Елэменты комбинаторики

Содержание
Введение………………………………….……………………………….....3
1. Из истории комбинаторики………………...…………………………...3
2. Элементы комбинаторики……………………..….………….……...….5
2.1. Основная идея преподавания………..…………...……….………..5
2.2. Правило умножения……………...……………..……………..……6
2.3. Дерево возможных комбинаций как наглядный способ
пересчета вариантов……………………………………………..…7
2.4. Перестановки, факториал………...……………………..……...…13
2.5. Сочетания..............................….………...…........………..……...…16
2.6. Бином Ньютона, треугольник Паскаля….......…...……..…......…20
Заключение…………………….…………………………....……………..23
Список литературы........................................................................................25
Приложение. Тесты по комбинаторики и теории вероятности...............26
Введение
Введение элементов комбинаторики и теории вероятностей в содержание математического образования является одним из важнейших аспектов модернизации содержания образования, так как роль этих знаний в современном мире повышает возможности практической ориентации учащихся. Знакомство с данным материалом способствует принятию нестандартных решений, помогает творчески мыслить, хорошо ориентироваться в обычных житейских ситуациях и производственной деятельности. Необходимость формирования вероятностного мышления обусловлена тем, что учащиеся должны научиться извлекать, анализировать и обрабатывать порой противоречивую информацию и оценивать степень риска.
Изучение данного раздела позволит учащимся продолжить развитие логического мышления, поможет сориентироваться в выборе профессии и при поступлении в ВУЗ.
1. Из истории комбинаторики
Комбинаторика – это раздел математики, посвящённый задачам выбора и расположения предметов из различных множеств. Типичной задачей комбинаторики является задача перечисления комбинаций, составленных из нескольких предметов.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов − во время работы.
Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. Индийцы умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов.Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать планы противника.Со временем появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в. В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор А.Такке, уже посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу. Б. Паскаль в «Трактате об арифметическом треугольнике» и «Трактате о числовых порядках» (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах, оперируя с ними как с сочетаниями. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.
2. Элементы комбинаторики
2.1.Основная идея преподавания
Дать учащимся различные способы описания всех возможных элементарных событий в различных типах случайного опыта. Познакомить учащихся с перестановками и факториалом числа, правилом умножения и числом сочетаний, построением треугольника Паскаля. Формулировки Комбинаторные задачи желательно формулировать на простых, понятных и запоминающихся примерах из жизни, а не в формальных терминах перестановок и сочетаний и т.п. Кроме того, полезно начинать знакомство с тем или иным комбинаторным правилом методом простого перебора и обращать внимание, что его можно использовать для поверки применяемой формулы, если перебор не велик.
Результаты обучения. В результате изучения данной темы обучающийся должен:
уметь методом перебора находить ответы в комбинаторных задачах для небольших объёмов перебора;
уметь вычислять число упорядоченных пар, пользуясь правилом умножения;
уметь вычислять n!; знать факториалы натуральных чисел до 5! и уметь пользоваться таблицей факториалов до 10!;
уметь находить число перестановок элементов произвольного конечного множества;
уметь вычислять, пользуясь формулой =
уметь решать простейшие задачи, в которых число благоприятствующих элементарных событий находится как число сочетаний.
2.2.Правило умножения
Чтобы найти число комбинаций предметов двух типов, нужно число предметов первого типа умножить на число предметов второго типа. Если число предметов первого типа равно m, а число предметов второго типа равно n, то число их комбинаций равно m· n.
То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5·10=50 способами.
Примеры решения задач.
Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12·3=36 вариантов переплета.
Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать капитана команды для математических соревнований и его заместителя?
На роль капитана может быть выбран любой из 30 учащихся, а его заместитель – любой из 29 оставшихся учеников. Таким образом, получаем 30∙29 = 870 способов.
Сколькими способами из класса, в котором учатся 30 школьников, можно выбрать двоих для участия в математической олимпиаде?
Нам не важно, кто капитан, а кто заместитель, нам нужны всего лишь два участника, поэтому получаем, что у нас каждая пара учащихся в произведении повторяется два раза. Поэтому ответом для второй задачи будет (30∙29):2.
Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?
В таких числах последняя цифра будет такая же, как и первая, а предпоследняя - как и вторая. Третья цифра будет любой. Это можно представить в виде XYZYX, где Y и Z -любые цифры, а X - не ноль. Значит по правилу произведения количество цифр одинаково читающихся как слева направо, так и
справа налево равно 9·10·10=900 вариантов.
