Справочник по геометрии 7-9 классы


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Оглавление Перейдите в режим показа. Нажмите на интересующий вас материал Кнопки возврата в оглавление Кнопка возврата из оглавления на последний изучаемый слайд Слайды 2,3, 4 - оглавление Кнопки перехода на следующий слайд Оглавление Углы Параллельность. Теорема Фалеса Треугольник. Элементы Треугольник. Признаки равенства Свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра Виды треугольников и их свойства Теорема Пифагора Тригонометрические соотношения в прямоугол. ∆ Четырехугольники. Параллелограмм Свойства параллелограмма. Признаки Оглавление Ромб Прямоугольник Квадрат Трапеция. Элементы, виды, свойства Окружность. Элементы. Свойство радиуса, касательных Углы в окружности Вписанные и описанные окружности Подобие фигур. Подобие треугольников Практические задачи на подобие Решение треугольников. Теорема косинусов и синусов Оглавление Правильные многоугольники. Элементы, радиусы. Площади. Четырехугольник Площади. Треугольник Длина окружности. Площадь круга и его элементов Декартовы координаты на плоскости Уравнения прямой. Взаимное расположение Уравнения окружности. Взаимное расположение Векторы. Координаты. Коллинеарность. Длина Действия с векторами. Сложение. Умножение на число Скалярное произведение. Угол между векторами ВАС АМ - биссектриса ВАМ= САМ сторона В А С вершина биссектриса М 2.Развёрнутый угол. В А С ВАС=180˚ 1.Угол. 3.Виды углов. А H В D BAD=90˚ - прямой СAВ < 90˚ - острый НAВ > 90˚ - тупой С Биссектриса делит угол пополаи Оглавление 1 1 2 Сумма смежных углов равна 180є 2 3 4 Вертикальные углы равны 1 = 2 Оглавление 1 1 1 1 2 2 2 2 a b c накрест лежащие углы равны При параллельных прямых и секущей соответственные углы равны Сумма односторонних углов равна 180є накрест лежащие углы равны Прямые параллельны, если соответственные углы равны Сумма односторонних углов равна 180є Оглавление Аксиома параллельных прямых. а b А Через точку А, не лежащую на прямой b, в плоскости можно провести прямую а, параллельную данной прямой b, и притом только одну. а b с Если две различные прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Транзитивность параллельных прямых. Связь перпендикулярности с параллельностью. с а b Если две различные прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны между собой. Оглавление Теорема Фалеса. А₁ А₂ А₃ А₄ А₅ В В₂ В₃ В₄ В₅ Если на одной из двух прямыхотложить несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямыедо пересечения с другой прямой,то и на ней отложатся равные отрезки . Расширенная теорема Фалеса. А₁ А₂ А₃ А₄ В₁ В₂ В₃ В₄ Если на одной из двух прямыхотложить несколько отрезков и через их концы провести параллельные прямые до пересечения с другой прямой,то и на ней отложатсяотрезки, пропорциональные данным . Оглавление Оглавление Смма углов треугольника равна 180є Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов, не смежных с ним. A B C D F FAC – внешний угол BCD – внешний угол BCD = BAC + ABC FAC = BCA + ABC Оглавление Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину с серединой противолежащей стороны (основанием медианы). Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке. Эта точка пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1 считая от вершины 1 часть 2 части Оглавление Высотой треугольника называется перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону или ее продолжение. Три высоты треугольника пересекаются в одной точке h h Оглавление Биссектрисой треугольника называют отрезок, делящий угол при данной вершине пополам. