Электронный учебник. Элементарная алгебра. Виды и способы решения алгебраических уравнений

Решение уравнений

Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z HYPER14
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768055" HYPER141. Линейные уравнения. HYPER13 PAGEREF _Toc108768055 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768056" HYPER143.1 Неполные квадратные уравнения. HYPER13 PAGEREF _Toc108768056 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768058" HYPER143.2. Полные квадратные уравнения. HYPER13 PAGEREF _Toc108768058 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768059" HYPER14Алгоритм решения HYPER13 PAGEREF _Toc108768059 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768060" HYPER143.3 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. HYPER13 PAGEREF _Toc108768060 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768061" HYPER144. Дробные рациональные уравнения. HYPER13 PAGEREF _Toc108768061 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768062" HYPER145. Уравнения в виде пропорции. HYPER13 PAGEREF _Toc108768062 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768063" HYPER146. Нестандартные уравнения HYPER13 PAGEREF _Toc108768063 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768064" HYPER146.1 Уравнения в виде произведение равно 0 HYPER13 PAGEREF _Toc108768064 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768065" HYPER146.2 Уравнения, решаемые способом замены. HYPER13 PAGEREF _Toc108768065 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768066" HYPER146.2.1 Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным HYPER13 PAGEREF _Toc108768066 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768067" HYPER146.2.2 Способ замены. HYPER13 PAGEREF _Toc108768067 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768068" HYPER146.3 Однородные уравнения. HYPER13 PAGEREF _Toc108768068 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768069" HYPER146.4 Общий алгоритм решения уравнений. HYPER13 PAGEREF _Toc108768069 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108768070" HYPER147. Уравнения с модулем. HYPER13 PAGEREF _Toc108768070 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER15
Линейные уравнения.
kx = b, если k (0. b ( 0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член).
kx = b, если k = 0, b ( 0, то уравнение решений не имеет.
kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х(R.
Пункт 1. Раскрыть скобки, привести подобные;
Пункт 2. Выражения с неизвестными перенести влево, а свободные члены вправо, поменяв при этом знак на противоположный;
Пункт 3. Привести подобные;
Пункт 4. Свободный член разделить на коэффициент при неизвестном.
Решить уравнения.
Пример 1. 9(2х – 18) = - 9х
Пункт 1. 18х – 9(18 = - 9х Пункт 2. 18х + 9х = 9(18 Пункт 3. 27х = 9(18
Пункт 4. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 х = 6
Помни! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь.
Пример 2. Пример 3. 12 2(4х – 6) = 8х 6(1,2х –0,5) – 1,3х = 5,9х - 3
8х – 12 = 8х; 7,2х – 3 – 1,3х = 5,9х – 3;
8х – 8х = 12; 5,9х – 5,9х = - 3 + 3;
0х = 12; 0х = 0;
Решений нет. х – любое действительное число.
Помни! Х не исчезает. Коэффициент при х равен нулю

Ключевые слова.
1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо).
2. Свободный член делить на коэффициент при неизвестном.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
Квадратные уравнения.
3.1 Неполные квадратные уравнения.
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ bx = 0 с = 0
Пункт 1. Раскрыть скобки, привести подобные;
Пункт 2. Перенести все в одну сторону;
Пункт 3. Вынести О.М. за скобку, получив уравнение вида произведение равно нулю;
Пункт 4. Разбить на два уравнения, записав: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл;
Пункт 5. Решить каждое уравнение.
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ bx = 0 с = 0
Выполнить пункты 1, 2;
Пункт 3. Вынести О.М. за скобку,
х(ах + b) = o
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
х =0 или ах + b = 0
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ с = 0 b = 0
Пункт 1. Перенести свободный член с вправо и разделить на а;
Пункт 2. Найти х, извлекая корень квадратный и беря его со знаками плюс и минус.
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= -с; х2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; х1,2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Пример 1. Пример 2.
7хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 2х = 0;
Произведение равно нулю, если хотя
бы один из множителей равен нулю, а
другой при этом не теряет смысл. 3 хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 27 = 0; 3х2 + 27 = 0
х(7х – 2) = 0; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 3; х2 = - 9
х =0 или 7х – 2 = 0 хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 ;
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 0 ; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=2/7. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 3.

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
3.2. Полные квадратные уравнения.
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ bx + c = 0 D =HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ px + q = 0 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
axHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15

Уравнение, имеющее коэффициент при х2 равный единице называется приведенным. хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ px + q = 0. Любое уравнение можно сделать приведенным, разделив все его члены на а.

