План-конспект урока:Корни многочлена.Схема Горнера.


Учитель:Ускова Н.Н.
Тема: «Корни многочлена».
«Схема Горнера».
Цели:
1) научить находить значение многочлена, используя теорему Безу, схему Горнера;
2) сформировать умения и навыки в нахождении корней многочлена;
3) научить обобщать и систематизировать материал;
4) развивать вычислительные навыки, концентрацию внимания, функции самоконтроля;
5) воспитывать требовательность к себе, усердие.
Ход урока
I. Организационный момент.
(Сообщить тему урока, сформулировать цели урока)
- Задачи, в которых встречается деление многочленов, представляют собой весьма широкое поле для математической деятельности. Они играют огромную роль в формировании логического мышления и математической культуры. Решение таких задач открывают значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности.
II. Актуализация знаний учащихся.
1. Проверка домашнего задания.
Дан многочлен ⨍ (𝑥)=𝑥5 - 5𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2.
а) найдите значения многочлена ⨍ (𝑥)
при 𝑥 = 1, 𝑥 = 2 ;б) используя деление многочленов «столбиком» докажите, делится ли многочлен ƒ(𝑥) на (𝑥-1) и на (𝑥-2).
Решение:
а) ⨍ (1) = 1 – 5 + 8 – 5 + 1 + 2 = 2; ⨍ (1)>0.
⨍ (2) = 25 – 5 · 24 + 8 · 2 3 + 5 · 2 2 + 2 + 2 = 0; ⨍ (2)=0.
Вывод: ⨍ (2)=0, значит 𝑥 = 2 – корень многочлена, 𝑥 = 1 – не корень.
б) выполняем деление многочлена ⨍ (𝑥) «столбиком» на двучлен (𝑥 - 1) и (𝑥 - 2):
1) 𝑥5 - 5𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑥 - 1
𝑥5 - 𝑥4 𝑥4 - 4𝑥3 + 4𝑥2 - 𝑥
- 4𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2
- 4𝑥4 + 4𝑥3
4𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2
4𝑥3 - 4𝑥2
- 𝑥2 + 𝑥 + 2
- 𝑥2 + 𝑥
2 (остаток)
𝑥5 - 5𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2 = (𝑥 - 1)(𝑥4 - 4𝑥3 + 4𝑥2 - 𝑥) + 2.
2) 𝑥5 - 5𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2 𝑥 - 1
𝑥5 - 2𝑥4 𝑥4 - 3𝑥3 + 2𝑥2 - 𝑥 - 1
- 3𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2
- 3𝑥4 + 6𝑥3
2𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2
2𝑥3 - 4𝑥2
- 𝑥2 + 𝑥 + 2
- 𝑥2 + 2𝑥
- 𝑥 + 2
- 𝑥 + 2
0
𝑥5 - 5𝑥4 + 8𝑥3 - 5𝑥2 + 𝑥 + 2 = (𝑥 - 2)(𝑥4 - 3𝑥3 + 2𝑥2 - 𝑥 - 1).
Вывод: ⨍ (1) = r = 2; значит ⨍ (𝑥) на (𝑥 - 1) не делится;
⨍ (2) = r = 0; значит ⨍ (𝑥) на (𝑥 - 2) делится.
2. Теоретический опрос.
а) Как читается теорема Безу?
б) Чему равно значение Р(0)?
Например, если дан многочлен Р(𝑥) = 𝑥6 - 4𝑥4 + 2𝑥2 + 7, то Р(0) = ?
в) Чему равно значение Р(1)?
Например, если дан многочлен Р(𝑥) = 𝑥4 - 4𝑥3 + 6𝑥2 - 5, то Р(1) = ?
г) Сформулируйте следствие из теоремы Безу.
д) Для чего используется «схема Горнера»?
Ответы:
а) Остаток от деления многочлена Р(𝑥) на двучлен 𝑥 - а равен значению этого многочлена при 𝑥 = а, т. е. Р(а) = r, где r – остаток.
б) Значение Р(0) равно свободному члену многочлена.
Например, если дан многочлен Р(𝑥) = 𝑥6 - 4𝑥4 + 2𝑥2 + 7, то Р(0) = 7.
в) Значение Р(1) равно сумме коэффициентов многочлена.
Например, если дан многочлен Р(𝑥) = 𝑥4 - 4𝑥3 + 6𝑥2 - 5, то Р(1) = 1 - 4 + 6 - 5 = - 2.
г) Следствие 1. Если 𝑥 = а – корень уравнения Рn(𝑥) = 0, то r = 0 и многочлен Рn(𝑥) нацело делится на 𝑥 - а;
