Исследовательская работа «Удивительный лист Мёбиуса »

«Шаг в будущее – 2016»






Секция «Математика»


«Удивительный лист Мёбиуса »


Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Бурмистрова Эльза Александровна,
Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс



Руководитель: Бурмистрова Рамзия Валиулловна, учитель математики
Дубынская средняя общеобразовательная школа





2016г.
УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс


СОДЕРЖАНИЕ
Страница
Краткая аннотация стр. 3
Аннотация стр. 4
Научная статья..стр. 5 3.1. Историческая справка....... стр. 5 3.2. Что такое лист Мёбиуса? ...стр. 5
3.3. Лист Мёбиуса – основатель науки «Топология»..стр. 6
3.4. Экспериментальная часть. Свойства листа Мёбиусастр. 6
3.5 Существование объектов, подобных листу Мёбиуса.......стр. 8
3.6. Результаты опроса среди учащихся 6-11 классов.....стр. 8
3.7. Заключение .....стр. 10
Список литературы и Интернет - ресурсов...стр. 11
Приложения..стр. 12













УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс


1. КРАТКАЯ АННОТАЦИЯ
Во многих парках и скверах и даже в художественных музеях можно встретить необычный круг-ленту. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. Что это за лента и почему она вызывает такой интерес у художников и скульпторов? Оказывается это лента Мебиуса и имеет самое прямое отношение к математике, а точнее к геометрии. Мне захотелось, как можно больше узнать о листе Мебиуса еще и потому, что эту ленту часто называют загадочной.
Работа посвящена изучению листа Мёбиуса, экспериментальному изучению свойств листа Мёбиуса, её применению в жизни. Рассмотрены объекты, подобные листу Мёбиуса.

















УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

2. АННОТАЦИЯ
Актуальность:
Тема исследования листа Мёбиуса, является актуальной, так как в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела ветвь геометрии - топология. На основе этих секретов создано много полезных вещей и изобретений, поэтому изучение этих секретов просто необходимо. Сегодня в математическую жизнь вошла компьютерная геометрия, позволяющая представить сложные математические модели. Бумажное моделирование развивает умственные способности и пространственное воображение, т.к. на пальцах рук находится много нервных окончаний, влияющих на мозговую деятельность. И это полезно тем учащимся, у которых недостаточно развито пространственное воображение.
Я выбрала тему листа Мёбиуса, потому что считаю, что она имеет наиболее важное научное и практическое значение и просто интересна для учащихся. Уже сейчас лента Мёбиуса находит различное применение в быту: красящие ремни для печатающих устройств, ременные передачи и т.д. Эксперименты с лентой Мёбиуса очень интересны. О листе Мёбиуса я услышала случайно от учителя математики (по совместительству работающая мамой). Меня заинтересовал этот лист, я стала искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых рассказала в своей работе.
Объект исследования: лист Мёбиуса.
Гипотеза: Я предполагаю, что лист Мёбиуса обладает неожиданными свойствами.
.Цель работы:  изучить экспериментально свойства листа Мёбиуса.
В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие
Задачи: - прочитать математическую литературу, в которой авторы рассказывают о таком объекте как
«лист Мёбиуса», исследовать полученную информацию.
- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления; - проверить опытно-экспериментальным путём свойства листа Мёбиуса. - показать использование листа Мёбиуса. - провести опрос учащихся 6 -11 классов
- проанализировать собранную информацию
- оформить материал
- представить результаты исследований.
Методы исследования:
- работа с литературой;
-поиск информации во всемирной сети Интернет;
УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