2.3.Дерево возможных комбинаций
как наглядный способ пересчета вариантов
Изучение материала необходимо начинать с простейших комбинаторных задач, решая которые должна вестись либо работа по перебору возможных вариантов, либо по упорядочиванию, либо их объединение − перебор и упорядочивание вместе. В нашей жизни часто возникают такие задачи, которые имеют несколько различных решений, и перед нами встает проблема рассмотреть все возможные варианты решения. Для этого нам нужно найти удобный способ перебора, при котором будут рассмотрены все возможные варианты.
На первом месте перед учителем стоит задача по формированию навыков систематического перебора. Начинать нужно с простых задач, где не так много элементов, важна сама суть перебора всех вариантов.
Примеры решения задач.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч. Сколько существует различных вариантов похода на футбол?
Здесь необходимо перебрать всевозможные пары мальчиков.
АБ, АВ, БВ.
После этого можно добавить условие, при котором, решая задачу, учитываем еще и место, на котором будет сидеть тот или иной мальчик, то есть учитывается порядок элементов в наборе.
Три друга, Антон, Борис и Виктор, приобрели два билета на футбольный матч на 1-е и 2-е места первого ряда стадиона. Сколько существует способов занять эти два места на стадионе? Записать все эти варианты.
Здесь мы можем использовать результаты предыдущей задачи. В ней мы не учитывали порядок, а теперь необходимо учитывать порядок, на каком месте будет сидеть тот или иной мальчик. Рассмотрим тот вариант, когда на матч пошли Антон и Борис, в этом случае возможно два варианта занять места на матче: 1-ое место – Антон, 2-ое место - Борис и наоборот 1-ое место Борис, а 2-ое Антон. То есть упорядочить два элемента мы можем двумя способами. Таким образом, решение предыдущей задачи дало нам два решения для этой задачи. Аналогично на каждый вариант предыдущей задачи мы получаем еще один вариант решения, итого 6 вариантов.
Антону, Борису и Виктору повезло, они купили 3 билета на футбол на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда стадиона. Сколькими способами могут занять мальчики эти места?
В данной задаче, как и в предыдущей важно на каких местах сидят мальчики, то есть нам нужно рассмотреть, сколько существует вариантов рассадить трех мальчиков на три разных места. Пусть на первом месте сидит Антон, тогда на оставшиеся два места двух оставшихся мальчиков мы можем усадить двумя способами, аналогично для случаев, когда на первом месте сидит Борис и Виктор. В результате получим 6 вариантов, то есть упорядочить 3 элемента мы можем шестью способами.
В предыдущих задачах, не учитывая порядка перебора не сложно перечислить все возможные варианты, так как их не так много, но часто при переборе возможных вариантов их может быть столько, что сложно оценить все ли возможные решения мы учли и не пропустили ли хотя бы одно из них. В этом случае необходимо упорядочить процедуру перебора, то есть перебирать возможные варианты в некотором порядке, определенном заранее, который позволяет не допускать повторений решений и пропускать возможные решения.
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,2,3?
Выпишем возможные двузначные числа. Но мы не будем выписывать эти числа в произвольном порядке, а договоримся выписывать их в порядке возрастания, что позволит нам не пропускать числа и не повторяться. В процессе решения этой задачи может возникнуть такой вопрос, а может ли одна и та же цифра повторяться в числе два раза? (если не возникнет, то учитель может сам обратить на это внимание). Так как в данной задаче это условие не оговорено, то решим ее для обоих случаев, и увидим, что в каждом из них число решений различно. Из чего делаем вывод, что данное условие при решении задач необходимо учитывать.
В алфавите племени УАУА имеются только две буквы – «а» и «у». Сколько различных слов по три буквы в каждом можно составить, используя алфавит этого племени?
В этой задаче одна и та же буква может встречаться в слове как один, так два или три раза. И нужно рассмотреть все варианты.
Заметим, что очень удобно процесс перебора осуществлять путем построения специальной схемы, которая называется дерево возможных комбинаций. Рассмотрим построение дерева возможных комбинаций для данной задачи: сначала нужно выбрать первую букву – это могут быть буквы «а» или «у», поэтому в «дереве» из корня проведем две веточки с буквами «а» и «у» на концах. Вторая буква может быть опять как «а» так и «у», поэтому из каждой веточки выходит еще по две веточки и т.д.
1234440-286385а
а
а
а
а
а
а
у
у
у
у
у
у
у
*
00а
а
а
а
а
а
а
у
у
у
у
у
у
у
*

Теперь, проходя по веточкам дерева, по порядку выписываем нужные нам сочетания букв - «слова»:
ааа; аау; ауа; ауу; уаа; уау; ууа; ууу.
Дерево помогает увидеть путь решения, учесть все варианты и избежать повторений. Нужно обратить внимание, что дерево возможных комбинаций позволяет нам подсчитывать упорядоченные наборы.
В 8«А» классе в среду 4 урока: математика, информатика, русский язык, английский язык. Сколько можно составить вариантов расписания на среду?