Следствие 2. Если Рn(𝑥) нацело делится на 𝑥 - а, то 𝑥 = а – корень уравнения Рn(𝑥) = 0.
III. Закрепление изученного материала.
Пример 1. Вычислить значение многочлена ⨍ (𝑥) = 2𝑥4 - 9𝑥3 - 32𝑥2 - 57 при 𝑥 = 7 по схеме Горнера.
Решение. Заполнил таблицу из 2-x строк по следующему алгоритму:
2 -9 -32 0 -57
7 2 5 3 21 90
1. Строка коэффициентов записывается первой;
2. Старший коэффициент дублируется во второй строке, а перед ним ставится значение переменной (в нашем случае 7), при котором вычисляем значение многочлена.
3. Это делается по единому правилу:
7 · 2 + (- 9) = 5;
7 · 5 + (- 32) = 3;
7 · 3 + 0 = 21;
7 · 21 + (- 57) = 90.
Итак, ⨍ (7) = 90, значит многочлен ⨍ (𝑥) нацело не делится на (𝑥 - 7), т. к. r = 90.
⨍ (7) = 90 = r.
2𝑥4 - 9𝑥3 - 32𝑥2 - 57 = (𝑥 - 7)(2𝑥3 + 5𝑥2 + 3𝑥 + 21) +90.
IV. Самостоятельная (групповая) работа.
Пример 2. Делится ли многочлен ⨍(𝑥)=3𝑥5- 5𝑥4 - 7𝑥2 +12 на (𝑥 - 1), на (𝑥 + 1) и на (𝑥 -2).
2) Докажите по схеме Горнера.
Решение. ⨍(𝑥) = 3𝑥5 - 5𝑥4 - 7𝑥2 + 12.
3 -5 0 -7 0 12
1 3 -2 -2 -9 -9 3
-1 3 -8 8 -15 15 -3
2 3 1 2 -3 -6 0
Многочлен ⨍ (𝑥) не делится на (𝑥 - 1), т. к. r = 3;
Многочлен ⨍ (𝑥) не делится на (𝑥 + 1), т. к. r = -3;
Многочлен ⨍ (𝑥) делится на (𝑥 - 2), т. к. r = 0.
V. Нахождение корней многочлена.Пример 3. Найти корни многочлена по схеме Горнера:
⨍ (𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 - 5𝑥 - 6.
Решение. Делители свободного члена:
± 1, ± 2, ± 3, ± 6.
1 2 -5 -6
1 1 3 -2 -8
-1 1 1 -6 0
2 1 4 3 0
-2 1 0 -5 4
3 1 5 10 24
-3 1 -1 -2 0
6 1 8 43 252
-6 1 -4 19 -120
Ответ. - 1; 2; - 3.
Пример 4. Решите уравнение, если известен один его корень:
𝑥3 - 5𝑥2 + 7𝑥 - 2 = 0, 𝑥1 = 2.
𝑥3 - 5𝑥2 + 7𝑥 - 2 𝑥 - 2
𝑥3 - 2𝑥2 𝑥2 - 3𝑥 + 1
- 3𝑥2 + 7𝑥 - 2
- 3𝑥2 + 6𝑥
𝑥 - 2
𝑥 - 2
0
𝑥3 - 5𝑥2 + 7𝑥 - 2 = (𝑥 - 2)(𝑥2 - 3𝑥 + 1).
𝑥2 - 3𝑥 + 1 = 0.
D = 9 - 4 · 1 = 5.
x=3±52𝑥1 = 2, 𝑥2 =3 - 52 , 𝑥3 =3 + 52.
Ответ. 2, 3 - 52, 3 + 52.
Пример 5. Разложите многочлен Р(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 - 7𝑥 - 10 на множители, если известно, что 𝑥 = -5 – корень многочлена.
Решение. Выполняем деление многочлена Р(𝑥) «уголком» на (𝑥 + 5):
𝑥3 + 4𝑥2 - 7𝑥 - 10 𝑥 + 5
𝑥3 + 4𝑥2 𝑥2 - 𝑥 - 2
-𝑥2 + 7𝑥 - 10
-𝑥2 - 5𝑥
- 2𝑥 - 10
- 2𝑥 - 10
0
𝑥2 - 𝑥 – 2 = 0.
𝑥1 = - 1, 𝑥2 = 2.
Итак, 𝑥3 + 4𝑥2 - 7𝑥 - 10 = (𝑥 + 5)(𝑥 - 1)(𝑥 - 2).
Ответ. Р(𝑥) = (𝑥 + 5)(𝑥 - 1)(𝑥 - 2).
VI. Исследовательская работа учащихся.
- Ребята, вы не заметили, какие многочлены в основном мы разобрали на уроках?
- Да, это многочлены с целыми коэффициентами и со старшим членом k = 1.
- В каких числах получились ответы?
- Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим членом 1 либо целые, либо иррациональные, либо не имеют корней.
(Запишите вывод в своих тетрадях).
VII. Задание на дом.
1. Выполните деление «уголком»:
а) 2𝑥5 - 4𝑥4 + 𝑥2 - 5 на 𝑥3 - 2𝑥2 + 4;
б) -4𝑥4 + 6𝑥3 - 4𝑥2 + 𝑥 - 1 на 𝑥2 - 2𝑥 + 3.
2. Решите уравнение, если известен один корень:
𝑥3 + 3𝑥2 - 25𝑥 - 75 = 0, 𝑥1 = -3.
3. Решите уравнение 4𝑥5 + 4𝑥4 - 13𝑥3 - 6𝑥2 + 9𝑥 + 2 = 0.
Ответ. 𝑥1 = 1, 𝑥2 = -1, 𝑥3 = -2.
(𝑥 - 1)(𝑥 + 1)(𝑥 + 2) = 𝑥3 + 2𝑥2 - 𝑥 - 2.
При делении «уголком» получим: 4𝑥2 - 4𝑥 - 1.
Корни: 1 ± 22.
Ответ. ± 1; -2; 1 ± 22.

