Электронный учебник. Элементарная алгебра. Разложение на множители

Элементарная алгебра
Разложение на множители

Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc108672953" 141.1 Вынесение общего множителя за скобки. 13 PAGEREF _Toc108672953 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc108672954" 141.2. Разложение по формулам сокращенного умножения 13 PAGEREF _Toc108672954 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc108672955" 141) Квадрат суммы и разности 13 PAGEREF _Toc108672955 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc108672956" 142) Разность квадратов. 13 PAGEREF _Toc108672956 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc108672957" 143) Сумма и разность кубов 13 PAGEREF _Toc108672957 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc108672958" 141.3 Группировка. 13 PAGEREF _Toc108672958 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc108672959" 141.4 Разложение квадратного трехчлена. 13 PAGEREF _Toc108672959 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc108672960" 141.5 Общий алгоритм разложения на множители. 13 PAGEREF _Toc108672960 \h 1451515
15
1.1 Вынесение общего множителя за скобки.

Пункт 1. Найти общий множитель (О.М.) среди числовой части;
Пункт 2. Найти общий множитель среди буквенных выражений (берется в меньшей степени);
Пункт 3. Записать общий множитель;
Пункт 4. Открыть скобку;
Пункт 5. В скобке записать результат от деления каждого члена на общий
множитель;
Пункт 6. Скобку привести в стандартный вид (привести подобные слагаемые, вынести О.М. при наличии.)

Пример 1:
6a2 b – 15 a3 b2 =
Выполнение:
Пункт 1. О.М. среди числовой части 3,
Пункт 2. О.М. среди буквенной части a2 b (- меньшая степень),
Пункт 3. О.М. 3 a2 b,
Пункт 4. Скобки,
Пункт 5. Результат деления: 6a2 b : 3 a2 b =2 См. алгоритм.
15 a3 b2 : 3 a2 b=5ab
6a2 b – 15 a3 b2 = 3 a2 b ( 2 – 5ab )

Пример 2:

2( x – 1) – ( x – 1)13EMBED Equation.31415= ( x – 1)( 2 – ( x – 1)) = ( x – 1)( 2 – x +1)=
( x – 1)( 3 – x)
О.М. может быть в виде многочлена в скобке ( х – 1)
Применение алгоритма аналогично примеру 1 с применением пункта 6.

Пример 3:

х( x – 1) +2( 1 – x) = x( x – 1) – 2( x – 1) = ( x – 1)( x – 2)

ПРАВИЛО. Если О.М. выражения противоположные, например, ( х – 1) и
( 1 – х), то необходимо в одной из скобок поменять знаки, для чего вынести минус за скобку.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.

1. Пишу общий множитель и открываю скобку, в скобках – результат от деления.
2. Противоположные выражения -выношу минус.
Начало
1.2. Разложение по формулам сокращенного умножения

1) Квадрат суммы и разности

a13EMBED Equation.31415+2ab + b13EMBED Equation.31415= (a + b)13EMBED Equation.31415 ; a13EMBED Equation.31415 - 2ab + b13EMBED Equation.31415= (a – b)13EMBED Equation.31415.

1. Привести трехчлен к стандартному виду по «местам» : квадрат первого числа, удвоенное произведение, квадрат второго числа;
2. Привести к стандартному виду по знаку: + , + , + или +, ( , +; если знаки не соответствуют, то вынести минус за скобку;
3. По квадрату первого числа найти само число; по квадрату второго – второе число;
4. Проверить удвоенное произведение;
5. Записать сумму или разность квадратов в соответствии со знаком перед удвоенным произведением.

Пример 1.

х13EMBED Equation.31415 + 2х + 1 = ( х + 1 )13EMBED Equation.31415
Пункт 1, пункт 2 – вид стандартный.
Пункт 3: квадрат первого числа - х13EMBED Equation.31415 само число – х См. алгоритм.
Квадрат второго числа 1 само число 1.
Пункт 4: удвоенное произведение 2х
Пункт 5: ( х + 1)13EMBED Equation.31415

Пример 2.
12а – 4а13EMBED Equation.31415 - 9 =
Пункт 1: расставить по местам: ( 4а13EMBED Equation.31415 + 12а – 9.
Пункт 2: вынести минус: ( ( 4а13EMBED Equation.31415 - 12а + 9) См. алгоритм.
Пункты 3, 4, 5: - (2а – 3 )13EMBED Equation.31415
12а – 4а13EMBED Equation.31415 - 9 = - 4а13EMBED Equation.31415 +12а – 9 = ( (4а13EMBED Equation.31415 - 12а + 9 )= ( (2а – 3 )13EMBED Equation.31415



«Золотое» правило.
Если есть трехчлен – проверить: не является ли он полным квадратом.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.