В данной задаче у нас имеется 4 предмета и необходимо выписать возможные варианты расписания на один день, учитывая те условия, что каждый урок должен обязательно присутствовать в расписании, и встречаться там всего один раз (для упрощения записи предлагается каждый предмет обозначит его заглавной буквой). Таким образом, нам необходимо подсчитать сколькими способами мы можем упорядочить 4 элемента. Пусть первым будет урок математики, тогда оставшиеся 3 предмета мы можем упорядочить 6-ью способами (из ранее рассмотренных задач). Аналогично для оставшихся трех предметов. Итого получим 24 способа упорядочить 4 предмета.
Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново – Борисово – Власово – Грибово. Из Антоново в Борисово можно сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисово во Власово можно пройти пешком или доехать на велосипедах. Из Власово в Грибово можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или пройти пешком. Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы? Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии, что хотя бы на одном из участков маршрута они должны использовать велосипеды?
Построим для этой задачи дерево возможных комбинаций:
Пусть у нас «П» - обозначает путь пешком
«Р» - сплавиться по реке
«В» - доехать на велосипедах.
Из Антоново в Борисово
Из Борисово во Власово
Из Власово в Грибово
П
П
П
Р
В
В
Р
В
П
Р
В
П
Р
В
П
Р
В
П
*
*
Из Антоново в Борисово
Из Борисово во Власово
Из Власово в Грибово
П
П
П
Р
В
В
Р
В
П
Р
В
П
Р
В
П
Р
В
П
*
*

Ответ на второй вопрос также хорошо просматривается по дереву возможных комбинаций.
Но эту задачу можно решить по-другому, с помощью рассуждений. Из Антоново в Борисово у нас 2 варианта каким образом продолжать путь, из Борисово во Власово тоже 2 варианта, т.е. на каждый вариант первого участка пути у нас есть по 2 варианта второго участка пути и того на данном этапе у нас будет 2·2=4 варианта выбора способа передвижения. На каждый из этих 4 вариантов существует по 3 варианта способа передвижения по третьему участку пути из Власово в Грибово, т.е. 4·3=12. Ответ в этой задаче мы получили умножением.
Такой способ подсчета называется правилом умножения, он возможен, если дерево возможных комбинаций является «правильным»: из каждого узла выходит одно и то же число веток.
От турбазы к горному озеру ведут 4 тропы. Сколькими способами туристы могут отправиться в поход к озеру, если они не хотят спускаться по той же тропе, по которой поднимались?
Занумеруем тропы числами от 1 до 4 и построим дерево возможных комбинаций:
-584835453390Подъем
Спуск
1
3
4
2
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
*
00Подъем
Спуск
1
3
4
2
2
3
4
1
3
4
1
2
4
1
2
3
*

Чтоб подняться у нас есть 4 тропы (4 варианта) и на каждый из них есть по 3 оставшихся тропы (3 варианта), чтоб спуститься, т.е. 4·3=12 маршрутов подхода к озеру. А теперь представим, что к озеру ведут не 4, а 10 троп. Сколько в этом случае существует маршрутов, если по-прежнему решено спускаться не по той тропе, по которой поднимались. Изобразить дерево возможных вариантов в такой ситуации очень сложно. Гораздо легче решить эту задачу с помощью рассуждений. Подняться к озеру можно по любой из 10 троп, а спускаться по любой из оставшихся 9 троп. Таким образом, всего получим 10·9=90 различных маршрутов похода.
Обе эти задачи мы решили, используя правило умножения, которое действует, если имеются предметы трёх, четырёх и более типов.
2.4. Перестановки, факториал
В турнире участвуют четыре человека. Сколькими способами могут быть распределены места между ними?
Решим эту задачу, используя правило умножения. Первое место может занять любой из четырех участников. При этом второе место может занять любой из трех оставшихся, третье – любой из двух оставшихся, а на четвертом месте остается последний участник. Значит, места между участниками могут быть распределены 4·3·2·1 = 24 способами.
Мы искали, сколько различных упорядоченных наборов мы можем составить, имея некоторое число элементов, каждый из таких упорядоченных наборов, есть перестановка. В рассмотренном примере мы фактически нашли число перестановок для четырех элементов.
Перестановкой из n элементов называется любой способ нумерации этих предметов (способ их расположения в ряд).
А что если множество состоит не из четырех, а например, из десяти элементов? Тогда всего будет 10·9·8·7·6·5·4·3·2·1=3 628 880 перестановок. Т.е. произведение первых 10 натуральных чисел. Но для еще большего количества элементов уже будет сложно подсчитать число перестановок. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” -“множитель”).Факториалом натурального числа n называют произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Обозначается факториал n!=1·2·3 ·…· (n-1)·n Произведение, например, первых десяти натуральных чисел обозначают 10! и читают как «десять факториал». 0!=1 по определению.
