Электронный учебник. Элементарная алгебра. Виды и способы решения алгебраических уравнений

Решение уравнений

Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z 14
13 LINK \l "_Toc108768055" 141. Линейные уравнения. 13 PAGEREF _Toc108768055 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc108768056" 143.1 Неполные квадратные уравнения. 13 PAGEREF _Toc108768056 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc108768058" 143.2. Полные квадратные уравнения. 13 PAGEREF _Toc108768058 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc108768059" 14Алгоритм решения 13 PAGEREF _Toc108768059 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc108768060" 143.3 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета. 13 PAGEREF _Toc108768060 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc108768061" 144. Дробные рациональные уравнения. 13 PAGEREF _Toc108768061 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc108768062" 145. Уравнения в виде пропорции. 13 PAGEREF _Toc108768062 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc108768063" 146. Нестандартные уравнения 13 PAGEREF _Toc108768063 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc108768064" 146.1 Уравнения в виде произведение равно 0 13 PAGEREF _Toc108768064 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc108768065" 146.2 Уравнения, решаемые способом замены. 13 PAGEREF _Toc108768065 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc108768066" 146.2.1 Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным 13 PAGEREF _Toc108768066 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc108768067" 146.2.2 Способ замены. 13 PAGEREF _Toc108768067 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc108768068" 146.3 Однородные уравнения. 13 PAGEREF _Toc108768068 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc108768069" 146.4 Общий алгоритм решения уравнений. 13 PAGEREF _Toc108768069 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc108768070" 147. Уравнения с модулем. 13 PAGEREF _Toc108768070 \h 1471515
15
Линейные уравнения.
kx = b, если k (0. b ( 0, то х = k/b (коэффициент разделить на свободный член).
kx = b, если k = 0, b ( 0, то уравнение решений не имеет.
kx = b, если k = 0. b = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений, х(R.
Пункт 1. Раскрыть скобки, привести подобные;
Пункт 2. Выражения с неизвестными перенести влево, а свободные члены вправо, поменяв при этом знак на противоположный;
Пункт 3. Привести подобные;
Пункт 4. Свободный член разделить на коэффициент при неизвестном.
Решить уравнения.
Пример 1. 9(2х – 18) = - 9х
Пункт 1. 18х – 9(18 = - 9х Пункт 2. 18х + 9х = 9(18 Пункт 3. 27х = 9(18
Пункт 4. 13EMBED Equation.31415 х = 6
Помни! Если свободный член представляет произведение, то не надо перемножать, так как потом возможно сократить дробь.
Пример 2. Пример 3. 12 2(4х – 6) = 8х 6(1,2х –0,5) – 1,3х = 5,9х - 3
8х – 12 = 8х; 7,2х – 3 – 1,3х = 5,9х – 3;
8х – 8х = 12; 5,9х – 5,9х = - 3 + 3;
0х = 12; 0х = 0;
Решений нет. х – любое действительное число.
Помни! Х не исчезает. Коэффициент при х равен нулю

Ключевые слова.
1. Неизвестные в одну сторону (влево), свободные члены в другую (вправо).
2. Свободный член делить на коэффициент при неизвестном.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
Квадратные уравнения.
3.1 Неполные квадратные уравнения.
ax13EMBED Equation.31415+ bx = 0 с = 0
Пункт 1. Раскрыть скобки, привести подобные;
Пункт 2. Перенести все в одну сторону;
Пункт 3. Вынести О.М. за скобку, получив уравнение вида произведение равно нулю;
Пункт 4. Разбить на два уравнения, записав: Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл;
Пункт 5. Решить каждое уравнение.
ax13EMBED Equation.31415+ bx = 0 с = 0
Выполнить пункты 1, 2;
Пункт 3. Вынести О.М. за скобку,
х(ах + b) = o
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
х =0 или ах + b = 0
х13EMBED Equation.31415
ax13EMBED Equation.31415+ с = 0 b = 0
Пункт 1. Перенести свободный член с вправо и разделить на а;
Пункт 2. Найти х, извлекая корень квадратный и беря его со знаками плюс и минус.
ax13EMBED Equation.31415= -с; х2 = 13 EMBED Equation.3 1415; х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример 1. Пример 2.
7х13EMBED Equation.31415- 2х = 0;
Произведение равно нулю, если хотя
бы один из множителей равен нулю, а
другой при этом не теряет смысл. 3 х13EMBED Equation.31415- 27 = 0; 3х2 + 27 = 0
х(7х – 2) = 0; х13EMBED Equation.31415= 3; х2 = - 9
х =0 или 7х – 2 = 0 х13EMBED Equation.31415 = 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 ;
х13EMBED Equation.31415= 0 ; х13EMBED Equation.31415=2/7. 13EMBED Equation.31415= 13EMBED Equation.31415 3.

