исследовательская работа по математике «Палиндромы» студентки группы № 11 ТМ Шульга Марины, руководитель : Марченко О.В.


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте файл и откройте на своем компьютере.
Министерство образования Оренбургской области Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение «Орский машиностроительный колледж» г.Орска Оренбургской области Исследовательская работа по математике «Палиндромы» Подготовила : Шульга Марина , студента группы 11ТМ Руководитель: Марченко О.В ., преподаватель мате матики высшей категории Орск, 2016 В тестах ЕГЭ по математике можно встретить следующую задачу: а) Приведите пример числа - палиндрома, который делится на 15. б) Сколько существует пятизначных чисел - палиндромов, делящихся на 15? в) Найдите 37 - е по величине число - палиндром, которое делится на 15. Прежде чем решить подобную задачу, следует выяснить, какие числа называются палиндромами? Меня заинтересовал этот вопрос. Кроме того, мне стало интересно существуют ли в математике формулы - палиндромы? Поэтому цель моей работы : изучить пал индромы в математике и рассмотреть их в других науках. Задачи исследования 1. Изучить литературу по теме исследования. 2. Изучить числа - палиндромы и их свойства. 3. Рассмотреть палиндромы в других науках. Объектом моего исследования стали числа палиндромы В свое м исследовании я использовала следующие методы:  сбор материала, работа с литературой, решение задач, анализ, обобщение;  изучение дополнительной литературы (справочники, словари, энциклопедии);  анализ полученной информации (обобщение, сравнение, сопос тавление с имеющимися знаниями по данной теме); С понятием палиндрома мы все с вами знакомы с детства. Все помнят книгу о приключениях Буратино. Помните, как строгая Мальвина учила Буратино писать? Она велела написать такую фразу: “А роза упала на лап у Азора” и велела прочитать “наоборот”. Эта фраза читается слева направо и справа налево. Это фраза - палиндром (в переводе — «бегущий назад, возвращающийся» ). Слова: ШАЛАШ, РАДАР, ТОПОТ, КОК, КАЗАК — тоже палиндромы. Таким образом, в литературе есть такие уд ивительные фразы, которые читаются одинаково и слева направо, и справа налево. Палиндром – одна из древнейших форм литературных экспериментов. Изобретение европейских палиндромов приписывается греческому поэту Сотаду (300 г. до н.э.). Древние греки одност рочными палиндромами украшали чаши для питья: в какую сторону ни повернёшь такую чашу, прочитаешь одно и то же. Палиндромы известны с древнейших времен, им присваивалось сакральное значение. Так, один из самых первых палиндромов, о котором знает история — знаменитый SATOR . SATOR AREPO TENET OPERA ROTAS — переводят с латыни, как «Сеятель Арепо с трудом удерживает колёса», иногда — «Сеятель Арепо держит колеса в деле». Эта фраза сохранилась со времен Римской империи на архитектурных памятниках Европы и северн ой Африки. Чаще всего, эти слова располагали в квадрате таким образом, что слова читаются одинаково не только слева направо и справа налево, но и сверху вниз и наоборот. Фразу находят даже среди руин Помпеи, уничтоженной вулканом. Этот перевертыш в старину считался божественным и писался для защиты от тёмных сил. В России палиндромы появились только в конце18 века, а палиндромные стихи тогда называли рачьими – по аналогии с ретроградными членистоногими. Первым, кто обратился к данному жанру, был Г.Р.Держав ин. Расцвет русских палиндромов пришелся на первую треть 20 века. Яркие образцы – в творчестве Валерия Брюсова, Велимира Хлебникова, Владимира Набокова. Позже к палиндромам обращались С.Кирсанов и Андрей Вознесенский. А поэт Н.