Электронный учебник. Элементарная алгебра. Разложение на множители

Элементарная алгебра
Разложение на множители

Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672953" HYPER141.1 Вынесение общего множителя за скобки. HYPER13 PAGEREF _Toc108672953 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672954" HYPER141.2. Разложение по формулам сокращенного умножения HYPER13 PAGEREF _Toc108672954 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672955" HYPER141) Квадрат суммы и разности HYPER13 PAGEREF _Toc108672955 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672956" HYPER142) Разность квадратов. HYPER13 PAGEREF _Toc108672956 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672957" HYPER143) Сумма и разность кубов HYPER13 PAGEREF _Toc108672957 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672958" HYPER141.3 Группировка. HYPER13 PAGEREF _Toc108672958 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672959" HYPER141.4 Разложение квадратного трехчлена. HYPER13 PAGEREF _Toc108672959 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108672960" HYPER141.5 Общий алгоритм разложения на множители. HYPER13 PAGEREF _Toc108672960 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER15
1.1 Вынесение общего множителя за скобки.

Пункт 1. Найти общий множитель (О.М.) среди числовой части;
Пункт 2. Найти общий множитель среди буквенных выражений (берется в меньшей степени);
Пункт 3. Записать общий множитель;
Пункт 4. Открыть скобку;
Пункт 5. В скобке записать результат от деления каждого члена на общий
множитель;
Пункт 6. Скобку привести в стандартный вид (привести подобные слагаемые, вынести О.М. при наличии.)

Пример 1:
6a2 b – 15 a3 b2 =
Выполнение:
Пункт 1. О.М. среди числовой части 3,
Пункт 2. О.М. среди буквенной части a2 b (- меньшая степень),
Пункт 3. О.М. 3 a2 b,
Пункт 4. Скобки,
Пункт 5. Результат деления: 6a2 b : 3 a2 b =2 См. алгоритм.
15 a3 b2 : 3 a2 b=5ab
6a2 b – 15 a3 b2 = 3 a2 b ( 2 – 5ab )

Пример 2:

2( x – 1) – ( x – 1)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= ( x – 1)( 2 – ( x – 1)) = ( x – 1)( 2 – x +1)=
( x – 1)( 3 – x)
О.М. может быть в виде многочлена в скобке ( х – 1)
Применение алгоритма аналогично примеру 1 с применением пункта 6.

Пример 3:

х( x – 1) +2( 1 – x) = x( x – 1) – 2( x – 1) = ( x – 1)( x – 2)

ПРАВИЛО. Если О.М. выражения противоположные, например, ( х – 1) и
( 1 – х), то необходимо в одной из скобок поменять знаки, для чего вынести минус за скобку.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.

1. Пишу общий множитель и открываю скобку, в скобках – результат от деления.
2. Противоположные выражения -выношу минус.
Начало
1.2. Разложение по формулам сокращенного умножения

1) Квадрат суммы и разности

aHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+2ab + bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (a + b)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 ; aHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 2ab + bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (a – b)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.

1. Привести трехчлен к стандартному виду по «местам» : квадрат первого числа, удвоенное произведение, квадрат второго числа;
2. Привести к стандартному виду по знаку: + , + , + или +, ( , +; если знаки не соответствуют, то вынести минус за скобку;
3. По квадрату первого числа найти само число; по квадрату второго – второе число;
4. Проверить удвоенное произведение;
5. Записать сумму или разность квадратов в соответствии со знаком перед удвоенным произведением.

Пример 1.

хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 2х + 1 = ( х + 1 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
Пункт 1, пункт 2 – вид стандартный.
Пункт 3: квадрат первого числа - хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 само число – х См. алгоритм.
Квадрат второго числа 1 само число 1.
Пункт 4: удвоенное произведение 2х
Пункт 5: ( х + 1)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15

Пример 2.
12а – 4аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 9 =
Пункт 1: расставить по местам: ( 4аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 12а – 9.
Пункт 2: вынести минус: ( ( 4аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 12а + 9) См. алгоритм.
Пункты 3, 4, 5: - (2а – 3 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
12а – 4аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 9 = - 4аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 +12а – 9 = ( (4аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 12а + 9 )= ( (2а – 3 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15



«Золотое» правило.
Если есть трехчлен – проверить: не является ли он полным квадратом.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.

Трехчлен – ищи полный квадрат.
Минус перед удвоенным произведением – квадрат разности,
плюс – квадрат суммы.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

2) Разность квадратов.

аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (a – b) (a + b)

1. Привести к стандартному виду;
2. По квадрату первого числа определить само число; по квадрату второго – второе число;
3. Записать произведение разности чисел (выражений) на их сумму;
4. Ответ привести в стандартный вид: привести подобные слагаемые; вынести общий множитель (при наличии).

Пример 1.
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER154хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 9 = ( 2х – 3) ( 2х + 3)

Пункт 1. Вид – стандартный.
Пункт 2. Квадрат первого числа 4хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 первое число 2х;
Квадрат второго числа 9, второе число 3.
Пункт 3. ( 2х – 3) ( 2х + 3)

Пример 2. См. алгоритм.

