Геометрическая прогрессия (5 ч)
У р о к 1
Цели: ввести понятие геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии; развивать логическое мышление учащихся и вычислительные навыки.
Ход урока
I. Проверочная работа (10 мин).
В а р и а н т I
1. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
2. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии –16; –13;
В а р и а н т II
1. Выведите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.
2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.
II. Объяснение нового материала.
1. Сформулировать определение геометрической прогрессии. Знаменатель геометрической прогрессии
при bn
· 0, q
· 0.
2. Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (bn), заданная рекуррентно соотношениями
b1 = b, bn = bn – 1
· q
(n = 2; 3; 4; )
b и q – заданные числа, b
· 0, q
· 0.
3. Рассмотреть решение примеров 1–5 по учебнику на с. 157. Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).
4. Обозначение геометрической прогрессии b1, b2, b3, , bn,
5. Решить устно № 17.1 (а; в) и № 17.2.
6. Решить устно № 17.4 (б; в) и № 17.6 (а; в).
7. Вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии
bn = b1
· qn – 1.
8. Разобрать решение примеров 1–5 на с. 159–160 учебника.
9. Геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию у = mqх, заданную на множестве N натуральных чисел.
На рис. 127а и рис. 127б изображены графики геометрической прогрессии у = 2х и где х N.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 17.8 (в; г) с комментированием на месте.
в)
г) q = 3,5.
2. Решить № 17.12 (в; б) на доске и в тетрадях.
в) q = b3 : b2 = b1 = b2 : q =
б) q = b5 : b4 = b4 = b1
· q3, отсюда
b1 = b4 : q3 = 1 : = –8; b1 = –8.
О т в е т: б) –8; –0,5; в) 3; 0,5.
3. Решить № 17.13 (б; г). Учащиеся решают самостоятельно на доске и в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.
б)
г)
О т в е т: б) г)
4. Решить № 17.15 (в; г). Решение объясняет учитель.
в) bn = b1
· qn – 1; тогда отсюда значит,
г) найдем q из равенства
умножим обе части на получим
21 – n = qn – 1; отсюда
О т в е т: в) г)
5. Решить. Учитель помогает в решении, если учащиеся затрудняются решить самостоятельно.
a) А = –1250; найдем номер n: –1250 = отсюда = 625 = 54, значит, n = 8 N.
О т в е т: да.
в) отсюда
О т в е т: нет.
IV. Итог урока.
Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 156–161; решить № 17.8 (а; б); № 17.12 (а; г); 17.13 (а; в); № 17.15 (а; б).
У р о к 2
Цели: закрепить знание формулы n-го члена геометрической прогрессии в ходе решения задач; способствовать выработке навыков и умений решения систем уравнений.
Ход урока
I. Повторение изученного материала.
1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
2. Приведите примеры геометрической прогрессии.
3. Решить устно № 17.1 (б; г), № 17.3, № 17.4 (а; г).
4. Записать на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.
5. Решите устно:
а) зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6; 0,8; , найдите следующие за ними четыре числа;
б) в геометрической прогрессии (bn) известны b1 = 3,2 и q = 2; найдите b2, b3, b4.
II. Выполнение упражнений и решение задач.
1. Решить № 17.13 (в; г) с комментированием на месте.
в) b1 = 2,5; q = –0,2; bn = b1qn – 1 = 2,5
· (–0,2)n – 1;
г)
2. Решить № 17.14 (в; г).
в) 4; 1; b1 = 4; b2 = 1; q = b2 : b1 = bn = 4
г) ; 2; ; b2 = 2; ; q = b3 : b2 = ;
3. Решить № 17.9 устно.
4. Решить № 17.10 (б; г) самостоятельно с проверкой.
б) b1 = 270; ; b5 = b1
· q4 = ;
г) b1 = b8 = b1
· q7 =
5. Решить № 17.21 (в; г). Решение объясняет учитель.
в) bn = b1
· qn – 1; по условию bn = 4
· 10–3, тогда
отсюда
(0,2)n – 1 = (0,2)4; n – 1 = 4; n = 5.
г) bn = –2401;
(–7)n – 1 = (–7)7; n – 1 = 7; n = 8.
О т в е т: в) 5; г) 8.
6. Решить № 17.22 (в; г) на доске и в тетрадях.
Решение № 17.22 (в) объясняет учитель.
в) Найти b1 и q.
Разделим почленно второе уравнение на первое уравнение, получим:
г) b3 = 12; b5 = 48 (q < 0). Найти b1 и q.
По условию q < 0, значит, q = –2; b1 = 12 : 4 = 3.
О т в е т: в) –0,5; 13; г) –2; 3.
7. Решить задачу № 17.42.