Дополнительное задание.
1. При каких m и n многочлен 𝑥3 + m𝑥 + n делится на 𝑥2 + 3𝑥 + 10 без остатка. (при любых 𝑥)
Решение. Выполняем деление многочленов «уголком»:
𝑥3 + m𝑥 + n 𝑥2 + 3𝑥 + 10
𝑥3 + 3𝑥2 + 10 𝑥 - 3
-3𝑥2 + m𝑥 - 10𝑥 + n
-3𝑥2 - 9m𝑥 - 30
m𝑥 - 10𝑥 + 9𝑥 + n + 30 (остаток)
m𝑥 - 𝑥 + n + 30 = (m - 1) + (n + 30).
r = (m - 1) + (n + 30) = 0 ⇔ m = 1, n = - 30.
Ответ. m = 1, n = - 30.
2. Разложить простые множители многочлена Р4(𝑥) = 𝑥4 + 3𝑥3 - 5𝑥2 - 13𝑥 + 6.
1) Найдем целый корень Р4(𝑥).
Делители 6: ± 1; ± 2; ± 3; ± 6.
Р4(1) = -8;Р4(-1) = 12; Р4(2) = 0; Р4(-2) = 4; Р4(3) и т. д.
2) 𝑥4 + 3𝑥3 - 5𝑥2 - 13𝑥 + 6 𝑥 - 2
𝑥4 - 2𝑥3 𝑥3 + 5𝑥2 + 5𝑥 - 3
5𝑥3 - 5𝑥2 - 13𝑥 + 6
5𝑥3 - 10𝑥2
5𝑥2 - 13𝑥 + 6
5𝑥2 - 10𝑥
- 3𝑥 + 6
- 3𝑥 + 6
0
3) 𝑥3 + 5𝑥2 + 5𝑥 - 3 = 0 Делители ± 1; ± 3 – не являются корнями.
Проверяем 3 и -3:
1) 3 – не подходит;
2) -3 – корень.

𝑥3 + 5𝑥2 + 5𝑥 - 3 𝑥 + 3
𝑥3 + 3𝑥2 𝑥2 + 2𝑥 - 1
2𝑥2 + 5𝑥 - 3
2𝑥2 + 6𝑥
- 𝑥 - 3
- 𝑥 - 3
0
4) 𝑥2 + 2𝑥 – 1 = 0 D = 4 - 4(-1) = 8
𝑥 =- 2 ± 222 = -1 ± 2Итак, Р4(𝑥) = (𝑥 - 2)(𝑥 + 3)(𝑥 + 1 - 2 )(𝑥 + 1 + 2).
VIII. Подведение итогов урока и выставление отметок.

Приложенные файлы

  • docx TYI
    Размер файла: 74 kB Загрузок: 6