Трехчлен – ищи полный квадрат.
Минус перед удвоенным произведением – квадрат разности,
плюс – квадрат суммы.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15

2) Разность квадратов.

а13EMBED Equation.31415 - b13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415= (a – b) (a + b)

1. Привести к стандартному виду;
2. По квадрату первого числа определить само число; по квадрату второго – второе число;
3. Записать произведение разности чисел (выражений) на их сумму;
4. Ответ привести в стандартный вид: привести подобные слагаемые; вынести общий множитель (при наличии).

Пример 1.
13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.314154х13EMBED Equation.31415- 9 = ( 2х – 3) ( 2х + 3)

Пункт 1. Вид – стандартный.
Пункт 2. Квадрат первого числа 4х13EMBED Equation.31415 первое число 2х;
Квадрат второго числа 9, второе число 3.
Пункт 3. ( 2х – 3) ( 2х + 3)

Пример 2. См. алгоритм.

(а – 2 )13EMBED Equation.31415 - (а + 4 )13EMBED Equation.31415= - 12 ( а + 1)
Пункт 2. Квадрат первого числа ( а – 2 )13EMBED Equation.31415, первое число а – 2
Квадрат второго числа ( а + 4 )13EMBED Equation.31415, второе число а + 4
Пункт 3. ( а – 2 – (а + 4)) ( а – 2 + а + 4 ).
Пункт 4. ( а – 2 – а – 4) (2а + 2) = - 6 ( 2а + 2) = - 6 ( 2 (а + 1 ) =
- 12 ( а + 1)
"ЗОЛОТОЕ" ПРАВИЛО.
Если разность двух выражений – проверь, не является ли она разностью квадратов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.
Разность квадратов – разность на сумму.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
3) Сумма и разность кубов

a3 ( b3 = (a ( b)(a2 13 EMBED Equation.3 1415ab + b2)
Сумма (разность) кубов равна сумме оснований умноженной на неполный квадрат разности (суммы).
Помнить! В неполном квадрате – произведение первого на второе, в полном - удвоенное произведение.
Пример.
а3 – 8 = (а – 2)(а2 + 2а + 4) 13 EMBED Equation.3 1415
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
1.3 Группировка.


1. Создать группы так, чтобы можно было вынести общий множитель или применить формулу сокращенного умножения;
2. Проверить, получаются ли одинаковые скобки после выполнения п.1;
3. Разложить на множители каждую группу, если получаются одинаковые скобки; создать другие группы, если скобки получаются разные;
4. Вынести полученный общий множитель или применить Ф.С.У.( при наличии);
5. Привести ответ к стандартному виду.

ПРИМЕР 1. 3ad – 2bc + ac – 6bd = a(3d + c) – 2b(c + 3d) = (3d + c)(a – 2b).
Пункт1. Группы: 3ad + ac; - 2bc – 6bd;
Пункт2. Из первой группы выносим а, получаем (3d + c); из второй - -2b, получаем (c + 3d). Скобки одинаковые.
Пункт3. 3ad – 2bc + ac – 6bd = a(3d + c) – 2b(c + 3d);
Пункт4. (3d + c)(a – 2b).

