ВАРИАНТ № 2
Часть 1 МОДУЛЬ «АЛГЕБРА»
1. Вычислите:
Решение.
Приведём к общему знаменателю:
Ответ: 3,7.
Ответ: 3,7
2.На координатной прямой отмечены числа a, b и c:
Значение какого из следующих выражений отрицательно?
1)−a 2)a+c 3)b−c 4) c − aРешение.
Заметим, что −2 < a < −1, 1 < b < 2 и 3 < c < 4. Тогда выражение −a положительно. Для выражения a + c верно двойное неравенство 1 < a + c < 3. Для выражения b − c верно двойное неравенство −2 < b − c < −1. Для выражения c − a верно двойное неравенство 4 < c − a < 6.
Таким образом, отрицательным является выражение b − c.
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
3.В какое из следующих выражений можно преобразовать дробь ?1) 2) 3) 4)
Решение.
Упростим дробь:
Правильный ответ указан под номером 3.
Ответ: 3
4. Решите уравнение (x + 2)2 = (x − 4)2.
Решение.
Последовательно получаем:
Ответ: 1.
Приведем другое решение.
Возведем обе части уравнения в квадрат:
Приведем другое решение.
Воспользуемся формулой разности квадратов:
Ответ: 1
5.График какой из приведенных ниже функций изображен на рисунке?
1) 2) 3) 4)
Решение.
Ветви изображённой на рисунке гиперболы лежат во II и IV четверти, её график растянут вдоль оси ординат в два раза. Этим условиям соответствует вариант 1
Графику соответствует вариант под номером 1.
Ответ: 1
6. Геометрическая прогрессия задана формулой n - го члена . Укажите третий член этой прогрессии.
Решение.
По формуле n-го члена геометрической прогрессии имеем:
Ответ: 12.
Ответ: 12
7.Представьте в виде дроби выражение и найдите его значение при . В ответ запишите полученное число.
Решение.
Упростим выражение:
Найдем значение выражения при
Ответ: −10.
Ответ: -10
8.Решите неравенство:
1) 2)3) 4)
МОДУЛЬ «ГЕОМЕТРИЯ»
Решение.
Решим неравенство: Корнями уравнения являются числа -23 и 0. Поэтому
Правильный ответ указан под номером 4.
Ответ: 4
9. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.
Решение.
Сумма смежных углов параллелограмма равна 180°. Тогда величина меньшего угла параллелограмма будет равна:
Ответ:
Ответ: 65
10. В окружности с центром в точке проведены диаметры и , угол равен 25°. Найдите величину угла .
Решение.
Углы OCD и OAB являются вписанными и опираются на одну дугу BD. Таким образом,
Ответ: 25.
Ответ: 25
11. Найдите площадь параллелограмма, изображённого на рисунке.
Решение.
Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту: 7 · 4 = 28.
Ответ: 28.
Ответ: 28
12. Найдите тангенс угла треугольника , изображённого на рисунке.
Решение.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к прилежащему. Треугольник ABC — прямоугольный, поэтому
Ответ: 0,75.
Ответ: 0,75
13.Какие из следующих утверждений верны?
1) Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.
2) В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.
3) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
4) В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.
МОДУЛЬ «РЕАЛЬНАЯ МАТЕМАТИКА»
Решение.
Проверим каждое из утверждений:
1)«Каждая сторона треугольника меньше разности двух других сторон.» — неверно, так как если имеем, что
2) «В равнобедренном треугольнике имеется не более двух равных углов.» — неверно, в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
3)«Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.» — неверно, равенство определяется по трем элементам.
4)«В треугольнике ABC, для которого AB = 3, BC = 4, AC = 5, угол C наименьший.» — верно, в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Ответ: 4.
Ответ: 4
14. Учёный Иванов выезжает из Москвы на конференцию в Санкт-Петербургский университет. Работа конференции начинается в 10:00. В таблице дано расписание ночных поездов Москва — Санкт-Петербург
Номер
поезда Отправление изМосквы Прибытие вСанкт-Петербург
026А 23:00 06:30
002А 23:55 07:55
038А 00:44 08:46
016А 01:00 08:38
Путь от вокзала до университета занимает полтора часа. Укажите номер самого позднего (по времени отправления) из московских поездов, которые подходят учёному Иванову.
1)026А 2)002А 3)038А 4) 016А
Решение.
Поскольку путь от вокзала до университета занимает полтора часа, поезд должен прибыть на вокзал не позднее 08:30. Этому условию удовлетворяют поезда под номерами: 026А и 002А. Из них позже отправляется поезд под номером 002А.
Правильный ответ указан под номером 2.
Ответ: 2
15.В таблице даны рекомендуемые суточные нормы потребления (в г/сутки) жиров, белков и углеводов детьми от 1 года до 14 лет и взрослыми.
Вещество Дети от 1 года
до 14 лет Мужчины Женщины
Жиры 40—97 70—154 60—102
Белки 36—87 65—117 58—87
Углеводы 170—420 257—586
Какой вывод о суточном потреблении жиров, белков и углеводов 7-летней девочкой можно сделать, если по подсчётам диетолога в среднем за сутки она потребляет 42 г жиров, 35 г белков и 190 г углеводов? В ответе укажите номера верных утверждений.
1) Потребление жиров в норме.
2) Потребление белков в норме.
3) Потребление углеводов в норме.
Если утверждений несколько, запишите их через точку с запятой в порядке возрастания.