Рассуждения, использованные в примере, показывают, что число перестановок для множества из 4 элементов равно 4!, точно также для множества, например, из 10 элементов число перестановок равно 10!, и вообще: число перестановок n предметов равно n!
Примеры решения задач.
Сколькими способами можно составить маршрут путешествия, проходящего через 7 городов.
У нас есть 7 городов и нужно составить маршрут по этим городам, то есть фактически, нам нужно рассмотреть все перестановки этих семи городов. Мы уже знаем формулу, поэтому получаем 7!.
Нужно дать несколько упражнений на вычисление выражений с факториалами, чтоб учащиеся лучше овладели навыками работы с ними.
1) Верно ли, что:
а) 10!=10·9! б) 10!=2!·5! в) 12!:11!=12?
2) найдите значения выражения 16! : 14! ·3!
Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?
1 способ. Пронумеруем стулья, на которых должен сесть каждый, и будем считать, что они рассаживаются поочередно:
№1 - Саша - есть возможность выбрать из 5вариантов (стульев)№2 - Петя - 4 варианта№3- Денис - 3 варианта№4- Оля - 2 варианта№5 - Настя- 1 вариант
Используя правило умножения, получаем:5·4·3·2·1=120
способ. Число перестановок 5!=120
В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.
Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований?
Число перестановок 6!=720
В некоторых задачах на подсчет числа перестановок накладываются дополнительные условия, и для решения задачи кроме подсчета числа перестановок необходимо произвести другие действия.
Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Число всех возможных перестановок цифр 0, 2, 4, 6 будет 4!, но нужно обратить внимание учащихся на 0 и из этого числа перестановок нужно исключить те числа, которые начинаются с 0. Это всевозможные перестановки цифр 2, 4, 6, их количество равно 3!. Таким образом, число искомых чисел будет равно 4!−3!.
Имеется 9 различных книг, четыре из которых – учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?
Сначала рассмотрим все учебники как одну книгу. Тогда на полке надо расставить не 9, а 6 книг. Это можно сделать 6! способами. В каждой из полученных комбинаций можно выполнить 4! перестановок учебников. Значит, искомое число способов расположения книг на полке равно произведению 6!·4!
Примерные задания для самостоятельной работы.
1. Домашнее задание по литературе состоит в том, чтобы выучить одно из трех стихотворений: «Анчар», «Буря» и «Вьюга». Миша, Никита и Олег решили распределить все три стихотворения между собой по одному. Сколько существует способов это сделать?
2. Сколько различных последовательностей (не обязательно осмысленных) можно составить из букв слова «книга»?
3. Вычислите значение выражения: а) 5!; б) 12!10!; в) 8!3!·5!.
4. Найдите вероятность того, что три последние цифры случайно выбранного телефонного номера — это цифры 2, 3, 1 в произвольном порядке.
2.5. Сочетания
На столе лежат 5 разноцветных карандашей. Сколько способов для выбора 3 из них?
Решение: Обозначим карандаши буквами а, в, с, d, е. Можно составить такие сочетания: авс, авd, abe, acd, ace, ade, bcd, bce, bed, cde.
Всего: 10 способов.
Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k из них, называется числом сочетаний из n по k и обозначается .
=
В сочетаниях не имеет значения порядок элементов, сочетания отличаются составом элементов.
Примеры решения задач.
Из 12 учеников нужно выбрать 3 ученика на новогодний бал. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним учеником. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 12 элементов по 3:
C12 3=12!3!12-3! = 10·11·126 = 220
Ответ: 220 способов
Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр.
Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание. Отсюда возможно C10 3= 10!3!10-3! = 8·9·106 = 120
Ответ: 120 вариантов.
У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги.
Так как надо порядок следования книг не имеет значения, то выбор двух книг − сочетание. Первый человек может выбрать 2 книги C7 2= 7!2!7-2! = 6·72 = 21
способами. Второй человек может выбрать 2 книги C9 2= 9!2!9-2! = 8·92 = 36 способами. Значит всего по правилу умножения возможно 21·36=756 вариантов.
Ответ: 756 вариантов.
В классе 10 девочек и 8 мальчиков. Нужно выбрать троих дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор, если:
а) среди них должен быть 1 мальчик;
б) это могут быть любые 3 ученика?

а) выбрать одного мальчика можно C8 1способами: C8 1 = 8.
Выбрать из 10 девочек 2 дежурных можно C10 2способами: C10 2= 45
Таким образом, выбрать 3 дежурных, среди которых 1 мальчик, можно C8 1· C10 2= 8· 45 = 360 способами.
Ответ: 360 способов.