Ладыгин установил своеобраз ный рекорд, написав более 2000 строк - перевертышей. Палиндром – свойство фракталов, кристаллов и живой материи. Способность самокопирования лежит в человеческой природе глубоко, на генетическом уровне. Молекулы ДНК обнаруживают палиндромные элементы. Сам че ловек являет собой наглядный пример палиндрома, точнее, частный случай вертикальной симметрии. Как показал анализ литературы, числа палиндромы образуют одно из наиболее интересных подмножеств множества натуральных чисел. Они обладают необычной историей, уд ивительными свойствами. Мы провели опрос среди студентов 1 курса и выяснили, что многие ребята слышали об этих числах, но подробную информацию знают единицы. Числовые палиндромы – это натуральные числа, которые одинаково читаются справа налево и слева нап раво. Иначе говоря, отличаются симметрией записи (расположения цифр), причём число знаков может быть как чётным, так и нечётным. Например: 121; 676; 1331; 4884; 94949; 1177711; 1178711 и т. д. Изучая палиндромы, возникает вопрос: «Как из других чисел можно получить палиндромы?» Палиндром можно получить как результат операций над другими числами. Для этого воспользуемся известным алгоритмом. Алгоритм получения палиндрома  Возьми любое двузначное число  Переверни его (переставь цифры справа налево)  Найди их сум му  Переверни полученное число  Найди их сумму  Повторяй аналогичные действия до тех пор, пока не получится палиндром Пример: 1. 96 2. 96 + 69 = 165 3. 165 + 561 = 726 4. 726 + 627 =1353 5. 1353 + 3531 = 4884 Из палиндромов простых чисел и их «Перевертышей» можно составлят ь различные комбинации, которые представлены на экране. В результате проделанной работы пришли к выводу, что, используя составленный алгоритм, из любого двузначного числа можно получить число - палиндром. Можно рассмотреть не только сложение, но и другие оп ерации над палиндромами. Задача. Найти все пары таких двузначных чисел, чтобы результат их сложения, вычитания, умножения, деления не менялся в результате прочтения справа налево. Решение Сумма первых цифр у всех таких пар равна сумме их вторых цифр. Примеры: 76+34=43+67 52+47 =74+25 В случае вычитания имеем: разность первых цифр у всех таких пар равна разности их вторых цифр Примеры: 41 - 32 = 23 - 14, 62 - 17 = 71 - 26 В случае умножения имеем произведение первых цифр равно произведению вторых ц ифр. Примеры: 39*31=13*93, 42*12=21*24 В случае деления имеем: произведение первой цифры первого числа на вторую цифру второго числа равно произведению двух других их цифр. Примеры: 82:41=28:14 Теперь обратимся к числам простым. В их бесконечном множ естве имеются целые семейства палиндромов. Только среди первых ста миллионов натуральных чисел насчитывается 781 простой палиндром, причём двадцать приходится на первую тысячу, из них четыре числа однозначные – 2; 3; 5; 7 и всего одно двузначное – 11. С т акими числами связано немало интересных закономерностей:  Существует единственный простой палиндром с чётным числом цифр – 11.  Первой и последней цифрами любого простого палиндрома могут быть только 1; 3; 7 или 9. Это следует из известных признаков делимост и на 2 и на 5. Все простые двузначные числа, записанные с помощью перечисленных цифр (кроме 19), можно разбить на пары. Например: 13 и 31; 17 и 71; 37 и 73; 79 и 97.  Среди простых трёхзначных палиндромов встречаются пары чисел, у которых средняя цифра отли чается всего на 1. Например: 181 и 191; 373 и 383; 787 и 797; 919 и 929.  Аналогичная картина наблюдается у больших простых чисел. Например: 94849 и 94949; 1177711 и 1178711.  Все однозначные числа являются палиндромами.  