Алгоритм решения

Пункт 1. Раскрыть скобки, привести подобные, перенести все в одну сторону (влево);
Пункт 2. Привести в стандартный вид (привести подобные, расставить в порядке убывания степени, если перед коэффициентом неизвестного второй степени стоит знак минус, то необходимо умножить обе части уравнения на минус единицу, т.е. поменять знаки перед всеми членами уравнения, сократить ;
Пункт 3. Подсчитать дискриминант. Подставить в формулу корней значения a, b, D и найти корни.
Пункт 4. Ответ привести к стандартному виду.

Пример 1. (3х – 1)(х - 2) = х(1 + 6х) – 9х Пример 2. 3х2 – 4х +1 = 0
Пункт 1. 3хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - 7х +2 = х + 6хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 9х; b = 4
Пункт 2. -3хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ х + 2 = 0 (( (((;
3хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- х - 2= 0;
Пункт 3. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 5 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 1
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= -HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 1 хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 1
Если уравнения имеют такие коэффициенты, что a + b + c = 0, то х1 = 1; х2 = с/а
Если уравнения имеют такие коэффициенты, что a - b + c = 0, то х1 = - 1; х2 = - с/а
Пример. 12х2 – 7х – 5 = 0. 12 – 7 - 5 = 0.
х1 = 1; х2 =5/12

Помни! Не всякое квадратное уравнение имеет решения.
D>0 - два решения. 2хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ 5х – 6 = 0 D = 25 + 426>0
D<0 – нет решений. 2хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+5х + 6 = 0 D = 25 - 426<0
D=0 – одно решение. xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ 4x +4 = 0 D = 16 - 44 = 0
Если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен полный квадрат( квадрат суммы или разности).
Если свободный член «с» отрицательный, то дискриминант больше нуля.
Уравнение вида ахHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ с = 0 не имеет решений, если свободный член положительный. 3хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+1 = 0; 3хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= - 1 не имеет смысла. Если с < 0, то уравнение имеет два корня.

Ключевые слова.
Все перенести в одну сторону. Расставить по местам. Привести в стандартный вид. Коэффициент при х2 должен быть положительный. Найти х
Если уравнение неполное, то либо разложить, либо перенести свободный член вправо, разделить на а и извлечь корень, взяв его с минусом и плюсом.

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15


3.3 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета.

Если два числа таковы, что их сумма равна ( р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ px + q = 0. х 1 +х 2 = ( р; х 1 (х 2 = q
Решение приведенного квадратного уравнения методом подбора.

Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, перейти к п. 2;
Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей;
Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент ( р (с обратным знаком).
Пункт 4. Записать ответ.

Пример. хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный.
40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Для выполнения пункта 3, запишем:
5 8 = 3, т.е. равно коэффициенту при неизвестном первой степени, взятому с обратным знаком. Теперь можно расставлять знаки: ( 5 + 8 = 3
Пункт 4. хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= ( 5; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 8.
Запись решения : хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 3х – 40 = 0;
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= -5; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=8 по теореме обратной теореме Виета.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

4. Дробные рациональные уравнения.

Пункт 1. Разложить знаменатели на множители;
Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ);
Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю;
Пункт 4. Записать область определения уравнения;
Пункт 5. Привести уравнение к целому виду, для чего:
а) поставить черточки к каждому члену уравнения;
найти и записать дополнительные множители (доп. множ);
Доп. множ =HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
б) записать результат умножения допмнож на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде;
Пункт 6. Решить полученное уравнение;
Пункт 7. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние.
Решить уравнения:
Пример1. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15;
HYPER13 HYPERLINK \l "РациональныеУравнения" HYPER14Пункт1.HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13 HYPERLINK \l "РациональныеУравнения" HYPER14Пункт2.HYPER15 ОЗ = (х – 4)(х + 4)
Пункт3. (х – 4)(х + 4) ( 0 При нахождении можно использовать знак равенства ( = )

х (( 4
Пункт4. х л. д.ч. кроме ( 4 (или х
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15HYPER13 HYPERLINK \l "РациональныеУравнения" HYPER14Пункт5.HYPER15 х – 4 -хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + х + 20 =8;
HYPER13 HYPERLINK \l "РациональныеУравнения" HYPER14Пункт6.HYPER15 - хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ 2х + 8 = 0; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 2х – 8 = 0;
По теореме обратной теореме Виета
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= - 2; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 4 посторонний корень.
Ответ: -2.
Рекомендация. При наличии дробных коэффициентов в квадратных уравнениях лучше привести его к целому виду.
Пример2. Пример3.
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 1,6х – 0,36 =0 (( 100 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 + 2х – 9 = 0 ((3
100хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 160х – 36 = 0 хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+ 6х – 27 = 0;
25хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 40х – 9 = 0 По теореме обратной теореме
D = 40 ( 40 + 4(25(9=4(400+ 225)= Виета
4 (625 хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= - 9; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 3.
xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= - HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15;хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