Решение.
Проанализируем каждое утверждение.
1) Для семилетней девочки нормой является употребление от 40 до 97 граммов жиров в сутки, 42 грамма укладываются в этот промежуток. Первое утверждение верно.
2) Для семилетней девочки нормой является употребление от 36 до 87 граммов белков в сутки, 35 граммов не укладываются в этот промежуток. Второе утверждение неверно.
2) Для семилетней девочки нормой является употребление от 170 до 420 граммов углеводов в сутки, 190 граммов укладываются в этот промежуток. Третье утверждение верно.
Ответ: 1; 3.
Ответ: 1; 3
16.Площадь земель крестьянского хозяйства, отведённая под посадку сельскохозяйственных культур, составляет 24 га и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 5:3. Сколько гектаров занимают овощные культуры?
Решение.
Овощные культуры занимают:
Ответ: 9.
Ответ: 9
17. Сколько досок длиной 3,5 м, шириной 20 см и толщиной 20 мм выйдет из четырехугольной балки длиной 105 дм, имеющей в сечении прямоугольник размером 30 см 40 см?
Решение.
Найдем объем доски : 350 · 20 · 2 = 14 000 см3. Найдем объем балки: 1050 · 30 · 40 = 1 260 000 см3.
Поэтому количество досок равно 1 260 000 : 14 000 = 90.
Ответ: 90.
Ответ: 90
18. На диаграмме представлены семь крупнейших по площади территории (в млн км2) стран мира.
Какое из следующих утверждений неверно
1) По площади территории Австралия занимает шестое место в мире.
2) Площадь территории Бразилии составляет 7,7 млн км2.
3) Площадь Индии меньше площади Китая.
4) Площадь Канады меньше площади России на 7,1 млн км2.
В ответе запишите номер выбранного утвержденияРешение.
Проверим каждое утверждение:
1) На диаграмме видно, что Австралия — шестая по площади страна в мире. Значит первое утверждение верно.
2) Из диаграммы видно, что площадь Бразилии — 8,5 млн км2. Второе утверждение неверно.
3) Из диаграммы видно, что площадь Индии меньше площади Китая. Третье утверждение верно.
4) Из диаграммы видно, что площадь Канады меньше площади России на 17,1-10,0=7,1 млн км2. Четвёртое утверждение верно.
Неверным является утверждение под номером 2.
Ответ: 2
Решение.
Проанализируем все утверждения.
1) Пользователей из России больше всех, тем самым, их больше чем пользователей из Украины.
2) Сектор «Беларусь» занимает большую площадь диаграммы, чем сектор «Другие страны», а т. к. «Швеция» включена в «Другие страны» пользователей из Беларуси больше чем пользователей из Швеции.
3) Сектор в треть диаграммы имеет угол 360° : 3 = 120°. Угол сектора «Украина» меньше 90°, следовательно, меньше трети пользователей сети из Украины.
4) Пользователей из России больше половины всех пользователей, значит, больше 9 : 2 = 4,5 млн, а значит, больше 4 миллионов.
Ответ:3.
Ответ: 3
19. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5?
Решение.
Чисел от 15 до 29 - 15 штук. Среди них на 5 делится только 3 числа. Таким образом, вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 15 до 29 делится на 5 равна
Ответ: 0,2
20.Объём пирамиды вычисляют по формуле , где — площадь основания пирамиды, — её высота. Объём пирамиды равен 40, площадь основания 15. Чему равна высота пирамиды?
Часть 2
Решение.
Выразим высоту пирамиды из формулы для ее объема:
Подставляя, получаем:
Ответ: 8.
Ответ: 8
21.Сократите дробь , если .
Решение.
Имеем:
Ответ: 1.
22.Пристани и расположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.
Решение.
Пусть км/ч — собственная скорость лодки. Тогда скорость движения по течению равна км/ч, а скорость движения против течения равна км/ч. Обозначим расстояние между пристанями. Время, затраченное на весь путь, равно
.
По условию средняя скорость равна 8 км/ч, а весь путь равен . Следовательно,
.
Решим это уравнение:
Получаем: или . Корень −1 не является решением задачи. Значит, скорость лодки равна 9 км/ч.
Ответ: 9 км/ч.
23.Постройте график функции
и определите, при каких значениях прямая будет иметь с графиком единственную общую точку.
Решение.
Построим график функции (см. рисунок).
Из графика видно, что прямая будет иметь с графиком функции единственную точку пересечения при принадлежащем множеству [0; 1).
Ответ: [0; 1).
24. Медианы треугольника пересекаются в точке . Найдите длину медианы, проведённой к стороне , если угол равен 47°, угол равен 133°, .
Решение.
Обозначим середину стороны за . Продлим на свою длину за точку до точки . Четырёхугольник — параллелограмм, потому что и . Значит, = 133°, поэтому четырёхугольник — вписанный. Тогда .
Ответ: 6.
25. В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Решение.
Противоположные стороны параллелограмма равны и по условию следовательно:
В параллелограмме противоположные углы равны: , Рассмотри треугольники и , в этих треугольниках , , следовательно эти треугольники равны, а значит, . Аналогично равны треугольники и а следовательно равны отрезки и Противоположные стороны четырехугольника равны, следовательно, по признаку параллелограмма, этот четырёхугольник — параллелограмм.
26.Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите длину стороны AC, если радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7.
Приложенные файлы