26 – наименьшее число, не являющееся палиндромом, квадрат которого палиндром. Например: 26² = 676  А вот пары чисел - «перевёртышей» 13 — 31 и 113 — 311 при возведении в квадрат дают также пары «перевёртышей»: 169 — 961 и 12769 — 96721. Вообще среди простых чисел - палиндромов встречаются удиви тельные экземпляры. Вот лишь один пример — числовой гигант (он представлен на экране). А интересен он тем, что содержит 11 811 цифр, которые можно разбить на три палидромические группы, причём в каждой группе количество цифр выражается простым числом ( 5903 или 5). С помощью понятий числа - палиндромы и формулы - палиндромы можно решать задачи на делимость чисел, которые часто встречаются в олимпиадах по математике. Рассмотрим палиндромы в других науках: - в изобразительном искусстве Палиндромы в биоло гическом смысле обладают способностью обеспечивать увеличение объема информации без повышения количества нуклеотидов. Особое значение «симметричные формы» имеют при образовании некоторых видов нуклеиновых кислот – транспортных РНК. В химии палиндромом можн о считать формулу щавелевой кислоты В литературе: - Лилипут сома на мосту пилил. - Нажал кабан на баклажан. - Город дорог. Палиндромы в иностранных языках «Madam, I’m Adam» - представление мужчины даме (Мадам, я Адам). На это дама скромно может ответ ить «перевертышем»: «Eve» (Ева). Бывают симметричными не только предложения или наборы букв. Race fast, safe car (Гони быстро, безопасная машина) Do geese see God? ( Видят ли гуси бога ?) Never odd or even (Никогда нечётные или чётные) Don’t nod (Не кивай ) Dogma: I am God (Догма: я — бог) Madam, in Eden I’m Adam (Мадам, в раю я — Адам) Ah, Satan sees Natasha (Ах, Сатана видит Наташу) God saw I was dog (Бог видел, что я был собакой) I prefer Pi (Я предпочитаю π) Too hot to hoot (Слишком жарко, чтобы улюлюка ть) Говорят, что даже Наполеон увлекался созданием палиндромов. В музыке Палиндромные музыкальные произведения играются «как обычно», в соответствии с правилами. После завершения пьесы ноты переворачиваются. Затем произведение играют снова, но мелодия пр и этом не будет меняться. Итераций может присутствовать сколько угодно, неизвестно при этом, что является низом, а что – верхом. Данные музыкальные произведения можно сыграть вдвоем, при этом читая ноты с обеих сторон одновременно. В качестве примеров таки х палиндромических произведений можно привести «Путь мира», написанный Мошелесом, и «Застольную мелодию для двоих», сочиненную Моцартом. Между прочим, нашему поколению выпала большая удача, не каждому человеку выпадает прожить хотя бы один палиндромный го д, а уж тем более два - 1991 - й и 2002 - й. Ведь предыдущий был в 1881 - м, а следующий — в 2112 - м. А уж миг полного числового равноденствия палиндромный миг 20.02. 2002 приходит и того реже… Если возвращаться к первой задаче из тестов ЕГЭ, то ее решением буд ет следующие. а) Приведите пример числа - палиндрома, который делится на 15. Ответ: 5115; 5445. б) Сколько существует пятизначных чисел - палиндромов, делящихся на 15? Ответ: 33 в) Найдите 37 - е по величине число - палиндром, которое делится на 15. в) 37 - е пятизн ачное число - палиндром отсутствует. В конце моего исследования, мне хотелось бы подвести итог: в данной мы прикоснулись к удивительному математическому явлению - симметрии, в частности к её проявлению — палиндромам. Все вы сегодня убедились в том, что МАТЕ МАТИКА важна не только сама по себе. Математический подход к окружающему миру помогает лучше его познать. В своей работе я рассмотрела числа – палиндромы, формулы – палиндромы для суммы, разности и произведения двузначных чисел и смогла их доказать. Путь п ознания законов гармонии и красоты долог и труден, и мы находимся только в его начале. Библиографический список. 1.Т.В. Домбровская. Симметрия и асиммет рия в природе, науке и искусстве. Томск.1999. « Пеленг». 2.Истомин С.В. \ Музыка. М.АСТ: 2005 (Хочу всё знать). 3. Энциклопедический словарь юного математика. 4. Интернет - ресурсы.

Приложенные файлы

  • pdf fil8
    Размер файла: 409 kB Загрузок: 47