр. – М.: Просвещение, 199 3.  Волович М.Б. «Справочник школьника 5 - 11 класс»  Глейзер Г.И. История математики в школе: 9 - 10 класс - М.: Просвещение. - 1983.  Интернет - ресурсы: http :// linear function . ru  http :// ru . wikipedia . org / wiki /ЭТ  Ульяновская Н. Н. О, функция, как ты Важна // Мат ематика. – 1999. - №45.  Энциклопедический словарь юного математика. - М.: Педагогика. - 1989 .

Приложенные файлы

  • pdf fil6
    Размер файла: 393 kB Загрузок: 97