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, и эта точка совпадает с центром вписанной окружности. Оглавление Сумма внутренних углов треугольника равна 180є . A B C Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов не смежных с ним D A B C A1 B1 C1 Треугольник равны, если: 1. Две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и уголу между ними другого треугольника По двум сторонам и углу между ними 2. Сторона и два прилежащих угола одного треугольника равны стороне и двум прилежащим уголам другого треугольника По стороне и двум прилежащим углам 3. Стороны одного треугольника равны сторонам другого треугольника По трем сторонам Оглавление Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от сторон данного угла. M N K MK = KN Если точка равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла. Оглавление Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину. Любая точка серединного перпендикуляра, проведённого к отрезку, равноудалена от его концов. АМ = МВ Если точка плоскости равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре, проведённом к этому отрезку. Оглавление Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее полусумме М N Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется средней линией. A B C Оглавление A B C Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным Вершина Боковые стороны Боковые стороны Основание АВ = ВС Углы при основании равнобедренного треугольника равны А = С Оглавление A B C D Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и высотой. ВD- биссектриса; ВD- медиана; ВD- высота Треугольник равнобедренный, если: 1. Две стороны равны; 2. Два угла равны; 3. Биссектриса является медианой и высотой. Оглавление A B C Треугольник, у которого стороны равны, называется равносторонним АВ = ВС = АС Углы у равносторннего треугольника равны по 60є А = С = В = 60є Биссектрисы треугольника являются медианами и высотами. A B C Оглавление A B C Катет Катет Гипотенуза A B C b а c Сумма острых углов прямоугольного ∆ равна 90є А = 90є - В А + В = 90є В = 90є - А Оглавление Катет A B C Катет, лежащий против угла в 30є равен половине гипотенузы. СВ = Ѕ АВ A B C Прямоугольный треугольник с углом 45є - равнобедренный А = В = 45є СВ = АС Оглавление 1. По двум катетам 2. По катету и гипотенузе 3. По катету и острому углу Треугольник равны: Так как в прямоугольных ∆ есть один равный элемент ( прямой угол), то для равенства достаточно двух равных элементов, одним из которых является какая – либо сторона. 4. По гипотенузе и острому углу Оглавление А С В катет катет гипотенуза АВ2 = АС2 + СВ2 СВ2 = АВ2 - АС2 АС2 = АВ2 - СВ2 Оглавление А С В Противолежащий катет Прилежащий катет Для одного и того же угла отношения сторон для любых прямоугольных треугольников одинаковы. А С В противолежащий катет прилежащий катет А С В противолежащий катет прилежащий катет Оглавление А С В Синус А Косинус А Тангенс А Противолеж. Прилежащий Прилежащий Противолеж. Синус и косинус – отношение катета к гипотенузе Тангенс и котангенс – отношение катетов Котангенс А Противолеж. Прилежащий. Синус и тангенс – отношение противолежащего катета (в числителе) Косинус и котангенс – отношение прилежащего катета (в числителе) Оглавление Противолежащий катет к гипотенузе Прилежащий катет к гипотенузе Противолежащий катет к прилежащему А С В Противолежащий катет Прилежащий катет a b c Оглавление А С В Дано: СВ = 3, АВ = 5 Найти sinA, cosA, tgA Найдем АС по теореме Пифагора Противолежащий к гипотенузе Прилежащий к гипотенузе Противолежащий к прилежащему Оглавление Табличные значения сtg tg cos sin 1 1 Ряд синуса Для косинуса поменяйте крайние значения Ряд тангенса Для котангенса поменяйте крайние значения Один, два, три Оглавление 1. Отметить данный угол; 2. Проговорить, что известно; 3. Проговорить, что надо найти; 4. Выбрать соответствующее соотношение; 5. Подставить известные величины; 6. Найти неизвестное. Оглавление 1. Отметить данный угол; 2. Проговорить, что известно; 3. Проговорить, что надо найти; 4. Выбрать соответствующее соотношение; 5. Подставить известные величины; 6. Найти неизвестное. А С В Против. катет a Дано: А = 60є; АС = 15√3 CH - высота Найти: СН гипотенуза Известно: гипотенуза H ∆ САН - прямоугольный Найти: противолежащий катет Используем синус Оглавление 1. По рисунку записать соответствующее отношение сторон; 2. Подставить известные величины; 3. Найти неизвестное. А С В Дано: АВ = 39 cosB = 5/13 Найти: СA Оглавление 4. Найти требуемые соотношения. 