Дано: b1 = 4; b3 + b5 = 80. Найти q и b10 (q
· 1).
b3 + b5 = 80; b1
· q2 + b1
· q4 = 80; b1(q2 + q4) = 80; 4
· (q2 + q4) = 80; q2 + q4 = 20; q4 + q2 – 20 = 0; q2 = y; y2 + y – 20 = 0; y1 = –5; y2 = 4; то q2 = = –5 нет решений; q2 = 4; q1 = 2 и q2 = –2 не удовлетворяет условию q > 1.
Если q = 2, то b10 = b1
· q9 = 4
· 29 = 4
· 512 = 2048.
О т в е т: q = 2; b10 = 2048.
8. Решить № 17.44. Учитель помогает в решении задачи.
О т в е т: b1 = 72; q =
9. Решить № 17.45 на доске и в тетрадях.
Делим второе уравнение на первое уравнение, получим
q3 = 8; q = 2.
b1 = 14 : (1 + 2 + 22) = 14 : 7 = 2; b1 = 2; b2 = 4; b3 = 8; b4 = 16; b5 = 32; b6 = 64.
О т в е т: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
III. Итог урока.
Домашнее задание: на отдельных листочках выполнить номера с 4 по 7 из домашней контрольной работы, № 4 на с. 118–119 на два варианта, к ним еще решить по 2 вариантам № 17.14 (а; б), № 17.21 (а; б) и № 17.22 (а; б).
У р о к 3
Цели: вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии; вырабатывать навыки нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Собрать листочки с домашней контрольной работой.
2. Сообщение учащимися исторического материала.
1) Доклад «О прогрессиях».
2) Пересказ древней индийской легенды об изобретателе шахмат.
II. Объяснение нового материала.
1. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.
(I) при q
· 1; (II) при q
· 1.
2. Разобрать решение примера 8 на с. 162–164 учебника.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 17.25 (г) (объясняет решение учитель).
г) b1 = 4; q = n = 4;
2. Самостоятельно решить № 17.25 (б).
3. Решить № 17.27 (в; г) на доске и в тетрадях.
в) b1 = –4; q = n = 13;
г) b1 = 4,5; n = 8;
4. Решить № 17.47 (в). Решение объясняет учитель.
в) n = 6. Найти сумму квадратов ее членов. Воспользуемся формулой на с. 165 учебника.
О т в е т: 364.
5. Решить № 17.28 (в; г) на доске и в тетрадях.
в) –3; Найти S5.
b1 = –3; b2 = n = 5.
г) q = 3; n = 5, тогда
О т в е т: а) г)
6. Решить № 17.39 (г). Учитель объясняет решение.
г) b1 = 3; Найти n.
отсюда n = 5.
О т в е т: 5.
7. Решить задачу № 17.50
·.
Дана характеристическая прогрессия b1; b2; b3; b4; b2n – 1; b2n. Обозначим S сумму членов прогрессии, находящихся на четных местах: S = b2 + b4 + + b2n.
Имеем S = b1q + b1q3 + b1q2n – 1 = b1q(1 + q2 + + q2n – 2).
Обозначим Р сумму членов прогрессии, находящихся на нечетных местах:
Р = b1 + b3 + + b2n – 1.
Имеем Р = b1 + b1q2 + b1q2n – 2 = b1(1 + q2 + + q2n – 2).
Разделив S на Р, получим q, что и требовалось доказать.
IV. Итог урока.
1. Запишите на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.
2. Запишите формулу суммы n членов геометрической прогрессии.
Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 164–166; решить № 17.26 (а; в); № 17.27 (а; б); № 17.28 (а; б); № 17.47 (а); № 17.39 (а).
У р о к 4
Цели: закрепить в ходе упражнений знание формул n-го члена геометрической прогрессии и суммы членов конечной геометрической прогрессии; доказать теорему, выражающую характеристическое свойство геометрической прогрессии; научить учащихся применять характеристическое свойство геометрической прогрессии при решении задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Двое учащихся решают на доске № 17.47 (а) и № 17.39 (а) из домашнего задания.
2. Учитель выборочно проверяет домашние работы у некоторых учащихся.
3. Решить устно № 17.13 (а); № 17.6 (б); № 17.7 (а; в); № 17.25 (а; в).
II. Изучение нового материала.
1. Провести доказательство теоремы, выражающей характеристическое свойство геометрической прогрессии; записать вывод:
2. Выполним преобразования равенства
Число называют средним геометрическим чисел а и b.
Таким образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.
3. Рассмотреть решение примера 11 на с. 167–168 учебника.
III. Выполнение упражнений.
1. Решить № 17.31 (а; б) с комментированием на месте.
а) b2 = 4; b4 = 16; b3 = (b3
· 0).
b3 = 8; q = b3 : b2 = 8 : 4 = 2; q = 2.
б) b5 = 12; b7 = 3; по условию b6
· 0, тогда
q = b7 : b6 = 3 : (–6) =
О т в е т: а) 2; 8; б) –6.