Заметим, что не всякое дробное уравнение нужно приводить к целому виду. См ниже.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

5. Уравнения в виде пропорции.
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Основное свойство пропорции: ad = bc
Пункт 1. Найти область определения;
Пункт 2. Перемножить крест на крест;
Пункт 3. Решить соответствующее уравнение.
Пример 1. Пример 2.
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 х – л.д.ч., х HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 0 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15;
Пункт 2. 3х=хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15+2; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15;
Пункт 2. хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 3х +2 = 0; HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 - хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= - 1;
хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 1; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15=2. хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= 1; хHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15= ( 1.

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

Нестандартные уравнения

Уравнения отличные от линейных, квадратных и приводимых к ним путем простых алгебраических преобразований будем называть нестандартными.

6.1 Уравнения в виде произведение равно 0


( = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
= 0 или = 0
Решается путем разложения всего выражения уравнения на множители.

Пункт 1. Перенести все в одну сторону;
Пункт 2. Разложить на множители;
Пункт 3. Записать фразу;
Пункт 4. Приравнять каждый множитель к нулю, учитывая допустимые значения другого выражения (выражений), решить уравнения (системы);
Пример. Решить уравнение: 2х3 – 3х2 – 2х + 3 = 0
Применим группировку: х2(2х – 3) – (2х – 3) = 0
(2х – 3)(х2 – 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
2х – 3 = 0 или х2 – 1 = 0
х1 = 3/2 или х2,3 = ( 1
Ответ: 3/2; ( 1
Помни! Сокращать на выражение, содержащее неизвестное, нельзя! Нужно все выражение уравнения разложить на множители.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

6.2 Уравнения, решаемые способом замены.
Уравнения, содержащие несколько одинаковых выражений с неизвестным или путем алгебраических преобразований приводимые к этому виду целесообразно решать способом замены переменной.
6.2.1 Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Уравнение вида ax4+ bx2 + c = 0 называется биквадратным. Решается путем замены х2 на другое неизвестное.
Помни! При любой замене, необходимо задать ограничения на новую переменную, если они имеются. См. пример: t ( 0, т. к. х2 ( 0
Пример. 4х4 – 5х2 + 1 = 0. х2 = t, t ( 0,
4t2 – 5t + 1 = 0
t1 = 1; t2 = ј
х2 = 1 или х2 = ј
х1,2 = ( 1 х3,4 = ( Ѕ
Уравнение вида ax2n+ bxn + c = 0 сводятся к квадратным путем замены xn на t, при этом, если n четное, t ( 0, т. к. четная степень при любом основании неотрицательна. Поэтому t < 0 , отрицательные t будут посторонними корнями.
Пример. х8 – 7х4 – 18 = 0. х4 = t, t ( 0,
t2 – 7t – 18 = 0
t1 = 9; t2 = - 2 – посторонний корень.
х2 = 9
х1,2 = ( 3.
Уравнение вида af2n(x)+ bfn(x) + c = 0 также сводятся к квадратным путем замены fn(x) на t, c учетом области определения (ограничений). f(x) – любое выражение, содержащее неизвестное.
Пример: (х – 1)4 – 5(х – 1)2 + 6 = 0, f(x) = (x – 1). ( x – 1)2 = t, t
· 0
t2 – 5t + 6 = 0, t = 2; t = 3,
(x – 1)2 = 2 или ( х – 1)2 = 3
х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Уравнение, сводящиеся к квадратным, должно содержать неизвестное или выражения с ним так, чтобы степени у них разнились в два раза.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
Уравнения с очевидной заменой.
Пункт 1. Заменить выражение или часть его на одну переменную. Нанести ограничения при наличии;
Пункт 2. Выразить другие выражения;
Пункт 3. Подставить в уравнение. Решить уравнение относительно новой переменной, исключить посторонние корни;
Пункт 4. Приравнять полученные значения к замененному выражению, решить соответствующее уравнение.
Пример.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Перенесем х2 вправо. Замена очевидна.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Пункт 1. х2 – 4х + 1 = t, t
· 0
Пункт 2. х2 – 4х + 3 = t + 2.
Пункт 3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 t2 + 2t – 3 = 0, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пункт 4. х2 –4х + 1 = - 3 или х2 –4х + 1 = 1,
х2 –4х + 4 = 0 х2 – 4х = 0
(х – 2)2 = 0 х(х – 4) = 0
х = 2 х = 0 или х = 4 найденные х являются решением
Ответ: 0; 2; 4.


HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
6.2.2 Способ замены. Неочевидная замена.
Уравнения, содержащие члены с одинаковыми выражениями по неизвестному, решаются путем замены этого выражения на новое неизвестное с наложением ограничений, исходя из данного уравнения. Однако в некоторых уравнениях замена не видна. К очевидной замене могут привести равносильные алгебраические преобразования.
Уравнения в целом виде, содержащее скобки и свободный член, отличный от нуля.
Пример1 . (х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1) = 24.
Умножим по две скобки так, чтобы часть ах2 + bx была бы одинаковой:
(х – 4)(х – 1) = х2- 5х +4,
(х – 3)(х – 2) = х2- 5х +6,
(х2- 5х +4)( х2- 5х +6) = 24, х2- 5х +4 = t , х2- 5х +6 = t + 2,
t(t + 2) = 24,
t2+ 2t –24 = 0, t = - 6; t = 4;
х2- 5х +4 = - 6 или х2- 5х +4 = 4,
х2- 5х + 10 = 0 х2- 5х = 0,
Решений нет. х = 0; х = 5.
Ответ: 0, 5.

Уравнения, содержащие дроби со знаменателем вида ах2 ± с

Пример 2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Анализ уравнения приводит к следующему: в знаменателе одинаковая часть х2 + 10. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х. При этом по основному свойству дроби значение ее не изменится. Заметим , что х
· 0.
Получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Теперь можно сделать замену:
Пусть х + 10/х + 3 = t ,t
·0, тогда х + 10/х + 2 = t – 1, t
· 1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
t 2- t - 20 = 0,
t 1= - 4 или t 2 = 5
х + 10/х + 3 = -4 или х + 10/х + 3 = 5
х2+ 7х + 10 = 0 х2 - 2х + 10 = 0
х1= - 5, х 2 = -2 решений нет.
Ответ:-5, -2.

Пример 3.
(х + 6)(х + 3)(х - 1)(х - 2)= 12х2
Анализ:
Решение уравнения путем раскрытия скобок громоздко.
Перемножить по две скобки так, чтобы выражения х2 ± bx были бы одинаковым нельзя. Попробуем умножить по две скобки так, чтобы выражения х2 ± с были бы одинаковым. Такие скобки есть.
(х + 6)(х - 1)(х + 3)(х - 2)= 12х2.
(х2 + 5х -6)(х2 + х -6) = 12х2
Применим прием предыдущего примера. Разделим обе части уравнения на х2
х2
· 0, так как в противном случае уравнение решений иметь не будет.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
(х + 5 – 6/х)(х + 1 – 6/х) = 12
Теперь сделаем замену.
Пусть х + 5 – 6/х = t , тогда х + 1 – 6/х = t - 4
t (t – 4) = 12.
t 2- 4 t – 12 = 0
t 1 = -2, t 2 = 6
х + 5 – 6/х =-2 или х + 5 – 6/х = 6
х2 + 7х – 6 = 0 х2 -х – 6 = 0

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х = -2, х = 3.
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, - 2, 3
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15


Уравнения, содержащее более двух дробей. Выделение целой части
Пример1.

Приведение уравнения к целому виду приводит к громоздким преобразованиям и уравнению степени.
Приведем по две дроби к общему знаменателю, так, чтобы числитель оказался одинаковый.
xЄ R, х
·-6, х
· 1, х
·2, х
· 3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Помним! На выражение , содержащее неизвестное сокращать нельзя.
Теперь можно вынести 5х+12 за скобки:
(5х+12)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5х+12=0 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = -12/5 2х2 + 12 =0
х= - 2,4 Решений нет


HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

Пример 2.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
xЄ R, х
· 1, х
· 3, х
·4, х
· 5.