ПРИМЕР 2. См. алгоритм.
1 - a13EMBED Equation.31415 + 2ac - c13EMBED Equation.31415 = 1 – (а – с)13EMBED Equation.31415= (1 – а + с) (1 + а + с).
Пункт1. Группы: 1 и - а13EMBED Equation.31415 + 2ас - с13EMBED Equation.31415.
Пункт3. Во второй группе вынести минус и применить формулу квадрата разности.
1 – (а13EMBED Equation.31415 - 2ас + с13EMBED Equation.31415) = 1 – (а – с)13EMBED Equation.31415.
Пункт4. Разложить по формуле разности квадратов.
(1 – (а – с)) (1 + а + с)
Пункт5. Привести в стандартный вид. (1 – а + с) (1 + а + с).
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
1.4 Разложение квадратного трехчлена.
ax13EMBED Equation.31415 + bx + c = a(x - x13EMBED Equation.31415)(x - x13EMBED Equation.31415)

1. Определить, имеет ли квадратный трехчлен корни, для чего определить знак дискриминанта;
2. Записать трафарет: а(х - )(х - );
3. Найти корни;
4. Записать вместо х13EMBED Equation.31415 и х13EMBED Equation.31415 их значения в трафарет;
5. Если корни дробные, при необходимости привести выражение к целому виду, умножив скобку на соответствующий множитель коэффициента а..




ПРИМЕР.
-2х13EMBED Equation.31415 + 5х + 3 = – 2(х - )(х - ) См. алгоритм.
Пункт1. D =25 + 24>0
Пункт2. – 2(х - )(х - )
Пункт3. – 2х13EMBED Equation.31415 + 5х + 3 = 0; х13EMBED Equation.31415 = - 1/2 ; х13EMBED Equation.31415 = 3 ;
Пункт4. – 2 (х + 1/2)(х – 3);
Пункт5. – (2х + 1)(х –3) = (2х + 1)(3 – х).
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
1.5 Общий алгоритм разложения на множители.

1. Найти общий множитель во всем выражении, если есть , то вынести;
2. Найти формулу сокращенного умножения во всем выражении или в скобке после выполнения пункта 1 , если есть, то применить;
3. При отсутствии пунктов 1,2 осуществить группировку ;
4. Осуществить разложение в каждой группе по пункту 1 или 2 соответственно;
5. Выполнить разложение по пункту 1 или 2 всего выражения; .
6. Ответ привести к стандартному виду.

Пример1.

2а13EMBED Equation.31415 - 2
Пункт1. 2(а13EMBED Equation.31415- 1)
Пункт2. 2(а – 1)(а + 1).
2а13EMBED Equation.31415 - 2 = 2(а13EMBED Equation.31415 - 1) = 2(а – 1)(а + 1)
Пример2. См. алгоритм.

9а13EMBED Equation.31415+ 6а + 1 – 4b13EMBED Equation.31415= (3a + 1)13EMBED Equation.31415 - 4b13EMBED Equation.31415 = (3a + 1 – 2b)(3a + 1 + 2b).

13 LINK \l "ОбщийАлгоритм" 14Пункт1. Нет.
Пункт2. Нет.
1513 LINK \l "ОбщийАлгоритм" 14Пункт3.15 9а13EMBED Equation.31415 + 6а + 1 – 4b13EMBED Equation.31415. Группа 9а13EMBED Equation.31415 + 6а + 1; группа 4b13EMBED Equation.31415
13 LINK \l "ОбщийАлгоритм" 14Пункт 4, 5.15 ( 3a + 1)13EMBED Equation.31415- 4b13EMBED Equation.31415= (3a + 1 – 2b)(3a + 1 + 2b)

Пример3.
1 – a13EMBED Equation.31415 + 2ab - b13EMBED Equation.31415= 1 – (a – b)13EMBED Equation.31415= (1 – (a – b ))(1 + a – b) = (1 – a + b)(1 + a – b)
Пример4.
х13EMBED Equation.31415 – y13EMBED Equation.31415 – 2x + 2y = См. алгоритм.
Выполняем пункт 3. Группы: х13EMBED Equation.31415 – у 13EMBED Equation.31415; - 2х + 2у.
Выполняем пункты 4 и 5: (х – у)(х + у) – 2(х – у) = (х – у)(х + у – 2)
х13EMBED Equation.31415- у13EMBED Equation.31415- 2х + 2у = (х – у)(х + у) – 2(х – у) = (х – у)(х + у – 2)

Ключевые слова.
Первое – Общий множитель во всем выражении. Второе – ФСУ во всем выражении. Третье – группировка.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15











13PAGE 15


13PAGE 14115




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file1
    Разложение на множители
    Размер файла: 186 kB Загрузок: 3