2. Решить № 17.34 на доске и в тетрадях. Согласно характеристическому свойству
3х = 6х2 – 6х; 6х2 – 9х = 0; 3х(2х – 3) = 0; 3х = 0 или 2х – 3 = 0; х = 0 или х = 1,5.
Подставляя х = 0 в заданные выражения х – 1, 6х, находим соответственно –1; 0; 0 – это не геометрическая прогрессия.
Подставляя х = 1,5 в заданные выражения находим 0,5; 9 – это конечная геометрическая прогрессия со знаменателем
О т в е т: 1,5.
3. Самостоятельно решить № 17.33 (с проверкой).
Согласно характеристическому свойству (3у)2 = –81
· (–1); 9у2 = 81; у2 = 9; у1 = –3; у2 = 3.
О т в е т: –3; 3.
4. Решить № 17.43 на доске и в тетрадях.
1; b2; b3; b4; 81. Отсюда b1 = 1; b5 = 81; найдем q.
b5 = b1
· q4; 81 = 1
· q4; q4 = 34 или q4 = (–3)4;
тогда q = 3 или q = –3.
1) Если q = 3, то 1; 3; 9; 27; 81.
2) Если q = –3, то 1; –3; 9; –27; 81.
О т в е т: 1; 3; 9; 27; 81 или 1; –3; 9; –27; 81.
5. Решить № 17.29 (в; г). Решение № 17.29 (г) объясняет учитель.
в) b3 = 1; b5 = (q > 0). Найти S5.
г) b7 = 27. Найти S5.
Найдем b5 = b4
· q = Применим формулу (II).
О т в е т: в) г)
6. Решить № 17.29 (а) самостоятельно.
IV. Итог урока.
Домашнее задание: изучить материал на с. 166–167 учебника; решить № 17.31 (в; г); № 17.32, № 17.23; № 17.29 (б); № 17.35.
У р о к 5
Цели: способствовать выработке навыков и умений учащихся при решении заданий геометрической прогрессии, нахождении суммы членов конечной геометрической прогрессии; учить решать более сложные задачи, связанные с геометрической и арифметической прогрессией.
Ход урока
I. Самостоятельная работа (15 мин).
В а р и а н т I
1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Выведите формулу n-го члена геометрической прогрессии.
2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой b1 = 27; q =
В а р и а н т II
1. Выведите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии –4; 8;
II. Выполнение упражнений.
1. Решить № 17.26 (г). Один ученик самостоятельно решает на доске, остальные в тетрадях.
г) b1 = –9; q = n = 6. Найти S6.
О т в е т:
2. Решить № 17.39 (в) на доске и в тетрадях.
в) b1 = 3; q = 2; Sn = 189. Найти n.
189 = 3
· (2n –1); 2n – 1 = 63;
2n = 64; 2n = 26; n = 6.
О т в е т: 6.
3. Решить № 17.48 (а; в). Решение № 17.48 (а) объясняет учитель.
а) 1 +2 + 22 + + 28. Найти Sn.
Воспользуемся формулой (II) при q
· 1; b1 = 1; b2 = 2; q = 2 : 1 = 2; q = 2; bn = 28 = 256; S = 511.
в) + + Найти S.
b1 = b2 = q =
О т в е т: а) 511; в)
4. Решить задачу № 17.53
·. Решение объясняет учитель.
Имеем:
b1; b2; b3;
b1; b2; b3 – 16; b1 = 9.
Опираясь на характеристическое свойство арифметической прогрессии, получаем соотношение:
2b2 = b1 + (b3 – 16); 2b1q = b1 +b1q2 – 16;
18q = 9 + 9q2 – 16; 9q2 – 18q – 7 = 0; q1 = q2 =
Если то b2 = b1q = b3 = b2q =
Если то b2 = b1q = b3 = b2q =
О т в е т: 21 и 49 или –3 и 1.
5. Решить задачу № 17.54
·. Учитель помогает учащимся в решении задачи.
По условию а1; а2; а3;
а1; а2 + 1; а3 + 14;
а1 + а2 + а3 = 24.
Опираясь на характеристическое свойство геометрической прогрессии, получаем соотношение:
(а2 + 1)2 = а1
· (а3 + 14); (а1 + d + 1)2 = а1
· (а1 + 2d + 14);
d2 + 2d + 1 = 12a1.
По третьему условию задачи а1 + а2 + а3 = 24;
а1 + (а1 + d) + (а1 + 2d) = 24; a1 + d = 8.
В итоге имеем систему уравнений:
О т в е т: 27; 8 и –11 или 3; 8; 13.
6. Повторение ранее изученного материала. Решить № 15.36 (в; г) самостоятельно с проверкой.