(а – 2 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - (а + 4 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= - 12 ( а + 1)
Пункт 2. Квадрат первого числа ( а – 2 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15, первое число а – 2
Квадрат второго числа ( а + 4 )HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15, второе число а + 4
Пункт 3. ( а – 2 – (а + 4)) ( а – 2 + а + 4 ).
Пункт 4. ( а – 2 – а – 4) (2а + 2) = - 6 ( 2а + 2) = - 6 ( 2 (а + 1 ) =
- 12 ( а + 1)
"ЗОЛОТОЕ" ПРАВИЛО.
Если разность двух выражений – проверь, не является ли она разностью квадратов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА.
Разность квадратов – разность на сумму.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
3) Сумма и разность кубов

a3 ( b3 = (a ( b)(a2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15ab + b2)
Сумма (разность) кубов равна сумме оснований умноженной на неполный квадрат разности (суммы).
Помнить! В неполном квадрате – произведение первого на второе, в полном - удвоенное произведение.
Пример.
а3 – 8 = (а – 2)(а2 + 2а + 4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
1.3 Группировка.


1. Создать группы так, чтобы можно было вынести общий множитель или применить формулу сокращенного умножения;
2. Проверить, получаются ли одинаковые скобки после выполнения п.1;
3. Разложить на множители каждую группу, если получаются одинаковые скобки; создать другие группы, если скобки получаются разные;
4. Вынести полученный общий множитель или применить Ф.С.У.( при наличии);
5. Привести ответ к стандартному виду.

ПРИМЕР 1. 3ad – 2bc + ac – 6bd = a(3d + c) – 2b(c + 3d) = (3d + c)(a – 2b).
Пункт1. Группы: 3ad + ac; - 2bc – 6bd;
Пункт2. Из первой группы выносим а, получаем (3d + c); из второй - -2b, получаем (c + 3d). Скобки одинаковые.
Пункт3. 3ad – 2bc + ac – 6bd = a(3d + c) – 2b(c + 3d);
Пункт4. (3d + c)(a – 2b).

ПРИМЕР 2. См. алгоритм.
1 - aHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 2ac - cHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = 1 – (а – с)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (1 – а + с) (1 + а + с).
Пункт1. Группы: 1 и - аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 2ас - сHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Пункт3. Во второй группе вынести минус и применить формулу квадрата разности.
1 – (аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 2ас + сHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15) = 1 – (а – с)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Пункт4. Разложить по формуле разности квадратов.
(1 – (а – с)) (1 + а + с)
Пункт5. Привести в стандартный вид. (1 – а + с) (1 + а + с).
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
1.4 Разложение квадратного трехчлена.
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + bx + c = a(x - xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15)(x - xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15)

1. Определить, имеет ли квадратный трехчлен корни, для чего определить знак дискриминанта;
2. Записать трафарет: а(х - )(х - );
3. Найти корни;
4. Записать вместо хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 и хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 их значения в трафарет;
5. Если корни дробные, при необходимости привести выражение к целому виду, умножив скобку на соответствующий множитель коэффициента а..




ПРИМЕР.
-2хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 5х + 3 = – 2(х - )(х - ) См. алгоритм.
Пункт1. D =25 + 24>0
Пункт2. – 2(х - )(х - )
Пункт3. – 2хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 5х + 3 = 0; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = - 1/2 ; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = 3 ;
Пункт4. – 2 (х + 1/2)(х – 3);
Пункт5. – (2х + 1)(х –3) = (2х + 1)(3 – х).
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
1.5 Общий алгоритм разложения на множители.

1. Найти общий множитель во всем выражении, если есть , то вынести;
2. Найти формулу сокращенного умножения во всем выражении или в скобке после выполнения пункта 1 , если есть, то применить;
3. При отсутствии пунктов 1,2 осуществить группировку ;
4. Осуществить разложение в каждой группе по пункту 1 или 2 соответственно;
5. Выполнить разложение по пункту 1 или 2 всего выражения; .
6. Ответ привести к стандартному виду.

Пример1.

2аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 2
Пункт1. 2(аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 1)
Пункт2. 2(а – 1)(а + 1).
2аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 2 = 2(аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 1) = 2(а – 1)(а + 1)
Пример2. См. алгоритм.

9аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ 6а + 1 – 4bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (3a + 1)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 4bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = (3a + 1 – 2b)(3a + 1 + 2b).

HYPER13 HYPERLINK \l "ОбщийАлгоритм" HYPER14Пункт1. Нет.
Пункт2. Нет.
HYPER15HYPER13 HYPERLINK \l "ОбщийАлгоритм" HYPER14Пункт3.HYPER15 9аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 6а + 1 – 4bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15. Группа 9аHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 6а + 1; группа 4bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "ОбщийАлгоритм" HYPER14Пункт 4, 5.HYPER15 ( 3a + 1)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 4bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (3a + 1 – 2b)(3a + 1 + 2b)

Пример3.
1 – aHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 2ab - bHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 1 – (a – b)HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= (1 – (a – b ))(1 + a – b) = (1 – a + b)(1 + a – b)
Пример4.
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 – yHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 – 2x + 2y = См. алгоритм.
Выполняем пункт 3. Группы: хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 – у HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; - 2х + 2у.
Выполняем пункты 4 и 5: (х – у)(х + у) – 2(х – у) = (х – у)(х + у – 2)
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- уHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 2х + 2у = (х – у)(х + у) – 2(х – у) = (х – у)(х + у – 2)

Ключевые слова.
Первое – Общий множитель во всем выражении. Второе – ФСУ во всем выражении. Третье – группировка.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15











HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER141HYPER15




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file1
    Разложение на множители
    Размер файла: 186 kB Загрузок: 3