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
3.2. Полные квадратные уравнения.
ax13EMBED Equation.31415+ bx + c = 0 D =13EMBED Equation.31415 х13EMBED Equation.31415+ px + q = 0 13EMBED Equation.31415
x13EMBED Equation.31415 x13EMBED Equation.31415
ax13EMBED Equation.31415+ 2kx + c = 0 Коэффициент при х – четный. 13EMBED Equation.31415
x13EMBED Equation.31415

Уравнение, имеющее коэффициент при х2 равный единице называется приведенным. х13EMBED Equation.31415+ px + q = 0. Любое уравнение можно сделать приведенным, разделив все его члены на а.

Алгоритм решения

Пункт 1. Раскрыть скобки, привести подобные, перенести все в одну сторону (влево);
Пункт 2. Привести в стандартный вид (привести подобные, расставить в порядке убывания степени, если перед коэффициентом неизвестного второй степени стоит знак минус, то необходимо умножить обе части уравнения на минус единицу, т.е. поменять знаки перед всеми членами уравнения, сократить ;
Пункт 3. Подсчитать дискриминант. Подставить в формулу корней значения a, b, D и найти корни.
Пункт 4. Ответ привести к стандартному виду.

Пример 1. (3х – 1)(х - 2) = х(1 + 6х) – 9х Пример 2. 3х2 – 4х +1 = 0
Пункт 1. 3х13EMBED Equation.31415 - 7х +2 = х + 6х13EMBED Equation.31415- 9х; b = 4
Пункт 2. -3х13EMBED Equation.31415+ х + 2 = 0 (( (((;
3х13EMBED Equation.31415- х - 2= 0;
Пункт 3. 13EMBED Equation.31415= 5 13EMBED Equation.31415= 1
х13EMBED Equation.31415; х13EMBED Equation.31415= -13EMBED Equation.31415; х13EMBED Equation.31415= 1 х13EMBED Equation.31415; х13EMBED Equation.31415= 13EMBED Equation.31415; х13EMBED Equation.31415= 1
Если уравнения имеют такие коэффициенты, что a + b + c = 0, то х1 = 1; х2 = с/а
Если уравнения имеют такие коэффициенты, что a - b + c = 0, то х1 = - 1; х2 = - с/а
Пример. 12х2 – 7х – 5 = 0. 12 – 7 - 5 = 0.
х1 = 1; х2 =5/12

Помни! Не всякое квадратное уравнение имеет решения.
D>0 - два решения. 2х13EMBED Equation.31415+ 5х – 6 = 0 D = 25 + 426>0
D<0 – нет решений. 2х13EMBED Equation.31415+5х + 6 = 0 D = 25 - 426<0
D=0 – одно решение. x13EMBED Equation.31415+ 4x +4 = 0 D = 16 - 44 = 0
Если дискриминант равен нулю, то квадратный трехчлен полный квадрат( квадрат суммы или разности).
Если свободный член «с» отрицательный, то дискриминант больше нуля.
Уравнение вида ах13EMBED Equation.31415+ с = 0 не имеет решений, если свободный член положительный. 3х13EMBED Equation.31415+1 = 0; 3х13EMBED Equation.31415= - 1 не имеет смысла. Если с < 0, то уравнение имеет два корня.

Ключевые слова.
Все перенести в одну сторону. Расставить по местам. Привести в стандартный вид. Коэффициент при х2 должен быть положительный. Найти х
Если уравнение неполное, то либо разложить, либо перенести свободный член вправо, разделить на а и извлечь корень, взяв его с минусом и плюсом.

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

13 LINK \l "_top" 14Начало документа15


3.3 Решение квадратных уравнений по теореме обратной теореме Виета.

Если два числа таковы, что их сумма равна ( р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения x13EMBED Equation.31415+ px + q = 0. х 1 +х 2 = ( р; х 1 (х 2 = q
Решение приведенного квадратного уравнения методом подбора.

Пункт 1. Определить знак дискриминанта, если D > 0, перейти к п. 2;
Пункт 2. Разложить свободный член на пары возможных множителей;
Пункт 3. Выбрать такую пару и подобрать знаки так, чтобы сумма давала коэффициент ( р (с обратным знаком).
Пункт 4. Записать ответ.

Пример. х13EMBED Equation.31415- 3х – 40 = 0; D>0, т.к. свободный член отрицательный.
40 имеет целые множители: 2 и 20, 4 и 10, 5 и 8. Множители 2 и 20, 4 и 10 в сумме ни при какой комбинации знаков не дадут 3, поэтому их можно отбросить. Остается пара 5 и 8. Для выполнения пункта 3, запишем:
5 8 = 3, т.е. равно коэффициенту при неизвестном первой степени, взятому с обратным знаком. Теперь можно расставлять знаки: ( 5 + 8 = 3
Пункт 4. х13EMBED Equation.31415= ( 5; х13EMBED Equation.31415= 8.
Запись решения : х13EMBED Equation.31415- 3х – 40 = 0;
х13EMBED Equation.31415= -5; х13EMBED Equation.31415=8 по теореме обратной теореме Виета.
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

13 LINK \l "_top" 14Начало документа15

4. Дробные рациональные уравнения.