III. Итог урока.
Домашнее задание: повторить материал на с. 156–171 учебника; на отдельных листочках решить домашнюю контрольную работу № 4 номера 8, 9 и 10 на с. 118–119 задачника.
Подготовка к контрольной работе
Цели: повторить и закрепить изученный материал об арифметической и геометрической прогрессии; подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход урока
I. Повторение изученного материала.
1. Сообщить учащимся результаты самостоятельной работы. Устранить ошибки, сделанные в ходе работы.
2. Собрать листочки с домашней контрольной работой. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
3. Записать на доске формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии; формулы суммы членов конечной арифметической и геометрической прогрессии.
II. Подготовка к контрольной работе.
1. Найдите девятый член арифметической прогрессии 8,4; 8; 7,6 Вычислите сумму первых девяти ее членов.
2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии 2;
3. Найдите девятый член геометрической прогрессии
4. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий ее член на 6 больше первого. Найдите второй и четвертый члены этой прогрессии.
a2 = a1 + d = –2 + 3 = 1; a4 = a1 + 3d = –2 + 9 = 7.
О т в е т: а2 = 1; а4 = 7.
5. Сумма третьего и шестого членов арифметической прогрессии равна 2. Четвертый ее член на 6 меньше первого. Найдите первый и пятый члены этой прогрессии.
a1 = 8; a5 = a1 + 4d = 8 + 4
· (–2) = 8 – 8 = 0.
О т в е т: а1 = 8; а5 = 0.
6. Найдите все значения х, при которых значения выражений являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Р е ш е н и е
По характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем:
36 – 12х + х2 = 3х2 + 7х – 10;
2х2 + 19х – 46 = 0;
D = 361 + 368 = 729 = 272
Если х = –11,5, то не существует.
Если х = 2, то
Числа 4; 2; 1 – члены убывающей геометрической прогрессии.
О т в е т: х = 2.
7. Найдите сумму всех двузначных чисел, дающих при делении на 4 в остатке 3.
Р е ш е н и е
Числа имеют вид 4
· у + 3, тогда двузначные числа 11; 15; 19; 23; ; 99.
d = a2 – a1 = 15 – 11 = 4; d = 4. Найдем количество двузначных чисел n, если аn = 99:
аn = a1 + d(n – 1); 99 = 11 + 4(n – 1); 88 = 4n – 4; 4n = 92; n = 23.
Найдем сумму:
О т в е т: 1265.
8. Решить № 17.56.
Р е ш е н и е
Имеем а1; а2; а7 и а1 + а2 + а7 = 31.
Первое условие перепишем в виде (a1 + d)2 = a1(a1 + 6d).
Второе условие можно переписать в виде a1 + (a1 + d) + (a1 + 6d) = 31; 3a1 + 7d = 31.
Получим систему уравнений:
3d2 – 124d + 28d2 = 0; 31d2 – 124d = 0; d(31d – 124) = 0;
d = 0 или 31d – 124 = 0; d = 4.
Если d = 0, то
Если d = 4, то а1 = 1; а2 = 5; а3 = 25.
О т в е т: или 1; 5; 25.
III. Итог урока.
Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал § 16 и § 17; решить № 16.23 (б; в); № 16.34 (а; б); № 16.45; № 17.18 (а; в); № 17.26 (б).
Рисунок 1Рисунок 2Рисунок 4Рисунок 5Рисунок 6Рисунок 7Рисунок 8Рисунок 9Рисунок 12Рисунок 15Рисунок 16Рисунок 17Рисунок 20Рисунок 21Рисунок 22Рисунок 24Рисунок 25Рисунок 27Рисунок 31Рисунок 32Рисунок 36Рисунок 38Рисунок 41Рисунок 42Рисунок 44Рисунок 45Рисунок 46Рисунок 50Рисунок 52Рисунок 55Рисунок 56Рисунок 58Рисунок 59Рисунок 60Рисунок 64Рисунок 65Рисунок 70Рисунок 73Рисунок 77Рисунок 79Рисунок 83Рисунок 86Рисунок 92Рисунок 96Рисунок 97Рисунок 98Рисунок 100Рисунок 102Рисунок 103Рисунок 104Рисунок 108Рисунок 110Рисунок 112Рисунок 117Рисунок 119Рисунок 121Рисунок 124Рисунок 129Рисунок 130Рисунок 131Рисунок 132Рисунок 133Рисунок 134Рисунок 135Рисунок 2Рисунок 5Рисунок 7Рисунок 8Рисунок 9Рисунок 10Рисунок 11Рисунок 12Рисунок 13Рисунок 15Рисунок 1815
У р о к 1
Цели: ввести понятие геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии; развивать логическое мышление учащихся и вычислительные навыки.
Ход урока
I. Проверочная работа (10 мин).
В а р и а н т I
1. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.
2. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии –16; –13;
В а р и а н т II
1. Выведите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.
2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.
II. Объяснение нового материала.
1. Сформулировать определение геометрической прогрессии. Знаменатель геометрической прогрессии
при bn
· 0, q
· 0.
2. Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (bn), заданная рекуррентно соотношениями
b1 = b, bn = bn – 1
· q
(n = 2; 3; 4; )
b и q – заданные числа, b
· 0, q
· 0.
3. Рассмотреть решение примеров 1–5 по учебнику на с. 157. Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).
4. Обозначение геометрической прогрессии b1, b2, b3, , bn,
5. Решить устно № 17.1 (а; в) и № 17.2.
6. Решить устно № 17.4 (б; в) и № 17.6 (а; в).
7. Вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии
bn = b1
· qn – 1.
8. Разобрать решение примеров 1–5 на с. 159–160 учебника.
9. Геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию у = mqх, заданную на множестве N натуральных чисел.
На рис. 127а и рис. 127б изображены графики геометрической прогрессии у = 2х и где х N.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 17.8 (в; г) с комментированием на месте.
в)
г) q = 3,5.
2. Решить № 17.12 (в; б) на доске и в тетрадях.
в) q = b3 : b2 = b1 = b2 : q =
б) q = b5 : b4 = b4 = b1
· q3, отсюда
b1 = b4 : q3 = 1 : = –8; b1 = –8.
О т в е т: б) –8; –0,5; в) 3; 0,5.
3. Решить № 17.13 (б; г). Учащиеся решают самостоятельно на доске и в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.
б)
г)
О т в е т: б) г)
4. Решить № 17.15 (в; г). Решение объясняет учитель.
в) bn = b1
· qn – 1; тогда отсюда значит,
г) найдем q из равенства
умножим обе части на получим
21 – n = qn – 1; отсюда
О т в е т: в) г)
5. Решить. Учитель помогает в решении, если учащиеся затрудняются решить самостоятельно.
a) А = –1250; найдем номер n: –1250 = отсюда = 625 = 54, значит, n = 8 N.
О т в е т: да.
в) отсюда
О т в е т: нет.
IV. Итог урока.
Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 156–161; решить № 17.8 (а; б); № 17.12 (а; г); 17.13 (а; в); № 17.15 (а; б).
У р о к 2
Цели: закрепить знание формулы n-го члена геометрической прогрессии в ходе решения задач; способствовать выработке навыков и умений решения систем уравнений.
Ход урока
I. Повторение изученного материала.
1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?
2. Приведите примеры геометрической прогрессии.
3. Решить устно № 17.1 (б; г), № 17.3, № 17.4 (а; г).
4. Записать на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.
5. Решите устно:
а) зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6; 0,8; , найдите следующие за ними четыре числа;
б) в геометрической прогрессии (bn) известны b1 = 3,2 и q = 2; найдите b2, b3, b4.
II. Выполнение упражнений и решение задач.
1. Решить № 17.13 (в; г) с комментированием на месте.
в) b1 = 2,5; q = –0,2; bn = b1qn – 1 = 2,5
· (–0,2)n – 1;
г)
2. Решить № 17.14 (в; г).
в) 4; 1; b1 = 4; b2 = 1; q = b2 : b1 = bn = 4
г) ; 2; ; b2 = 2; ; q = b3 : b2 = ;
3. Решить № 17.9 устно.
4. Решить № 17.10 (б; г) самостоятельно с проверкой.
б) b1 = 270; ; b5 = b1
· q4 = ;
г) b1 = b8 = b1
· q7 =
5. Решить № 17.21 (в; г). Решение объясняет учитель.
в) bn = b1
· qn – 1; по условию bn = 4
· 10–3, тогда
отсюда
(0,2)n – 1 = (0,2)4; n – 1 = 4; n = 5.
г) bn = –2401;
(–7)n – 1 = (–7)7; n – 1 = 7; n = 8.
О т в е т: в) 5; г) 8.
6. Решить № 17.22 (в; г) на доске и в тетрадях.
Решение № 17.22 (в) объясняет учитель.
в) Найти b1 и q.
Разделим почленно второе уравнение на первое уравнение, получим:
г) b3 = 12; b5 = 48 (q < 0). Найти b1 и q.
По условию q < 0, значит, q = –2; b1 = 12 : 4 = 3.
О т в е т: в) –0,5; 13; г) –2; 3.
7. Решить задачу № 17.42.
Дано: b1 = 4; b3 + b5 = 80. Найти q и b10 (q
· 1).
b3 + b5 = 80; b1
· q2 + b1
· q4 = 80; b1(q2 + q4) = 80; 4
· (q2 + q4) = 80; q2 + q4 = 20; q4 + q2 – 20 = 0; q2 = y; y2 + y – 20 = 0; y1 = –5; y2 = 4; то q2 = = –5 нет решений; q2 = 4; q1 = 2 и q2 = –2 не удовлетворяет условию q > 1.