2. По данному соотношению на рисунке записать значения; 3. По теореме Пифагора определить третью сторону;. А С В Дано: tgА = 4/3 Найти: sinB 1. Отметить данный угол; При необходимости определить знак функции в зависимости от четверти. 4 3 AB = 5 – треугольник египетский Оглавление А С В Дано: tgα = 4/3, α € (π/2; 2π] Найти: sinB 4 3 AB = 5 – треугольник египетский Так как α может находится 2, 3, 4, четвертях, а тангенс положительный, то угол находится в 3 четверти. Синус в 3 четверти отрицательный. Ответ: - 0,8 5 Оглавление А В С D Параллелограмм – четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны АВ ||CD BC ||AD Оглавление А В С D Противолежащие углы Прилежащие углы А , С В , D А , B B , C C , D D , A Противоположные углы параллелограмма равны А = С B = D Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне равна 180є А + В = 180є Оглавление А В С D АВ , CD ВC , AD Противолежащие стороны А В С D Дано: ABCD - параллелограмм Доказать: АВ = CD, BC = AD Рассмотрим ∆ABD и ∆BCD BD - общая S 1 2 1 = 2, как накрест лежащие углы при ВС || AD и секущей BD 3 4 3 = 4, как накрест лежащие углы при AВ || CD и секущей BD ∆ABD = ∆BCD по 2-му признаку равенства тр-ков. АВ = СD, BC = AD, как соответственные стороны в равных тр-ках Оглавление Противоположные стороны параллелограмма равны А В С D О Дано: ABCD - параллелограмм Доказать: АО = ОC, BО = ОD Рассмотрим ∆AОD и ∆BОC ВС = AD как противоположные стороны параллелограмма 1 2 1 = 2, как накрест лежащие углы при ВС || AD и секущей BD 3 4 3 = 4, как накрест лежащие углы при ВС || АD и секущей АС ∆AОD = ∆BОC по 2-му признаку равенства тр-ков АО = ОC, BО = ОD , как соответственные стороны в равных тр-ках А В С D АВ = CD ВC = AD Оглавление А В С D О Диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам А В С D F ∆ABF - равнобедренный Биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник ВО = ОD АО = ОС АВ = ВF Оглавление В А С D О 1.Противоположные углы равны. 3.Противоположные стороны равны. 2.Односторонние углы в сумме составляют 180˚. 4.Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам . Оглавление 1. Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. 2. Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм. 3. Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм. Оглавление А В С D Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. AB = BC = CD = DA Ромб обладает всеми свойствами параллелограмма! Оглавление О А В С D ∆ АВС – равнобедренный, т.к. АВ = ВС АО = ОС по свойству диагоналей параллелограмма. ВО – медиана, а значит высота и биссектриса. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны. Диагонали ромба являются биссектрисами углов. ВD AC АBO = СBO Оглавление А В С D Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы равны 90°. А В С D Диагонали прямоугольника равны Прямоугольник обладает всеми свойствами параллелограмма! Оглавление А В С D Квадрат – это параллелограмм, у которого все стороны равны и углы равны 90°. AB = BC = CD = DA Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат – это ромб, у которого все углы равны 90°. AB = BC = CD = DA Оглавление Диагонали прямоугольника равны А В С D А В С D А В С D Свойства углов;Свойства сторон;Свойства диагоналей А В С D Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами Параллелограмм Ромб Прямоугольник Оглавление А В С D BC || AD BC и AD – основания АB и СD – боковые стороны BD и AС – диагонали А В С D Сумма углов, прилежащих к боковой стороне равна 180° F E Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие нет, называется трапеция BF - высота ( AD, BF BC BF) Оглавление Углы при основаниях равнобедренной трапеции равны А В С D Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной или равнобокой. А В С D F Е ∆ABF и ∆CDE - прямоугольные ∆ABF = ∆CDE по катету и гипотенузе Проведем высоты из В и С BF = CF, как высоты AB = CD, как боковые стороны А = D , как соответственные углы в равных треугольниках А В С D Трапеция, у которой боковая сторона основаниям называется прямоугольной Высоты проведенные из вершин отсекают равные ∆ Оглавление Диагонали равнобедренной трапеции равны А В С D ∆ABD = ∆CDA по 1-му признаку AD – общая AB = CD, как боковые