Глава 9 параграф 54 случаыные события и икх вероятности част2


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Глава 9. Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей§54. Случайные события и их вероятности2.ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ. СодержаниеОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и В.ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и В.Решение 3а);Решение 3б);Решение 3в);Решение 3г).Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица).ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B).Доказательство теоремы 1.ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми, если P(AB)=P(A) P(B)ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень.Решение 4а);Решение 4б);Решение 4в);Решение 4г).Для учителяИСТОЧНИКИ08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики2 ПРОИЗВЕДЕНИЕ СОБЫТИЙ. ВЕРОЯТНОСТЬ СУММЫ ДВУХ СОБЫТИЙ. НЕЗАВИСИМОСТЬ СОБЫТИЙ Часть 2.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики3 Независимость событийВ примере 2 мы говорили о сумме несовместных событий. А как найти вероятность Р(А + В) для событий, которые могут наступать одновременно? Для ответа на такой вопрос необходима не только сама сумма А + В событий А и В, но и их произведение.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики4 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Произведение событий А и ВОпределение 1. Произведением событий А и В называют событие, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает и событие А, и событие В. Оно обозначается АВ или АВ.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики5 ПРИМЕР 3. Дать описание произведения событий А и ВПример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.;б) А — завтра пятница, В — завтра 13-е число;в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 < 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны;г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики6 Решение примера 3а)Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:а) А — цена товара больше 100 р., В — цена товара не больше 110 р.;Решение: а) Одновременное наступление событий А и В означает, что для цены S товара верно двойное неравенство100 < S < 110.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики7 Решение примера 3б)Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:б)  А — завтра пятница, В — завтра 13-е число;Решение: б) Одновременное наступление событий А и В означает, что завтра — пятница, 13-е число.   08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики8 Решение примера 3в)Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:в) А — координаты случайно выбранной точки на плоскости удовлетворяют неравенству х2 + у2 ≤ 1; В — координаты случайно выбранной точки положительны;Решение: в) Геометрически событие А означает, что точка выбрана в единичном круге {(x; у) | х2 + у2  ≤  1}, а событие В означает, что она выбрана в первой координатной четверти. Значит, одновременное наступление А и В означает, что точка выбрана в той четверти единичного круга, которая расположена выше оси абсцисс и правее оси ординат (рис. 242).08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики9 Решение примера 3г)Пример 3. Дать описание произведения АВ событий А и В, если:г) А — случайно выбранное двузначное число четно; В — случайно выбранное двузначное число делится на 11.Решение: г) Четные двузначные числа составляют множество {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98}. Двузначные числа, которые делятся на 11, составляют множество {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Одновременное наступление событий А и В означает, что выбранное число принадлежит и множеству {10, 12, 14, ..., 94, 96, 98} и множеству {11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}. Значит, событие АВ состоит в том, что выбранное число принадлежит пересечению указанных множеств, т. е. множеству {22, 44, 66, 88}. Всего 4 случая.   08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики10 Произведение АВ событий А и В связано с пересечением множествМы видим, что произведение АВ событий А и В связано с пересечением множеств, соответствующих событиям А и В.В курсе алгебры 9-го класса мы говорили о связи между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств и составили соответствующую таблицу. Дополним ее новыми связями.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики11 Связь между понятиями и терминами теории вероятностей и теории множеств (таблица)Теория вероятностейТеория множествИспытание с N исходамиМножество из N элементовОтдельный исход испытанияЭлемент множестваСлучайное событиеПодмножествоНевозможное событиеПустое подмножествоДостоверное событиеПодмножество, совпадающее со всем множествомВероятность событияДоля элементов подмножества среди всех элементов множестваСумма событийОбъединение подмножествНесовместные событияНепересекающиеся подмножестваПротивоположное событиеДополнение подмножества до всего множестваПроизведение событийПересечение подмножеств08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики12 ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий P(A)+P(B)=P(AB)+P(A+B).ТЕОРЕМА 1. Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятности произведения этих событий и вероятности суммы этих событий. Р(А) + Р(В) = Р(АВ) + Р(А + В).08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики13 Доказательство теоремы 1Пусть А1 — событие, состоящее в том, что наступает А, но не наступает В. Согласно опр.1 АВ — событие, состоящее в том, что наступают А и В. Значит, события А1 и АВ несовместны, а их сумма равна А. Поэтому Р(А)=Р(А1)+Р(АВ).Аналогично обозначим через В1 событие, состоящее в том, что наступает В, но не наступает А. Тогда события В1 и АВ несовместны, а их сумма равна В. Значит, Р(А) = Р(А1) + Р(АВ).Сложим эти равенства: Р(А)+Р(В) = (Р(А1)+Р(АВ))+Р(В1)+Р(АВ)) = Р(АВ)+(Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)).События А, АВ, В1 попарно несовместны, а их сумма равна А+В. Значит, Р(А1)+Р(АВ)+Р(В1)=Р(А+В), и поэтому Р(А)+Р(В) = Р(АВ)+Р(А+В). •08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики14 Для несовместных событий А и ВДля несовместных событий А и В доказанная теорема приводит к уже известным формулам. Действительно, несовместность событий А и В означает, что событие АВ невозможно, т. е. Р(АВ)=0. Тогда Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В)= Р(А+В).В частности, так как событие А + Ᾱ всегда достоверно, то Р(А) +Р(Ᾱ)= Р(А + Ᾱ) = 1; Р(Ᾱ) = 1 - Р(А).08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики15 Формулу Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) применяют к независимым событиям А и В При решении практических задач формулу Р(А)+Р(В)=Р(АВ)+Р(А+В) чаще всего записывают в видеР(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ) и применяют ее к независимым событиям А и В. Это понятие является одним из важнейших в теории вероятностей. Определение независимости двух событий напоминает правило умножения.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики16 ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. События А и В называются независимыми…Определение 2. События А и В называют независимыми, если вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А)Р(В).Не следует путать несовместность событий А и В и их независимость. Напомним, что несовместность событий А и В означает, что соответствующие множества исходов испытания не пересекаются. К сожалению, понятие независимости не имеет никакого наглядного смысла.В практических задачах независимость событий, как правило, подразумевается в условиях задачи и обосновывается независимостью проводимых испытаний.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики17 ТЕОРЕМА 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB).Теорема 2. Вероятность суммы двух независимых событий равна разности суммы вероятностей этих событий и произведения вероятностей этих событий:Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В).Доказательство. По теореме 1 Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(АВ).Независимость А и Б означает, что Р(АВ) = Р(А)Р(В). Значит,Р(А + Б) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В).    •08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики18 ПРИМЕР 4. Два стрелка независимо друг от друга стреляют Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень:а)    будет поражена дважды;б)    не будет поражена ни разу;в)    будет поражена хотя бы один раз;г)    будет поражена ровно один раз.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики19 Решение примера 4а)Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень:а)    будет поражена дважды;Решение. Пусть А — событие, состоящее в том, что первый стрелок попал в мишень, В — событие, состоящее в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию Р(А) = 0,9, Р(В) = 0,3, а А и В независимы.а) Мишень будет поражена дважды, если одновременно произошли оба события А и В, т. е. произошло событие АВ. Поэтому Р(АВ) = Р(А)Р(В) = = 0,90,3 = 0,27.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики20 Решение примера 4б)Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень:б) не будет поражена ни разу;Решение:08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики21 Решение примера 4в)Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень:в)    будет поражена хотя бы один раз;Решение: в) Мишень будет поражена, если произошло или А, или В, т. е. произошло событие А + В. ПоэтомуР(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В) = 0,9 + 0,3 - 0,27 = 0,93.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики22 Решение примера 4г)Пример 4. Два стрелка независимо друг от друга по одному разу стреляют в мишень. Вероятность попадания в мишень каждого стрелка в отдельности равна 0,9 и 0,3 соответственно. Найти вероятность того, что мишень:г)    будет поражена ровно один раз.Решение: г)    Мишень будет поражена ровно один раз, если произошло событие А + В, но не произошло событие АВ. Поэтому искомая вероятность равна Р(А+В)-Р(АВ)= 0,93-0,27 = 0,66.08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики23 Для учителя08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики24 08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики25 08.02.2014Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики26 ИсточникиАлгебра и начала анализа, 10-11 классы, Часть 1. Учебник, 10-е изд. (Базовый уровень), А.Г.Мордкович, М., 2009Алгебра и начала анализа, 10-11 классы. (Базовый уровень) Методическое пособие для учителя, А.Г.Мордкович, П.В.Семенов, М., 2010Таблицы составлены в MS Word и MS Excel.Интернет-ресурсы Цыбикова Тамара Раднажаповна, учитель математики08.02.201427

Приложенные файлы


Добавить комментарий