Если q = 2, то b10 = b1
· q9 = 4
· 29 = 4
· 512 = 2048.
О т в е т: q = 2; b10 = 2048.
8. Решить № 17.44. Учитель помогает в решении задачи.
О т в е т: b1 = 72; q =
9. Решить № 17.45 на доске и в тетрадях.
Делим второе уравнение на первое уравнение, получим
q3 = 8; q = 2.
b1 = 14 : (1 + 2 + 22) = 14 : 7 = 2; b1 = 2; b2 = 4; b3 = 8; b4 = 16; b5 = 32; b6 = 64.
О т в е т: 2; 4; 8; 16; 32; 64.
III. Итог урока.
Домашнее задание: на отдельных листочках выполнить номера с 4 по 7 из домашней контрольной работы, № 4 на с. 118–119 на два варианта, к ним еще решить по 2 вариантам № 17.14 (а; б), № 17.21 (а; б) и № 17.22 (а; б).
У р о к 3
Цели: вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии; вырабатывать навыки нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Собрать листочки с домашней контрольной работой.
2. Сообщение учащимися исторического материала.
1) Доклад «О прогрессиях».
2) Пересказ древней индийской легенды об изобретателе шахмат.
II. Объяснение нового материала.
1. Вывод формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии.
(I) при q
· 1; (II) при q
· 1.
2. Разобрать решение примера 8 на с. 162–164 учебника.
III. Закрепление изученного материала.
1. Решить № 17.25 (г) (объясняет решение учитель).
г) b1 = 4; q = n = 4;
2. Самостоятельно решить № 17.25 (б).
3. Решить № 17.27 (в; г) на доске и в тетрадях.
в) b1 = –4; q = n = 13;
г) b1 = 4,5; n = 8;
4. Решить № 17.47 (в). Решение объясняет учитель.
в) n = 6. Найти сумму квадратов ее членов. Воспользуемся формулой на с. 165 учебника.
О т в е т: 364.
5. Решить № 17.28 (в; г) на доске и в тетрадях.
в) –3; Найти S5.
b1 = –3; b2 = n = 5.
г) q = 3; n = 5, тогда
О т в е т: а) г)
6. Решить № 17.39 (г). Учитель объясняет решение.
г) b1 = 3; Найти n.
отсюда n = 5.
О т в е т: 5.
7. Решить задачу № 17.50
·.
Дана характеристическая прогрессия b1; b2; b3; b4; b2n – 1; b2n. Обозначим S сумму членов прогрессии, находящихся на четных местах: S = b2 + b4 + + b2n.
Имеем S = b1q + b1q3 + b1q2n – 1 = b1q(1 + q2 + + q2n – 2).
Обозначим Р сумму членов прогрессии, находящихся на нечетных местах:
Р = b1 + b3 + + b2n – 1.
Имеем Р = b1 + b1q2 + b1q2n – 2 = b1(1 + q2 + + q2n – 2).
Разделив S на Р, получим q, что и требовалось доказать.
IV. Итог урока.
1. Запишите на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.
2. Запишите формулу суммы n членов геометрической прогрессии.
Домашнее задание: изучить по учебнику материал на с. 164–166; решить № 17.26 (а; в); № 17.27 (а; б); № 17.28 (а; б); № 17.47 (а); № 17.39 (а).
У р о к 4
Цели: закрепить в ходе упражнений знание формул n-го члена геометрической прогрессии и суммы членов конечной геометрической прогрессии; доказать теорему, выражающую характеристическое свойство геометрической прогрессии; научить учащихся применять характеристическое свойство геометрической прогрессии при решении задач.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Двое учащихся решают на доске № 17.47 (а) и № 17.39 (а) из домашнего задания.
2. Учитель выборочно проверяет домашние работы у некоторых учащихся.
3. Решить устно № 17.13 (а); № 17.6 (б); № 17.7 (а; в); № 17.25 (а; в).
II. Изучение нового материала.
1. Провести доказательство теоремы, выражающей характеристическое свойство геометрической прогрессии; записать вывод:
2. Выполним преобразования равенства
Число называют средним геометрическим чисел а и b.
Таким образом, последнее равенство означает, что модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов.
3. Рассмотреть решение примера 11 на с. 167–168 учебника.
III. Выполнение упражнений.
1. Решить № 17.31 (а; б) с комментированием на месте.
а) b2 = 4; b4 = 16; b3 = (b3
· 0).
b3 = 8; q = b3 : b2 = 8 : 4 = 2; q = 2.
б) b5 = 12; b7 = 3; по условию b6
· 0, тогда
q = b7 : b6 = 3 : (–6) =
О т в е т: а) 2; 8; б) –6.