3. НАУЧНАЯ СТАТЬЯ
3.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
17 ноября 1790 года в Германии родился мальчик Август Фердинанд Мёбиус – здоровый и крепкий малыш. Все шло и развивалось своим чередом. Школа, университет. Мальчику повезло: астрономию ему преподавал сам Гаусс, математику – Пфафф. Как-то незаметно для окружающих в 26 лет он стал профессором, руководителем астрономической лаборатории в Лейпцигском университете.
Научные статьи, лекции, работа. Рассеянного доброго чудака студенты боготворили. Он любил удивлять их неожиданными задачками и назначал лекции, к примеру, на два часа ночи, чтобы показать ночное небо во всей его красе. Возможно, имя этого человека за 220 лет растворилось в истории, если бы ни одно ненастное утро
На улице шел дождь. Была выкурена трубка, выпита чашка любимого кофе с молоком. Вид из окна навевал тоску. В кресле сидел мужчина. Мысли были разные, но как-то ничего особенного не приходило на ум. На пороге комнаты появилась любимая жена. Она была разгневана, что для мирного дома Мёбиусов было почти так же невероятно, как три раза в год увидеть парад планет, и категорически требовала немедленно уволить служанку, которая настолько бездарна, что даже не способна правильно сшить ленту. Хмуро разглядывая злосчастную ленту, профессор воскликнул: "Ай да, Марта! Девочка не так уж глупа. Ведь это же односторонняя кольцевая поверхность. У ленточки нет изнанки!”
Как бы то ни было, но в 1858 году Лейпцигский профессор Август Фердинанд Мёбиус, послал в Парижскую академию наук работу, включающую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы, и, не дождавшись, опубликовал её результаты. Справедливости ради, надо отметить, что почти в это же время предложил в качестве первого примера односторонней поверхности этот лист и другой ученик К.Ф. Гаусса – Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского Университета. Свою работу он опубликовал на три года раньше, чем Мёбиус, - в 1862 году, но лента все-таки носит имя Мебиуса.
3.2. ЧТО ТАКОЕ ЛИСТ МЁБИУСА?
Лист Мёбиуса это простейшая односторонняя поверхность с краем (Приложение 1) Попасть из одной точки этой поверхности в любую другую можно, не пересекая края. Всякая замкнутая поверхность, лежащая в трёхмерном пространстве, разделяет его на две части ограниченную «внутренность» и неограниченную «внешность», подобно тому, как замкнутая кривая разделяет плоскость на две части. Самое же удивительное, пожалуй, то, что мы можем её сделать своими руками и это совсем несложно. Надо лишь взять полоску бумаги и для ясности обозначим углы с одной стороны ленты А и В, а с другой – C и D. Далее склеить её концы, предварительно повернув один из них на 180о. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента Мёбиуса. (Приложение 1) Полоска должна быть узкой и длинной, с возможно большим отношением длины к ширине. Из квадратного листа ленты Мебиуса не сделаешь,

УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

если бумагу запрещается мять. Примем ширину полоски за единицу. Ясно, что чем длиннее полоска, тем легче склеить из нее ленту Мебиуса.

3.3. ЛИСТ МЁБИУСА – ОСНОВАТЕЛЬ НАУКИ «ТОПОЛОГИЯ»

Мёбиус стал одним из крупнейших геометров своего времени. Свойство геометрических фигур, которые не меняются, если их гнуть, растягивать, сжимать, но не склеивать и не рвать, изучает математическая наука топология. Слово это придумал Иоганн Бенедикт Листинг.
Тополо
·гия (от [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
·
·
·
·
·
· место) часть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], изучающая в самом общем виде явление [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], а также свойства обобщенных геометрических объектов, не меняющиеся при малых деформациях и не зависящие от способа их задания. Топологией также называется конкретный объект, изучаемый [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]: совокупность всех открытых множеств топологического пространства. Топология объекта его геометрическая структура (то, что не меняется при [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]).
Наука эта молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и растягивать – делать с ней всё что угодно, только не разрывать и не склеивать. И при этом он будет считать, что ничего не произошло, все её свойства остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния, ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур, которые не меняются ни при каких преобразованиях, если только не случается катастрофы – "взрыва” фигуры. Поэтому иногда топологию называют "геометрией непрерывности”. Она известна и под именем "резиновая геометрия”, потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхность детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем, чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.

3.4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ЧАСТЬ. СВОЙСТВА ЛИСТА МЁБИУСА.
Что же поразило двух немецких профессоров в этой ленте?
1. Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона. Убедиться в односторонности листа Мёбиуса несложно: если начать постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места, и по завершении работы вы обнаружите, что весь он полностью окрашен.
2. Непрерывность. На листе Мёбиуса любая точка может быть соединена с любой другой точкой и при этом ни разу не придётся переползать через край “ленты”. Разрывов нет – непрерывность полная.
Если на внутреннюю сторону простого кольца посадить паука, а на внутреннюю сторону муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь переползать через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук бегает быстрее!.

УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

3. Связность. Лист Мёбиуса двусвязен, т.к. если разрезать его вдоль, он превратится не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.
4. Ориентированность – свойство отсутствующее у листа Мёбиуса . Так, если бы человек смог пропутешествовать по всем по всем изгибам листа Мёбиуса, то когда он вернулся бы в исходную точку, он превратился в своё зеркальное отражение.
5. «Хроматический номер» - максимальное число областей, которые можно нарисовать на поверхности так, чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Хроматический номер листа Мёбиуса равен шести.
Все это сложно для понимания, но, говорят, что в замечательной книге Сергея Боброва «Волшебный двурог» или Правдивая история о небывалых приключениях в неведомой стране, где правят Догадка, Усидчивость, Находчивость, Терпение, Остроумие и Трудолюбие, можно прочитать обо всех этих удивительных вещах в доступной для детского понимания форме. Мне найти эту книгу не удалось, поэтому чтобы понять некоторые свойства ленты Мебиуса пришлось сделать некоторые эксперименты.
Эксперименты, подтверждающие свойства листа Мебиуса
Объекты: простое кольцо и лента Мебиуса
Односторонность. Эксперимент 1.
Взять кисточку и закрасить кольца в каком-нибудь направлении.
У обычного кольца одна сторона оказывается закрашенной, а другая нет. У листа Мёбиуса закрашенной оказалась вся лента целиком. Значит, поверхность листа Мёбиуса все же односторонняя.
Эксперимент 2. Поставить точку на одной стороне каждого кольца и чертить непрерывную линию вдоль него, пока не придешь снова в отмеченную точку.
У обычного кольца линия проходит вдоль кольца по одной стороне, сходясь в точке начала.
У ленты Мёбиуса непрерывная линия проходит по двум сторонам, заканчиваясь в начальной точке.
Эксперимент 3. Закрась непрерывной линией только один край колец
У обычного кольца один край закрашен, а другой нет. У листа Мёбиуса линия края закрашена непрерывно на всем кольце.
Связность. Эксперимент 5. Разрежь кольца вдоль пополам, по линии параллельной краям.
При разрезании обычного кольца получилось два кольца, такого же радиуса, только каждая уже исходной в два раза. При разрезании листа Мёбиуса получилось одно кольцо в виде восьмерки большего радиуса.
Эксперимент 6. Разрежь кольцо вдоль, отступив от края на 1/3 ширины кольца.

УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

При разрезании обычного кольца получилось два кольца, такого же радиуса, одно уже, другое шире. При разрезании листа Мёбиуса получилось два сцепленных друг с другом кольца, одно маленькое, другое большое.
Эксперимент 7. Разрежь результат опыта 5 (уже разрезанную ленту) пополам вдоль. При разрезании обычного кольца получаются два кольца, такого же радиуса, еще уже. При разрезании листа Мёбиуса получилось два больших кольца, переплетенных между собой в виде восьмерки.
3.5 СУЩЕСТВОВАНИЕ ОБЪЕКТОВ, ПОДОБНЫХ ЛИСТУ МЁБИУСА.
Возникает логичный вопрос: «Существуют ли ещё подобные объекты?» Да, существуют, и в научной литературе описаны ещё более замысловатые объекты, о них очень интересно узнавать. Если Лист Мебиуса – «условно двумерный объект» (он получен из плоской полоски), то его подружка  Бутылка Клейна полноправно занимает 3 измерения. (Приложение 2)
Запустите сюда муравья, и бедняга побывает во всех точках Бутылки Клейна – не делая в ней дырок, и не переползая через край.
На всех рисунках показано следующее: в месте, где трубка «проникает в бутылку» нет зазора, казалось бы, это не правильно! Ведь если нет зазора, тогда муравей должен будет выползать из бутылки тем же маршрутом, каким он туда вползал. Разве бродя по Листу Мебиуса ему нужно было разворачиваться, после того как он куда-то дошёл? Бесконечность, она на то и бесконечность!
А почему мы только обходим Бутылку Клейна? Что же будет, если разрезать Бутылку Клейна?
Это невероятно, но получился Лист Мебиуса. Резать, правда, нужно было так, что бы режущий предмет делал оборот в 360 градусов между начальной точкой и конечной.
Чудеса! Бутылка Клейна в трёх измерениях это аналог Листа Мёбиуса в двух измерениях.
3.6. РЕЗУЛЬТАТЫ ОПРОСА СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 6-11 КЛАССОВ.
Чтобы выяснить, что же знают ученики нашей школы о листе Мёбиуса и его свойствах, я провела среди них анкетирование. Анкета содержала следующие вопросы:
Анкета
Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
Знаете ли Вы, что такое топология? - нет - да, это - ______________________
Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»? - я знаю, что это такое
- только слышал о таком понятии - не знакомо
УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса? - нет - да, это следующие свойства ___________
4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса? - нет - да, он применяется - ____________