В уравнениях такого вида целесообразно выделить целую часть, для чего числитель надо разделить на знаменатель.
х + 1 х -1
х - 1 1

2

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Аналогично: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Получим:




1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Анализ: подберем по две дроби так, чтобы в числителях оказались либо одинаковые множители, либо общий множитель, который можно вынести.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Перенесем и вынесем х за скобку:
х(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 0 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2х2 – 18х + 20 – х2 + 4х – 3 = 0,
х2 – 14х + 17 = 0,
х1,2 = 7 ±HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х1,2 = 7 ± 4HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: 0; 7 ± 4HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15




Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Анализ. Уравнение содержит сумму квадратов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и сумму их оснований HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Запомни! При наличии суммы квадратов – сумму (разность) оснований возводи в квадрат!
Уравнение решается путем замены HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и выражения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 через замененную переменную, для чего HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15возвести в квадрат.

Пример1. (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) + 5(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) -4 =0
х
· 0.
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t , тогда
(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)2 = х2 + 2 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, найдем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)2 – 2

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= t 2 – 2
t 2 – 2 + 5 t – 4 = 0, t 2 + 5 t – 6 = 0, t 1 = -6, t 2 = 1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= -6 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1
х2 + 6х + 1 = 0 х2 - х + 1 = 0
х1,2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 решений нет.
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример 2. х4 + 3х3 – 2х2 + 3х + 1 = 0
Уравнение симметрическое по коэффициентам относительно 2х2 (1, 3)
Разделим почленно на х2
· 0
х 2 + 3х – 2 + 3/х + 1/х2 = 0,
х 2 + 1/х2 + 3х + 3/х - 2 = 0,
х 2 + 1/х2 + 3(х + 1/х) - 2 = 0,
х + 1/х= t , х 2 + 1/х2= t 2 – 2, получим:
t 2 + 3 t – 4 = 0
t 1 = - 4, t 2 = 1
х + 1/х= - 4 или х + 1/х= 1
х2 + 4х + 1 = 0 х2 – х + 1 = 0
х1,2 = - 2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 решений нет.
Ответ: х1,2 = - 2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
6.3 Однородные уравнения.
Однородные уравнения – это уравнения, содержащие два вида выражений с неизвестным, имеющим следующие элементы:
Два выражения;
Степень всех слагаемых одинаковая;
Свободный член равен нулю.
Решаются путем почленного деления на одно из выражений в большей степени и дальнейшей замены дроби в меньшей степени.
В общем виде однородные уравнения можно представить так:
k f2(x) ± m f(x)g(x) ± l g2(x) = 0
Пример1. (х +5)4 – 13х2(х + 5)2 +36х4 = 0.
(х +5)2 – первое выражение; х2 – второе выражение;
Степень одинаковая (вторая)
Свободный член равен 0.
Разделим почленно на х4, неравный нулю:
(х +5)4 – 13х2(х + 5)2 +36х4 = 0.(( х4 ( 0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15При замене получим: t2 – 13t + 36 = 0, t1 = 9, t2 = 4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 илиHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = - 5/4 х = 5/2 х = - 5/3 х = 5. HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

Пример2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

1. Выражений два: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2. Степень одинаковая: вторая;
3. Свободный член равен нулю.
Для удобства сделаем замену:
t = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, d = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

t2 – 6td + 5d2 = 0 Разделим на d 2
· 0

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
t/d = 1, t/d =5

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х2 + 3х + 2 = х2 - 3х + 2, х2 + 3х + 2 = 5х2 – 15х +10
х = 0. 4х2 – 18х + 8 = 0
х1 = Ѕ, х2 = 4
Ответ: 0, Ѕ , 4

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

6.4 Уравнения, решаемые с использованием свойств функции

6.4.1 Использование множеств значений функции. Метод оценок.

Если наибольшее значение одной функции равно наименьшему значению другой функции и достигаются они при одних и тех же значениях аргумента, то, очевидно, что графики этих функций будут касаться в этих точках. Если f(x) = g(x) и max f(a) = min g(a) на определенном промежутке, то х = а является корнем уравнения.











Рисунок наглядно показывает, что х = а является корнем уравнения f(x) = g(x).
Если E(f) = [t; b], а E(g) = [c; t], пересечение множеств значений равно t и достигается оно для обеих функций при х = а , то х = а единственный корень уравнения f(x) = g(x).