2. Решить № 17.34 на доске и в тетрадях. Согласно характеристическому свойству
3х = 6х2 – 6х; 6х2 – 9х = 0; 3х(2х – 3) = 0; 3х = 0 или 2х – 3 = 0; х = 0 или х = 1,5.
Подставляя х = 0 в заданные выражения х – 1, 6х, находим соответственно –1; 0; 0 – это не геометрическая прогрессия.
Подставляя х = 1,5 в заданные выражения находим 0,5; 9 – это конечная геометрическая прогрессия со знаменателем
О т в е т: 1,5.
3. Самостоятельно решить № 17.33 (с проверкой).
Согласно характеристическому свойству (3у)2 = –81
· (–1); 9у2 = 81; у2 = 9; у1 = –3; у2 = 3.
О т в е т: –3; 3.
4. Решить № 17.43 на доске и в тетрадях.
1; b2; b3; b4; 81. Отсюда b1 = 1; b5 = 81; найдем q.
b5 = b1
· q4; 81 = 1
· q4; q4 = 34 или q4 = (–3)4;
тогда q = 3 или q = –3.
1) Если q = 3, то 1; 3; 9; 27; 81.
2) Если q = –3, то 1; –3; 9; –27; 81.
О т в е т: 1; 3; 9; 27; 81 или 1; –3; 9; –27; 81.
5. Решить № 17.29 (в; г). Решение № 17.29 (г) объясняет учитель.
в) b3 = 1; b5 = (q > 0). Найти S5.
г) b7 = 27. Найти S5.
Найдем b5 = b4
· q = Применим формулу (II).
О т в е т: в) г)
6. Решить № 17.29 (а) самостоятельно.
IV. Итог урока.
Домашнее задание: изучить материал на с. 166–167 учебника; решить № 17.31 (в; г); № 17.32, № 17.23; № 17.29 (б); № 17.35.
У р о к 5
Цели: способствовать выработке навыков и умений учащихся при решении заданий геометрической прогрессии, нахождении суммы членов конечной геометрической прогрессии; учить решать более сложные задачи, связанные с геометрической и арифметической прогрессией.
Ход урока
I. Самостоятельная работа (15 мин).
В а р и а н т I
1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Выведите формулу n-го члена геометрической прогрессии.
2. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии (bn), в которой b1 = 27; q =
В а р и а н т II
1. Выведите формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии.
2. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии –4; 8;
II. Выполнение упражнений.
1. Решить № 17.26 (г). Один ученик самостоятельно решает на доске, остальные в тетрадях.
г) b1 = –9; q = n = 6. Найти S6.
О т в е т:
2. Решить № 17.39 (в) на доске и в тетрадях.
в) b1 = 3; q = 2; Sn = 189. Найти n.
189 = 3
· (2n –1); 2n – 1 = 63;
2n = 64; 2n = 26; n = 6.
О т в е т: 6.
3. Решить № 17.48 (а; в). Решение № 17.48 (а) объясняет учитель.
а) 1 +2 + 22 + + 28. Найти Sn.
Воспользуемся формулой (II) при q
· 1; b1 = 1; b2 = 2; q = 2 : 1 = 2; q = 2; bn = 28 = 256; S = 511.
в) + + Найти S.
b1 = b2 = q =
О т в е т: а) 511; в)
4. Решить задачу № 17.53
·. Решение объясняет учитель.
Имеем:
b1; b2; b3;
b1; b2; b3 – 16; b1 = 9.
Опираясь на характеристическое свойство арифметической прогрессии, получаем соотношение:
2b2 = b1 + (b3 – 16); 2b1q = b1 +b1q2 – 16;
18q = 9 + 9q2 – 16; 9q2 – 18q – 7 = 0; q1 = q2 =
Если то b2 = b1q = b3 = b2q =
Если то b2 = b1q = b3 = b2q =
О т в е т: 21 и 49 или –3 и 1.
5. Решить задачу № 17.54
·. Учитель помогает учащимся в решении задачи.
По условию а1; а2; а3;
а1; а2 + 1; а3 + 14;
а1 + а2 + а3 = 24.
Опираясь на характеристическое свойство геометрической прогрессии, получаем соотношение:
(а2 + 1)2 = а1
· (а3 + 14); (а1 + d + 1)2 = а1
· (а1 + 2d + 14);
d2 + 2d + 1 = 12a1.
По третьему условию задачи а1 + а2 + а3 = 24;
а1 + (а1 + d) + (а1 + 2d) = 24; a1 + d = 8.
В итоге имеем систему уравнений:
О т в е т: 27; 8 и –11 или 3; 8; 13.
6. Повторение ранее изученного материала. Решить № 15.36 (в; г) самостоятельно с проверкой.