стороны А = D s Следовательно, BD = AC, как соответственные углы в равных треугольниках А В С D Биссектриса тупого угла отсекает равнобедренный треугольник F Оглавление Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме А В С D М N Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется средней линией. a b Оглавление о А А B Хорда - отрезок, соединяющий две точки окружности А B Хорда, проходящая через центр называется диаметром d Окружность – линия, все точки которой равноудалены от центра Оглавление Окружность – это линия Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью Окружность – это линия поэтому имеет определенную длину Часть окружности называется дугой А В АВ - дуга АВ В окружности 360° Дуга может измеряться в единицах длины и градусах Оглавление O Радиус, проведенный к середине хорды, перпендикулярен этой хорде Для доказательства провести радиусы в концы хорды; Установить вид треугольника. Использовать свойства треугольника ∆АВО– равнобедренный ОА = ОВ = R OС - медиана А В D С ОD АB Доказать. Дано: АВ- хорда. ОD - радиус АС = СВ следовательно, ОС АВ, ОС - высота следовательно, ОD АВ Радиус, проведенный перпендикулярно хорде, делит ее пополам Оглавление А В АВ – секущая. Имеет две общие точки с окружностью C D CD –касательная. Имеет одну общую точку с окружностью А о Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной Оглавление А о Через точку вне окружности можно провести только две касательные В С Отрезки касательных, проведенных из одной точки равны АВ = АС Отрезок, соединяющий точку А с центром, является биссектрисой угла между касательными. Оглавление А В О Угол, образованный двумя радиусами называется центральным углом. АОВ - центральный Центральный угол имеет столько градусов, сколько в дуге угла Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу. Доказательство. ∆ АОВ равнобедренный, так как АО= ОВ, как радиусы одной окружности. Угол АОВ = 60°. Следовательно, ∆АОВ – равносторонний. АВ = АО = ОВ = R А В О Оглавление А В О Угол, образованный двумя хордам, проведенными из одной точки окружности называется вписанным углом. АСВ - вписанный Вписанный угол измеряется половиной дуги на которую опрается Вписанный угол равен половине соответствующего угла АСВ = Ѕ AnB n А В О С АСВ = Ѕ AОB С Оглавление Вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу равны Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 90є Треугольник, построенный на диаметре - прямоугольный АСВ = 90є А В О С А В О n С ∆ АВС - прямоугольный Оглавление Окружность описана около многоугольника, если все его вершины лежат на окружности. Окружность вписана в многоугольника, если она касается всех его сторон. Оглавление С А В О Около всякого треугольника можно описать окружность Центр описанной около треугольника окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикулярв. Радиусом описанной около треугольника окружности является отрезок, соединяющий центр с вершиной. ВО = R Оглавление Во всякий треугольник можно вписать окружность Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис. Радиусом является перпендикуляр, проведенный из центра к стороне ОD = r О В А С D Оглавление Около четырехугольника, у которого суммы противоположных углов равны 180є, можно описать окружность В четырехугольник, у которого суммы противоположных сторон равны, можно вписать окружность Оглавление Описать окружность около параллелограмма Вписать окружность в параллелограмм Описать окружность около ромба Вписать окружность в прямоугольник Описать окружность около неравнобедренной трапеции Оглавление A B C A1 B1 C1 Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны А = А1 В = В1 С = С1 Отношению сходственных сторон треугольников, называется коэффициентом подобия (k) k – показывает во сколько раз стороны одного ∆ больше или меньше другого Оглавление А В С А1 В1 С1 Стороны, лежащие против равных углов, называются сходственными (соответственными) Записывается: ∆АВС ∆А1В1С1 Правило записи, Первый треугольник записывается произвольно, второй – по вершинам соответственных углов ∆АВС ∆А1 В1 С1 Оглавление А В С M N K