В опросе участвовало 29 учащихся 5-11 классов. Обработав анкеты я получила следующие результаты:
Никто из опрошенных не знает что такое топология (Диаграмма – рис. 1)
HYPER13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s HYPER14HYPER15 Рисунок 1
Знают, что такое лист Мёбиуса –7 человек (24 %)
Только слышали о листе Мёбиуса – 22 человека (76%)
Не знакомо – 0 человек (0 %) (диаграмма – рис. 2)
HYPER13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s HYPER14HYPER15
Рисунок 2
Знают о свойствах листа Мёбиуса – 2 человека (7 %) (диаграмма – рис.3)
HYPER13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s HYPER14HYPER15
Рисунок 3
Никто из опрошенных не знает, где применяется лист Мёбиуса (диаграмма – рис. 4)

УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс
HYPER13 EMBED MSGraph.Chart.8 \s HYPER14HYPER15
Рисунок 4
Анкетирование показало, что большинству опрошенных не знаком лист Мёбиуса и всё, что с ним связано.
3.7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Несмотря на то, что Мёбиус сделал своё удивительное открытие очень давно, оно очень популярно и в наши дни: у школьников - очень интересно экспериментировать с лентой Мёбиуса; у учителей – есть ещё один способ заинтересовать учеников математикой;
в технике – открываются всё новые способы использования ленты Мёбиуса. Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих. В результате появились картины, скульптуры, марки, другие произведения искусства с изображением ленты Мёбиуса. Я думаю, что следов Мёбиуса в искусстве будет ещё много. Работая над проектом, я пришла к выводу, что простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Значит, моя выдвинутая гипотеза подтвердилась.
Закончив, исследование, я провела урок для учащихся 5,6 класса. Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. Очень надеюсь , что мой проект принесёт пользу ровесникам, старшеклассникам и учителям.
В результате исследования обнаружилось, что можно многократно перекручивать при склеивании ленты Мебиуса, и тогда нас ждет непредсказуемый витиеватый узор. Я хочу продолжить изучать свойства листа Мёбиуса при многократном перекручивании.



УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ-РЕСУРСОВ
Газета «Математика». № 3, 2007г. Изд. «Первое сентября»
Горохова Л.И. «Уроки математики». Современная школа, Москва изд. «Глобус» , 2009г.
Даль В. «Толковый словарь», Москва, 1983г.
Депман И.Я. «За страницами учебника математики». Москва, изд. «Просвещение», 1989г.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
















УДИВИТЕЛЬНЫЙ ЛИСТ МЁБИУСА.
Бурмистрова Эльза Александровна, Россия, Тюменская область, Казанский район, с.Дубынка, Дубынская средняя общеобразовательная школа – филиал МАОУ Казанская СОШ, 6 класс

5. ПРИЛОЖЕНИЯ
Анкета
Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:
Знаете ли Вы, что такое топология? - нет - да, это - __________________________________
Знакомо ли Вам понятие «Лист Мёбиуса»? - я знаю, что это такое
- только слышал о таком понятии - не знакомо
3. Знаете ли Вы о свойствах листа Мёбиуса? - нет - да, это следующие свойства ________________
4. Знаете ли Вы, где применяется Лист Мёбиуса? - нет - да, он применяется - __________________












HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1412HYPER15









Root EntryArial Cyr Знают, что такое*Не знают, что такоен0_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-1" 
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1"Г
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1"И
·
·Arial Cyr=
·
·
·
·Не знают, что такое топология

Приложенные файлы

  • doc rabota3.doc
    Размер файла: 150 kB Загрузок: 17