III. Итог урока.
Домашнее задание: повторить материал на с. 156–171 учебника; на отдельных листочках решить домашнюю контрольную работу № 4 номера 8, 9 и 10 на с. 118–119 задачника.
Подготовка к контрольной работе
Цели: повторить и закрепить изученный материал об арифметической и геометрической прогрессии; подготовить учащихся к контрольной работе.
Ход урока
I. Повторение изученного материала.
1. Сообщить учащимся результаты самостоятельной работы. Устранить ошибки, сделанные в ходе работы.
2. Собрать листочки с домашней контрольной работой. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся.
3. Записать на доске формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессии; формулы суммы членов конечной арифметической и геометрической прогрессии.
II. Подготовка к контрольной работе.
1. Найдите девятый член арифметической прогрессии 8,4; 8; 7,6 Вычислите сумму первых девяти ее членов.
2. Найдите седьмой член геометрической прогрессии 2;
3. Найдите девятый член геометрической прогрессии
4. Сумма второго и пятого членов арифметической прогрессии равна 11. Третий ее член на 6 больше первого. Найдите второй и четвертый члены этой прогрессии.
a2 = a1 + d = –2 + 3 = 1; a4 = a1 + 3d = –2 + 9 = 7.
О т в е т: а2 = 1; а4 = 7.
5. Сумма третьего и шестого членов арифметической прогрессии равна 2. Четвертый ее член на 6 меньше первого. Найдите первый и пятый члены этой прогрессии.
a1 = 8; a5 = a1 + 4d = 8 + 4
· (–2) = 8 – 8 = 0.
О т в е т: а1 = 8; а5 = 0.
6. Найдите все значения х, при которых значения выражений являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.
Р е ш е н и е
По характеристическому свойству геометрической прогрессии имеем:
36 – 12х + х2 = 3х2 + 7х – 10;
2х2 + 19х – 46 = 0;
D = 361 + 368 = 729 = 272
Если х = –11,5, то не существует.
Если х = 2, то
Числа 4; 2; 1 – члены убывающей геометрической прогрессии.
О т в е т: х = 2.
7. Найдите сумму всех двузначных чисел, дающих при делении на 4 в остатке 3.
Р е ш е н и е
Числа имеют вид 4
· у + 3, тогда двузначные числа 11; 15; 19; 23; ; 99.
d = a2 – a1 = 15 – 11 = 4; d = 4. Найдем количество двузначных чисел n, если аn = 99:
аn = a1 + d(n – 1); 99 = 11 + 4(n – 1); 88 = 4n – 4; 4n = 92; n = 23.
Найдем сумму:
О т в е т: 1265.
8. Решить № 17.56.
Р е ш е н и е
Имеем а1; а2; а7 и а1 + а2 + а7 = 31.
Первое условие перепишем в виде (a1 + d)2 = a1(a1 + 6d).
Второе условие можно переписать в виде a1 + (a1 + d) + (a1 + 6d) = 31; 3a1 + 7d = 31.
Получим систему уравнений:
3d2 – 124d + 28d2 = 0; 31d2 – 124d = 0; d(31d – 124) = 0;
d = 0 или 31d – 124 = 0; d = 4.
Если d = 0, то
Если d = 4, то а1 = 1; а2 = 5; а3 = 25.
О т в е т: или 1; 5; 25.
III. Итог урока.
Домашнее задание: подготовиться к контрольной работе, повторив материал § 16 и § 17; решить № 16.23 (б; в); № 16.34 (а; б); № 16.45; № 17.18 (а; в); № 17.26 (б).
Рисунок 1Рисунок 2Рисунок 4Рисунок 5Рисунок 6Рисунок 7Рисунок 8Рисунок 9Рисунок 12Рисунок 15Рисунок 16Рисунок 17Рисунок 20Рисунок 21Рисунок 22Рисунок 24Рисунок 25Рисунок 27Рисунок 31Рисунок 32Рисунок 36Рисунок 38Рисунок 41Рисунок 42Рисунок 44Рисунок 45Рисунок 46Рисунок 50Рисунок 52Рисунок 55Рисунок 56Рисунок 58Рисунок 59Рисунок 60Рисунок 64Рисунок 65Рисунок 70Рисунок 73Рисунок 77Рисунок 79Рисунок 83Рисунок 86Рисунок 92Рисунок 96Рисунок 97Рисунок 98Рисунок 100Рисунок 102Рисунок 103Рисунок 104Рисунок 108Рисунок 110Рисунок 112Рисунок 117Рисунок 119Рисунок 121Рисунок 124Рисунок 129Рисунок 130Рисунок 131Рисунок 132Рисунок 133Рисунок 134Рисунок 135Рисунок 2Рисунок 5Рисунок 7Рисунок 8Рисунок 9Рисунок 10Рисунок 11Рисунок 12Рисунок 13Рисунок 15Рисунок 1815
Приложенные файлы