б) любых 3 учеников из 18 учащихся можно выбрать
C18 3=18!3!18-3!= 16·17·186 = 816 способами
Ответ: 816 способов.
В подразделении 5 офицеров, 10 сержантов и 50 солдат. Сколько нарядов, состоящих из 1 офицера, 2 сержантов и 3 солдат, можно составить?
Ответ:=13230000.
6. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?
1 способ. Перечислим возможные варианты состава пары:
11А-11Б, 11А-11В, 11А-11Г, 11А-11Д,11Б-11В, 11Б-11Г, 11Б-11Д, 11В-11Г, 11В-11Д, 11Г-11Д
Ответ: 10 пар.
2 способ. Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.C5 2= 10
7. В 8 «А» классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?
1 способ. Обозначим имена детей первыми заглавными буквами.Получаем следующие пары:В-К, В-А, Д-К, Д-А, О-К, О-А.
Ответ: 6 пар.
2 способ. Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать C31 способами, девочек 2, из них можно 1 выбрать C21 способами, используя правило умножения, получаем: C31· C21= 6 способов.
8. В 8 классе 6 человек (Галя, Света, Катя, Оля, Максим, Витя) учатся на все пятерки. Департамент образования премировал лучших учащихся путевками в Анапу. Но, к сожалению, путевок всего четыре. Сколько возможно вариантов выбора учеников на отдых?
Обозначим первыми заглавными буквами имен учащихся.Возможны следующие тройки:Г-С-К-О, Г-С-К-М, Г-С-К-В,Г-С-О-М, Г-С-О-В, Г-С-М-ВС-К-О-М, С-К-О-В, С-К-М-В,К-О-М-В, С-О-М-В, Г-К-О-В, Г-К-О-В, Г-О-М-В, Г-К-М-В
2 способ. Из 6 человек нужно выбрать 4, число элементарных событий равно C6 4= 15.
Ответ: 15 вариантов.
Пете на день рождения подарили 7новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?
Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети: C7 4=35, число четверок у Вали из 9 дисков C9 4= 126По правилу умножения находим число обменов 35·126=4410.
Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4сержантов и 15 рядовых?
Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний C5 2=10 способами, из 8 сержантов 4 : C8 4=70 способами, из 70 рядовых 15 : C70 15 способами. По правилу умножения находим число способов выбора отряда:10·70· C70 15= 700· C70 15 В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфира. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?
Ювелир из 6 изумрудов 3 может выбрать C6 3=20 способами, из 9 алмазов 5 − C9 5=126 способами, из 7 сапфиров 2 − C7 2=21способом. По правилу умножения находим число вариантов 20·126·21=52920.
Примерные задания для самостоятельной работы.
1. Вычислите: а) ; б).
2. В классе 20 учеников. Учитель решил проверить домашнюю работу у 6 из них. Сколько существует способов выбрать учеников для проверки?
3. Найдите вероятность того, что все буквы «а» окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова «карандаш».
4. На книжной полке 6 учебников и 3 сборника стихов. Найдите вероятность того, что среди случайно выбранных 5 книг окажется 3 учебника и 2 сборника.
2.6. Бином Ньютона, треугольник Паскаля
Эти темы не имеют непосредственного отношения к курсу теории вероятностей и статистики, они опираются на более высокий уровень формализма в записи выражений. Обращаться к этим темам стоит лишь после того, когда завершено прохождение материала по статистике и теории вероятностей. В этом случае появляется возможность показать, как содержательно используется этот материал в теории вероятностей.
В результате изучения данной темы обучающийся должен:
знать алгоритм вычисления числа сочетаний =, формулу бинома Ньютона;
понимать смысл биномиальных коэффициентов;
иметь представление о треугольнике Паскаля.
Бином Ньютона — формула для возведения в n-ю степень двучлена a + b
(бинома):
= + + + ... +
Название формула получила в честь великого английского математика сэра Исаака Ньютона, который обобщил ее на случай дробных и отрицательных показателей степени.
Биномиальные коэффициенты — коэффициенты в формуле бинома Ньютона. Каждый коэффициент является числом сочетаний из n по k.
Треугольник Паскаля (числовой или арифметический треугольник)—
треугольная таблица, в которой записаны биномиальные коэффициенты (числа сочетаний) . Крайние числа в каждой строке равны 1. Каждое число внутри треугольника получается сложением двух чисел, стоящих над ним. Треугольник назван в честь французского математика Блеза Паскаля, опубликовавшего в 1665 году «Трактат об арифметическом треугольнике».
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
Свойства биномиальных коэффициентов
1.
2. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: (правило симметрии)
3. Правило Паскаля:
4. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби

Для решения задач удобно треугольник Паскаля представлять в виде таблицы
(числа до n=10)
-60960-63500 k
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 1 2 1 2 1 3 1 3 3 1 4 1 4 6 4 1 5 1 5 10 10 5 1 6 1 6 15 20 15 6 1 7 1 7 21 35 35 21 7 1 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
С помощью треугольника Паскаля легко находить значения Cnk. Найдём C10 3, для этого возьмём число, стоящее в 10 строке и 3 столбце C10 3=120.Таким образом, использование треугольника Паскаля позволяет значительно упростить вычисления при решении комбинаторных задач.
Заключение
Итак, на первом этапе при изучении комбинаторики следует выработать у учащихся умение составлять комбинаторные наборы и начать с самого простого – составление комбинаторных наборов методом непосредственного перебора. Дети должны научиться решать простейшие комбинаторные задачи на целенаправленный перебор небольшого числа элементов определенного множества и составлять всевозможные комбинации (с повторениями и без повторений) из 2-3 элементов. Операция перебора раскрывает идею комбинирования, служит основой для формирования комбинаторных понятий и хорошей подготовкой к выводу комбинаторных формул и закономерностей.
После того как учащиеся научаться составлять наборы из элементов заданного множества по заданному свойству, на первый план выходит задача по подсчету количества возможных наборов. Такие комбинаторные задачи решаются с помощью рассуждений, раскрывая принцип умножения. Но акцент нужно сделать не на формальном его применении, а на содержательных рассуждениях и понимании сути поставленного в задаче вопроса. Принцип умножения в дальнейшем используется для выведения формул.
Часто подсчет вариантов облегчают графы. Одним из видов графов является дерево возможных комбинаций, которое является хорошей наглядной иллюстрацией правила умножения.
Таким образом, построение дерева возможных комбинаций является одним из способов решения комбинаторных задач. Такая наглядность помогает лучше понять принципы составления наборов (помогает составлять и упорядочивать наборы). Но такую наглядность можно использовать лишь в задачах с небольшим количеством возможных вариантов, либо в задачах, для которых дерево возможных вариантов является правильным.
Метод перебора, принцип умножения и построение дерева возможных комбинаций – это все методы, которые позволяют решать комбинаторные задачи без использования формул. Отсутствие формул при решении комбинаторных задач позволяет учащимся лучше понять суть решения, лучше освоить способы составления и подсчета возможных наборов. Уже после этого можно ввести некоторые формулы, которые учащийся должен применять осознанно и понимать принцип их действия.
Список литературы
Тюрин Ю.П., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика.- М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2008. – 256 с.
Тюрин Ю.П., Макаров А.А., Высоцкий И.Р., Ященко И.В. Теория вероятностей и статистика/Методическое пособие для учителя - М.: МЦНМО: МИОО, 2005. – 48 с.
Бунимович Е.А., Булычёв В.А. Основы статистики и вероятность.5−9 кл.: Пособие для общеобразовательных учреждений. - М.: Дрофа, 2004.- 288с.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г.. Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей: учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений / Под редакцией
С. А. Теляковского. −6-е изд.− М.: Просвещение, 2008. −78 с.
Мордкович А.Г, Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. учреждений. −2-е изд.− М.: Мнемозина, 2004.− 112с.
Ткачева М.В. Анализ данных в учебнике Н.Я. Виленкина и других. // Математика в школе. – 2003. - №5
Когаловский С.Р.Роль комбинаторных задач в обучении математики. // Математика в школе. – 2004. - №4.
Википедия – свободная энциклопедия [Электронный ресурс] Среднее значение http://ru.wikipedia.org/wiki/
Приложение
Тесты по комбинаторики и теории вероятности
Вариант 1
Сколькими способами можно составить расписание одного учебного дня из 5 различных уроков?
1)302)1003)1204) 5
2. В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
1)1282)359603) 364)46788
3. Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
1)102) 603) 204) 30
4. Вычислить: 6! − 5!
1)6002)3003)14) 1000
5. В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?
1)2)3) 4)
6. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?
1)2) 0,53) 0,1254)
7. В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?
1)0,022)0,000123) 0,00084) 0,002
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 3 2 4 1 2 3 4
Вариант 2
Сколько различных пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
1)1002)303)54) 120
2. Имеются помидоры, огурцы, лук. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 2 различных вида овощей?
1)32)63)24) 1
3. Сколькими способами из 9 учебных предметов можно составить расписание учебного дня из 6 различных уроков.
1)100002)604803)564) 39450
4. Вычислите:
1)22)563)304)
5. В игральной колоде 36 карт. Наугад выбирается одна карта. Какова вероятность, что эта карта – туз?
1)2)3)4)
6. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что выпадут две четные цифры?
1) 0,252)3) 0,54) 0,125
7. В корзине лежат грибы, среди которых 10% белых и 40% рыжих. Какова вероятность того, что выбранный гриб белый или рыжий?
