Методическая разработка:“ К вопросу о интегрировании некоторых трансцендентных функций ”

ФГБОУ ВПО

Уфимский Государственный Нефтяной Технический Университет

Кафедра математики










“ К вопросу о интегрировании некоторых
трансцендентных функций ”










Выполнил:
Студент гр. БТК-11-01
Стенькин А. В.

Преподаватель:
Захарова М.А.


Учитель математики
« Лицей№60»-УсковаН.Н.







УФА


ВВЕДЕНИЕ
Трансцендентная функция  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], не являющаяся [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Простейшими примерами трансцендентных функций служат [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ],[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Если трансцендентные функции рассматривать как функции комплексного переменного, то характерным их признаком является наличие хотя бы одной [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], отличной от полюсов и точек ветвления конечного порядка.

В данной работе были применены следующие методы интегрирования:
1) интегрирование по частям ;
2) Интегрирование рационально-тригонометрических функций ;
3) методы интегрирования дифференциальных биномов ;
4) подстановка Эйлера ;
5) метод Остроградского ;
6) другие методы ;
Остановимся поподробнее на каждом методе:
1) Интегрирование по частям:
 Из дифференциального исчисления известно, что если u и v - дифференцируемые функции от x, то

d(uv)=udv+vdu
  Отсюда
udv=d(uv)-vdu

  Интегрируя обе части этого равенства, имеем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  Интегрированием по частям называется интегрирование с помощью полученной формулы.   Основные случаи, когда применяется данный способ интегрирования:    1) подинтегральная функция содержит произведение многочлена от x на показательную функцию от x или произведение многочлена от x на sin(x) илиcos(x), или произведение многочлена от x на ln(x);    2) подинтегральная функция представляет собой одну из обратных тригонометрических функций arcsin(x), arccjs(x) и т.д.;    3) подинтегральная функция есть произведение показательной функции на sin(x) или cos(x).
ПРИМЕРЫ:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


2)  Интегрирование рационально-тригонометрических функций 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
всегда рационализует универсальная подстановка 
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Специальные подстановки 
     1) Если R (-s
·in x, cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка cos x = t.
     2) Если R (sin x, -cos x) = -R (sin x, cos x), то рационализует подстановка sin x = t.
     3) Если R (-sin x, -cos x) = R (sin x, cos x), то рационализует подстановка 
tg x = t.
ПРИМЕРЫ:
13 EMBED Equation.3 1415
В следующем интеграле присутствует как и тригонометрическая замена, так и замена дифф.бинома: 13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
==========================================================
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415





3) Методы интегрирования дифференциальных биномов

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
рационализуется лишь в трех случаях:
     1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] подстановка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] где k - общий знаменатель m и n;
     2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] подстановка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] где k - знаменатель p;
     3) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] подстановка [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] где k - знаменатель p.
ПРИМЕРЫ:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



4) Подстановка Эйлера:
1)     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  рационализуют подстановки
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     2)  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] рационализуют подстановки
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     3) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
рационализуют подстановки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] где i = 1 либо i = 2.
В частных случаях бывают целесообразны следующие подстановки:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]




ПРИМЕРЫ:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415








5) Метод Остроградского выделения рациональной части интеграла от рациональной функции:  
     Если P(x)/Q(x) - правильная дробь, то 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
где [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - многочлены, степень [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степени [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степень [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] степени [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Если
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
То
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]






ПРИМЕРЫ:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Другие методы:13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
























Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc ruuuuuu
    Размер файла: 340 kB Загрузок: 0