9 класс
9.1. Найдите площадь квадрата, все вершины которого лежат на двух прямых:
х+ y = 0 и x+ y= 2 .
9.2. На маленьком острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех женщин замужем.
Сколько жителей острова состоят в браке, если всего там проживает 1900 человек?
9.3. На окружности с диаметром AB и центром O выбрана точка C так, что
биссектриса угла CAB перпендикулярна радиусу OC . В каком отношении прямая CO
делит угол ACB ?9.4. Найдите количество трехзначных чисел, в десятичной записи которых участвует
ровно одна цифра 3.
9.5. Мама хочет наказать Петю за двойку по математике. Они договорились о
следующем. Петя задумывает двузначное число с разными цифрами и сообщает его
маме. После этого мама называет свое двузначное число Пете. Петя прибавляет
мамино число к своему числу, затем к полученной сумме, затем к вновь полученнойсумме и т.д. до тех пор, пока у него не получится сумма, оканчивающаяся на две
одинаковые цифры. Сможет ли мама не позволить Пете в этот день поиграть в футбол?
9 класс
9.1. Ответ. 2.
Длина стороны этого квадрата – расстояние между прямыми x+ y= 2 0 и x+ y= 2 , так
как на каждой из прямых – по две вершины квадрата. А это расстояние равно
расстоянию от начала координат до прямой x+ y= 2 , пересекающей оси координат нарасстоянии 2 от начала координат. Значит, искомое расстояние – высота вравнобедренном прямоугольном треугольнике с катетами длины 2, которая равна 2 .
9.2. Ответ. 1200 человек.
Пусть x – количество мужчин, y – количество женщин на этом острове. Из условия
следует, что 23х= 35у, кроме того, x+ y= 1900 . Решая эту систему, получаем:
x =900, y= 1000. Отсюда количество женатых мужчин равно 600, , а общее количество людей, состоящих в браке, равно 1200.
9.3. Ответ. 2:1.
Биссектриса угла CAO является высотой треугольника CAO, поэтому CA =AO. Но
OA =OC – как радиусы, значит, треугольник CAO – равносторонний. Тогда
∠ACO= 60 . Кроме того, в равнобедренном треугольнике OCB (OC= OB)
∠COB= 120 , поэтому ∠OCB= 30 (иначе это можно получить, воспользовавшисьтем, что ∠ACB – опирающийся на диаметр, равен 90 ).
9.4. Ответ. 225.
Если у трехзначного числа на первом месте стоит цифра 3, то две другие цифры –
произвольные, отличные от 3. Значит, на втором месте может стоять любая из 9 других
цифр, и на третьем – любая из 9 других цифр – всего 9х9 = 81 вариант. Если тройка
стоит на втором месте, то на первом месте может стоять любая цифра, кроме 3 и 0, а напоследнем – любая, кроме тройки. Всего получается 8х9 = 72 варианта. Столько же
вариантов мы получим, если тройка будет стоять на последнем месте. Итого: 81 + 72 +
72 = 225 вариантов.
9.5. Ответ. Сможет.
Если Петя задумает число с двумя цифрами разной четности, то маме нужно назвать,
например, число 20. Тогда четность каждой из двух последних цифр после каждого
прибавления будет сохраняться, и эти цифры никогда не совпадут. Если же цифры
Петиного числа будут одной четности, то маме достаточно назвать число 50. После
каждых двух прибавлений последние две цифры будут повторяться, т.е. не будут
совпадать, а после первого (третьего, пятого и т.д.) прибавления эти цифры будут
иметь разную четность, т.е. тоже не совпадут.
Приложенные файлы