1)0,52)0,43)0,044) 0,8
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 4 1 2 2 3 1 1
Вариант 3
Сколькими способами можно расставить 4 различные книги на книжной полке?
1)242)43)164) 20
2. Сколько диагоналей имеет выпуклый семиугольник?
1)302)213)144) 7
3. В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
1) 222)113)1504) 110
4. Сократите дробь:
1)12)3)4)
5. Какова вероятность, что при одном броске игрального кубика выпадает число очков, равное четному числу?
1) 2) 0,53) 4) 0,25
6. Катя и Аня пишут диктант. Вероятность того, что Катя допустит ошибку, составляет 60%, а вероятность ошибки у Ани составляет 40%. Найти вероятность того, что обе девочки напишут диктант без ошибок.
1)0,252) 0, 43)0,484) 0,2
7. Завод выпускает 15% продукции высшего сорта, 25% - первого сорта, 40% - второго сорта, а все остальное – брак. Найти вероятность того, что выбранное изделие не будет бракованным.
1)0,82)0,13) 0,0154) 0,35
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 1 2 4 3 2 4 1
Вариант 4
Сколькими способами могут встать в очередь в билетную кассу 5 человек?
1)52)1203)254) 100
2. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать четырех для участия в праздничном концерте?
1)126502)1003)754)10000
3. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры. Которых нечетные и различные.
1)1202)303)504) 60
4. Упростите выражение:
1) 0,52)3)n4) n-1
5. Какова вероятность, что ребенок родится 7 числа?
1)2) 3) 4)
6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем попадания первого стрелка составляет 90%, второго – 80%, третьего – 70%. Найдите вероятность того, что все три стрелка попадут в мишень?
1)0,5042) 0,0063) 0,54) 0,3
7. Из 30 учеников спорткласса, 11 занимается футболом, 6 – волейболом, 8 – бегом, а остальные прыжками в длину. Какова вероятность того, что один произвольно выбранный ученик класса занимается игровым видом спорта?
1)2) 0,53)4)
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 2 1 4 3 2 1 1
Вариант 5
Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?
1)362)1803)7204) 300
Аня решила сварить компот из фруктов 2-ух видов. Сколько различных вариантов (по сочетанию фруктов) компотов может сварить Аня, если у нее имеется 7 видов фруктов?
1) 142)103)214) 30
Сколько существует обыкновенных дробей, числитель и знаменатель которых – простые различные числа не больше 20?
1) 802)563)204) 60
Упростите выражение:
1)2) 3) 4) 0
5. Какова вероятность того, что выбранное двузначное число делится на 12?
1)2)3) 4)
6. Николай и Леонид выполняют контрольную работу. Вероятность ошибки при вычислениях у Николая составляет 70%, а у Леонида – 30%. Найдите вероятность того, что Леонид допустит ошибку, а Николай нет.
1)0,212)0,493)0,54) 0,09
7. Музыкальная школа проводит набор учащихся. Вероятность быть не зачисленным во время проверки музыкального слуха составляет 40%, а чувство ритма – 10%. Какова вероятность положительного тестирования?
1) 0,52)0,43) 0,64) 0,04
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 3 3 2 2 2 4 1
Вариант 6
Сколькими способами можно с помощью букв К, А, В, С обозначить вершины четырехугольника?
1)122)203)244) 4
На полке стоят 12 книг. Наде надо взять 5 книг. Сколькими способами она может это сделать?
1)7922)173)604) 300
В 12 – ти этажном доме на 1 этаже в лифт садятся 9 человек. Известно, что они выйдут группами в 2, 3 и 4 человека на разных этажах. Сколькими способами они могут это сделать, если на 2 – Ом этаже лифт не останавливается?
1)1002)7203)3004) 60
4. Упростите выражение:
1)2)3) 4) 0
5. В ящике лежат карточки с буквами, из которых можно составить слово «электрификация». Какова вероятность того, что наугад выбранная буква окажется буквой к?
1)2)73)4)
6. Каждый из трех стрелков стреляет в мишень по одному разу, причем вероятность попадания 1 стрелка составляет 80%, второго – 70%, третьего – 60%. Найдите вероятность того, что двое из трех стрелков попадет в мишень.
1)0,3362)0,4523)0,2244) 0,144
7. В корзине лежат фрукты, среди которых 30% бананов и 60% яблок. Какова вероятность того, что выбранный наугад фрукт будет бананом или яблоком?
1)0,92)0,53)0,344) 0,18
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 3 1 2 3 1 2 1
Вариант 7
В корзине лежит: яблоко, апельсин, грейпфрут и манго. Сколькими способами 4 девочки могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)
1)42)243)204) 16
2. На плоскости расположены 25 точек так, что три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
1) 752) 1003)23004) 3000
3. В теннисном турнире участвуют 10 спортсменов. Сколькими способами теннисисты могут завоевать золото, серебро и бронзу?