Пример.
(х2 – 2х + 3)2 = - 4х2+ 4х
Анализ. Решение уравнения путем раскрытия скобок нерационально.
Заметим, что имеем в уравнении две функции: f(x) = (х2 – 2х + 2)2 и g(x) =- 4х2+ 4х .
Найдем множество значений функции f(x), для чего выделим полный квадрат в квадратном трехчлене.
f(x) = ((х2 – 2х + 1) – 1 + 3)2 , f(x) = ((х – 1)2 + 2)2
Очевидно, что наименьшее значение функции достигается при х = 1 и равно 4.
Е (f)=[4;
·)
Тоже выполним и для функции g(x).
- 4х2+ 4х = - (4х2- 8х+ 4 – 4 ) = -((2х -2)2 – 4) = -(2х -2)2 + 4 .
Очевидно, что наибольшее значение функции достигается при х = 1 и равно 4.
Е(g) = ( -
·;4]
Так как пересечение множеств значений функций равно 4, то единственный корень х = 1




f(x)


4

1
g(x)


Ответ: 1.



6.4 Общий алгоритм решения уравнений.

Пункт 1. При отсутствии уравнения, решаемого стандартно рассмотреть возможность замены, при наличии провести замену переменной, найти и наложить соответствующие ограничения;
Пункт 2. Решить соответственно полученному виду;
Пункт 3. При отсутствии пункта 1 рассмотреть возможность разложения на множители;
Пункт 4. Решить соответственно полученному виду.

HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

Уравнения с модулем.
7.1 Уравнение вида (f(x) ( = b, где b – любое действительное число больше или равное нулю, равносильно* совокупности** уравнений:
f(x) = b или f(x) = - b.
При b ( 0 решений нет, т. к модуль неотрицательное число или выражение.
Пример: ( 2х + 3( = 4 ( 2х + 3 = - 4 или 2х + 3 = 4
х = - 7/2 х = 1/2.
Можно ввести следующую запись, с использованием знака совокупности (
( 2х + 3( = 4 ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
*Равносильными будут уравнения, системы, неравенства, если решения одного являются решениями другого и наоборот.
**Совокупность – это объединение решений. Знак [. Система – это пересечение решений. Знак {.

7.2 Уравнение вида (f(x) (= g(x) равносильно совокупности систем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Рассматривать случай, когда g(x) < 0 не имеет смысла, т. к. модуль не может быть равен отрицательному числу.
Пример: ( 2х –5 ( = х +7 ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 12 х = - 2/3
Сокращенно запись можно вести так:
( 2х –5 ( = х +7 ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Однако, лучше использовать элемент совокупности «или» и записывать сразу два столбца решения через «или», после чего решать сначала первый столбец, потом второй.

7.3 Уравнения вида (f(x) (= (g(x) ( равносильно совокупности уравнений:
f(x) = g(x) или f(x) = - g(x)
Пример: ( х2 +11х +28( = ( х2 – 14(
х2 +11х +28 = х2 – 14 или х2 +11х +28 = - х2 + 14
11х = - 42 2х2 + 11х + 14 = 0
х = - 42/11 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: - 42/11; - 7/2; - 2

7.4 Уравнения, содержащие модуль (модули) в части выражения, решаются путем раскрытия модуля.

Пример: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х(R, но х( 0, х( - 2,
х2 + 2х = 6 (х(
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 2 х = - 8
Ответ: - 8; 2

Уравнения, содержащие несколько модулей в виде слпгаемых, решаются путем раскрытия модулей методом интервалов.

Пункт 1. Найти нули каждого модуля;
Пункт 2. Расставить их на координатной прямой;
Пункт 3. Определить знак каждого выражения под знаком модуля в соответствующем промежутке, раскрыть модули;
Пункт 4. Для каждого промежутка получить уравнение составить системы для каждого промежутка. Знак равенства берется один раз – лучше в серединном промежутке;
Пункт 5. Решить полученные системы.
Пример 1. ( 2х – 7( + (4 + 3х( = 10

Пункт 1. ( 2х – 7(= 0; x = 3,5. (4 + 3х( = 0; x = - 4/3

Пункт 2. 2х - 7 - - +
4 +3х -- 4/3 + 3,5 +
Пункт 3. x< - 4/3 х = - 2 - (2х – 7) – (4 + 3х) = 10
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 4/3HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER153,5 х = 0 - (2х – 7) + ( 4 + 3х ) = 10
x > 3,5 х = 5 ( 2х – 7) + (4 + 3х) = 10
Пункт 4. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 или HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 или HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
Пункт 5. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
x = - 1,4 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Решений нет.
Ответ: – 1,4; - 1.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15












HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER145HYPER15



у f(x)

а х
------- t х

g(x)



Root EntryEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentСлайд 330
·305,33,Слайд 33

Приложенные файлы

  • doc file3
    Виды и способы решения алгебраических уравнений
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 1