Записывается: ∆АВС ∆MNK ∆АВС ∆M N K Правило составления пропорций: первые две буквы, вторые две буквы, крайние буквы. ∆А В С ∆M N K Оглавление 1 признакЕсли два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны 2 признакЕсли две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, между ними равны, то такие треугольники подобны 3 признакЕсли три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны Оглавление Прямая, параллельная какой-либо стороне ∆ , отсекает ∆ подобный данному А В С М N ∆АВС ∆MВN А С В D Высота, опущенная на гипотенузу, разбивает ∆ на следующие пары подобных ∆ ∆АВС ∆AСD ∆АВС ∆CBD ∆АDС ∆CDB Оглавление А В С D О ∆ВОС ∆DOA А В F С D ∆AВF ∆DCF Если хорды пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой Оглавление 1. Человек ростом 1,6 м стоит на расстоянии 17 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 5 м. Найдите длину тени человека в метрах. 1,6 5 17 А В С М N ∆AВС ∆MBN x 2 Оглавление  2. На одной прямой на равном расстоянии друг от друга по одну сторону от дороги стоят три телеграфных столба. Крайние находятся от дороги на расстояниях 1,5 м и 7,5 м. Найдите расстояние, на котором находится от дороги средний столб. Ответ дайте в метрах.  1,5 7,5 х В задаче лучше использовать понятие средней линии трапеции Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме Оглавление 3. Проектор полностью освещает экран А высотой 70 см, расположенный на расстоянии .200 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран В высотой 140 см, чтобы он был полностью освещен, если настройки проектора остаются неизменными? 70 200 140 Треугольники - подобны Оглавление Решением треугольника называется нахождение его элементов (то есть сторон и углов) по каким-нибудь данным элементам. А В С c b a А В С c b a α β γ В треугольнике против большего угла лежит большая сторона Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон Оглавление А В c b a С Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Если угол А тупой, то cosA = - cos(180є - A) А В c b a С Оглавление А В c b a С Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов Если один из углов тупой, то sinA = sin(180є - A) Оглавление 1. Если известны две стороны и угол между ними, использовать теорему косинусов. 2. Если известны сторона и два угла, использовать теорему синусов. 3. Если известны три стороны, использовать либо теорему косинусов, либо теорему синусов для нахождения углов Оглавление * Выпуклый Невыпуклый Все стороны в одной полуплоскости Стороны в разных полуплоскостях Оглавление Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. A B C D E F A, B, C, D, E. F - вершины A B, BC, CD, DE. EF - стороны а СA СF…- диагонали d Количество сторон n Оглавление Равносторонний треугольник Квадрат 5-ти угольник Другие многоугольники называются по количеству сторон Оглавление A B C D E F Количество ∆ при одной вершине, образуемых диагоналями равно n – 2 Сумма углов n – угольника равна (n – 2)·180є Угол n – угольника равн Количество диагоналей равно Оглавление Любой правильным многоугольник имеет точку равноудаленную от вершин и сторон . О А B C D Эта точка называетс центром правильного многоугольника . О А B C D Угол ВОС называется центральным α Центральных углов столько, сколько сторон Оглавление Центр правильного многоугольника является центром вписанной и описанной окружностей О R r Оглавление n = 4 n = 3 n = 6 Оглавление Оглавление Параллелограмм S = aha S = absinα S = Ѕ d1d2 sinβ α – угол между сторонами β – угол между диагоналями Ромб Прямоугольник, квадрат S = ab S = a2 Трапеция Оглавление Треугольник S = Ѕ absinα Прямоугольный треугольник Формула Герона a и b – катеты Правильный треугольник S = Ѕ aаsin60є Правильный шестиугольник S = 6 S∆ Оглавление Параллелограмм S = aha S = absinα S = Ѕ d1d2 sinβ Ромб Треугольник S = Ѕ absinα Правильный треугольник S = Ѕ aаsin60є Правильный шестиугольник Трапеция Оглавление Окружность – линия, все точки которой равноудалены от центра Круг – часть плоскости, заключенной внутри окружности С = 2πR S = πR2 Оглавление А В n Пусть дуга AnB содержит β градусов и имеет длину l Используем : во всей длине окружности 360є. Составим пропорцию. 