1) 6002)1003)3004)720
4. Вычислите:С92:3!
1)62) 133)124) 32
5. Случайным образом открывается учебник литературы и находится второе слово на странице. Какова вероятность того, что это слово начинается на букву л?
1) 2) 3) 4)
6. Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором - 40%, в третьем – 30%. Какова вероятность поступления в лицей?
1)0,242)0,123)0,184) 0,072
7. В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым?
1)2)0,53)4)
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 2 3 4 1 2 3 1
Вариант 8
Разложите на простые множители число 30. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?
1)62)123)304) 3
2. Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, имеющих только два простых делителя?
1)3002)103)1504) 15
3. На плоскости даны 8 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует векторов с началом и концом в любых двух из данных точек?
1)182)283)644) 56
4. Вычислите: С86·2!
1) 482) 943)564) 96
5. Катя забыла последнюю цифру семизначного номера телефона знакомой девочки. Какова вероятность того, что Катя набрала телефон знакомой девочки?
1)0,52) 0,13)4) 0,7
Три выключателя соединены параллельно. Вероятность выхода из строя первого выключателя равна 3%, второго – 4%, третьего – 1%. Какова вероятность того, что цепь будет разомкнута?

1)122)0,53)0,124) 12 ∙10
7.На экзамене по математике для усиления контроля класс из 35 учащихся рассадили в три аудитории. В первую посадили 10 человек, во вторую – 12, в третью – остальных. Какова вероятность того, что два друга окажутся в одной аудитории?
1)2) 0,53)4)
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 1 2 4 3 2 4 1
Вариант 9
Сколькими способами можно закрасить 6 клеток так, чтобы 2 клетки были закрашены красным цветом, а 4 другие – белым, черным, зеленым и синим? (каждый своим цветом).
1) 1202)3603)1804) 500
Сколькими способами можно группу из 17 учащихся разделить на 2 группы так, чтобы в одной группе было 5 человек, а в другой – 12 человек.
1)602)853)61884)6000
На плоскости даны 10 точек, причем три из них не лежат на одной прямой. Сколько существует лучей с началом в любой из данных точек, проходящих через любую другую из данных точек?
1)7202)3603)5004) 100
4. Решите уравнение: Сx+1x·(x−1)=35
1)−6; 62)63)-54) 9
5. В лотерее 1000 билетов, среди которых 20 выигрышных. Приобретается один билет. Какова вероятность того, что этот билет невыигрышный?
1)2) 0,23)4) 0,5
6. Отдел технического контроля типографии «Фаворит» проверил книжную продукцию на наличие брака. Вероятность того, что книга не бракованная равна 0,9. Найти вероятность того, что из двух проверенных книг только одна бракованная.
1)0,182)0,813)0,54) 0,01
25 выпускников мединститута направили работать в три села. В Хацепетовку попало 7 молодых специалистов, в Хачапуровку – 12, в Чебурековку – остальные. Какова вероятность того, что три друга будут сеять разумное, доброе, вечное в одном селе?
1)2)3)0,54) 0,35
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 2 3 1 2 3 1 2
Вариант 10
Сколькими способами можно закрасить 6 клеток таким образом, чтобы 3 клетки были красными, а 3 оставшиеся были закрашены (каждая своим цветом) былым, черным и зеленым?
1)1802)3003)1204) 240
Сколькими способами из 10 игроков волейбольной команды можно выбрать стартовую шестерку?
1)2102)603)304) 240
3. На соревнованиях по легкой атлетике приехала команда из 12 спортсменок. Сколькими способами тренер может определить, кто из них побежит в эстафете
4 по 100 на первом, втором, третьем и четвертом этапах?
1) 12002)880003)118804)3000
4. Решите уравнение:
1)62) -5; 6 3) -5 4) 30
5. На карточках выписаны числа от 1 до 10 (на одной карточке – одно число). Карточки положили на стол и перемешали. Какова вероятность того, что на вытащенной карточке окажется число 3?
1) 2)0,13)4) 0,4
6. Из партии изделий товаровед отбирает изделия высшего сорта. Вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется высшего сорта, равна 0,8. Найдите вероятность того, что из трех проверенных изделий только два высшего сорта.
1)0,3842)0,53)0,34) 0,4
На соревнованиях по стрельбе стрелок попадает в десятку с вероятностью 0,04, в девятку 0,1, в восьмерку – 0,2. Какова вероятность того, что одним выстрелом стрелок наберет не менее восьми очков.
1)0,52)0, 353)0,044) 0,34
№ задания 1 2 3 4 5 6 7
№ ответа 3 1 3 1 2 1 4