2πR 360є l β Часть круга, заключенная между двумя радиусами В О А Пусть AОB сектора АОВ содержит β градусов и имеет площадь Sсек πR2 360є Sсек β Оглавление Часть круга, заключенная между хордой и соответствующей дугой окружности ٠ О H H – высота сегмента Sсег = Sсек - S∆AOB A B Оглавление с - гипотенуза mc – медиана, проведенная к гипотенузе Оглавление у х О ОУ – ось ординат ОХ – ось абсцисс 3 1 2 4 Каждой точке на плоскости соответствуют координаты: х - абсцисса, у - ордината Плоскость осями делится на 4 четверти у х О А(х;у) хА уА Каждой паре координат соответствует точка плоскости Оглавление Длина отрезка равна квадратному корню из суммы квадратов разности соответствующих координат А(хА ;уА ) В(хВ ;уВ ) А(хА ;уА ) В(хВ ;уВ ) С(хС ;уС ) -середина АВ Координаты середины отрезка равны полу сумме соответствующих координат Оглавление Любая прямая в декартовых координатах имеет уравнение вида , где а, b, c любые действительные числа, причем хотя бы одно из чисел а и b не равно нулю. Из курса алгебры известно, что прямая является графиком линейной функции y = kx + b Выразим у из уравнения k +b Оглавление у х О у х О у х О у х О y = kx y = b y = kx + b x = c k > 0 прямая расположена в 1-ой и 3-ей четвертях k < 0 прямая расположена во 2-ой и 4-ой четвертях у х О у х О b Оглавление Угловой коэффициент k обуславливает угол наклона прямой с положительным направлением оси Х у х О α у х О α у х О α А В у х О α ∆ АОВ Угловой коэффициент k равен тангенсу угла наклона прямой к положительному направлению оси Х Если на прямой взять 2 точки А(хА ;уА) и В(хВ ;уВ), то угловой коэффициент k равен Оглавление у х О Прямые имеют одну общую точку Для нахождения координат точки пересечения нужно решить систему у х О y = k1 x + b1 y = k2 x + b2 Условие параллельности прямых: прямые параллельны, если равны угловые коэффициенты Оглавление Любая окружность в декартовых координатах имеет уравнение вида где (а; b) – координаты центра окружности R – радиус окружности у х О - окружность с центром в начале координат у х О a b R а и b брать с противоположным знаком Оглавление у х О Не пересекаются у х О у х О Касаются Пересекаются Система не имеет решений Система имеет одно решение Система имеет два решения Оглавление А B Вектор Вектор Начало Конец А(ха ;уа ) Начало Конец B(хb ;уb b) a1 a2 Оглавление A (- 2; 1), B (3; -1). Найдите координаты вектора Найдите координаты вектора А(ха ;уа ) B(хb ;уb) Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов соответствующих координат. Оглавление Векторы параллельны и сонаправлены Векторы параллельны и противоположно направлены Векторы пересекаются Оглавление Сонаправленые векторы одинаковой длины - равны У равных векторов равны координаты Оглавление Чтобы умножить вектор на число надо умножить наэто число каждую координату. Оглавление Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Оглавление Соединить конец с началом. Вектор из начала будет суммой Соединить начала. Достроить до параллелограмма Диагональ, исходящая из начал будет суммой Оглавление Координаты суммарного вектора равны сумме соответственных координат слагаемых векторов Оглавление Любой вектор с можно представить как сумму двух векторов у х Оглавление Скаляр – величина без направления За скалярное произведение векторов принимается величина, равная сумме произведение соответствующих координат Для обозначения скалярного произведения используется точка Скалярное произведение используется для нахождения угла между векторами Оглавление Скалярное произведение используется для нахождения угла между векторами Векторы коллинеарны (параллельны), если угол между ними равен 0. Скалярное произведение равно 1, - 1 Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0 Оглавление О В А С В₁ С₁ А₁ r r r А В С D Свойства равнобедренного треугольника Высота, проведенная к основанию является медианой и биссектрисой Углы при основании равны А В С D АnВ 1 = 2, как накрест лежащие углы при ВС || AD и секущей BD А С В Противолежащий катет Прилежащий катет А В С

Приложенные файлы