Пункт 1. Разложить знаменатели на множители;
Пункт 2. Найти общий знаменатель (ОЗ);
Пункт 3. Найти значения неизвестного, при котором ОЗ неравен (равен) нулю;
Пункт 4. Записать область определения уравнения;
Пункт 5. Привести уравнение к целому виду, для чего:
а) поставить черточки к каждому члену уравнения;
найти и записать дополнительные множители (доп. множ);
Доп. множ =13EMBED Equation.31415
б) записать результат умножения допмнож на числитель. Запись производить без знаменателя в целом виде;
Пункт 6. Решить полученное уравнение;
Пункт 7. Сравнить полученные корни с областью определения уравнения и исключить посторонние.
Решить уравнения:
Пример1. 13EMBED Equation.31415;
13 LINK \l "РациональныеУравнения" 14Пункт1.15 13EMBED Equation.31415 13 LINK \l "РациональныеУравнения" 14Пункт2.15 ОЗ = (х – 4)(х + 4)
Пункт3. (х – 4)(х + 4) ( 0 При нахождении можно использовать знак равенства ( = )

х (( 4
Пункт4. х л. д.ч. кроме ( 4 (или х
13EMBED Equation.3141513 LINK \l "РациональныеУравнения" 14Пункт5.15 х – 4 -х13EMBED Equation.31415 + х + 20 =8;
13 LINK \l "РациональныеУравнения" 14Пункт6.15 - х13EMBED Equation.31415+ 2х + 8 = 0; х13EMBED Equation.31415- 2х – 8 = 0;
По теореме обратной теореме Виета
х13EMBED Equation.31415= - 2; х13EMBED Equation.31415= 4 посторонний корень.
Ответ: -2.
Рекомендация. При наличии дробных коэффициентов в квадратных уравнениях лучше привести его к целому виду.
Пример2. Пример3.
х13EMBED Equation.31415- 1,6х – 0,36 =0 (( 100 13EMBED Equation.31415 + 2х – 9 = 0 ((3
100х13EMBED Equation.31415- 160х – 36 = 0 х13EMBED Equation.31415+ 6х – 27 = 0;
25х13EMBED Equation.31415- 40х – 9 = 0 По теореме обратной теореме
D = 40 ( 40 + 4(25(9=4(400+ 225)= Виета
4 (625 х13EMBED Equation.31415= - 9; х13EMBED Equation.31415= 3.
x13EMBED Equation.31415=13EMBED Equation.31415; х13EMBED Equation.31415= - 13EMBED Equation.31415;х13EMBED Equation.31415= 13EMBED Equation.31415.
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

Заметим, что не всякое дробное уравнение нужно приводить к целому виду. См ниже.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15

5. Уравнения в виде пропорции.
13EMBED Equation.31415 Основное свойство пропорции: ad = bc
Пункт 1. Найти область определения;
Пункт 2. Перемножить крест на крест;
Пункт 3. Решить соответствующее уравнение.
Пример 1. Пример 2.
13EMBED Equation.31415 х – л.д.ч., х 13EMBED Equation.31415 0 13EMBED Equation.31415;
Пункт 2. 3х=х13EMBED Equation.31415+2; х13EMBED Equation.31415;
Пункт 2. х13EMBED Equation.31415- 3х +2 = 0; 13EMBED Equation.31415 - х13EMBED Equation.31415= - 1;
х13EMBED Equation.31415= 1; х13EMBED Equation.31415=2. х13EMBED Equation.31415= 1; х13EMBED Equation.31415= ( 1.

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

Нестандартные уравнения

Уравнения отличные от линейных, квадратных и приводимых к ним путем простых алгебраических преобразований будем называть нестандартными.

6.1 Уравнения в виде произведение равно 0


( = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
= 0 или = 0
Решается путем разложения всего выражения уравнения на множители.

Пункт 1. Перенести все в одну сторону;
Пункт 2. Разложить на множители;
Пункт 3. Записать фразу;
Пункт 4. Приравнять каждый множитель к нулю, учитывая допустимые значения другого выражения (выражений), решить уравнения (системы);
Пример. Решить уравнение: 2х3 – 3х2 – 2х + 3 = 0
Применим группировку: х2(2х – 3) – (2х – 3) = 0
(2х – 3)(х2 – 1) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
2х – 3 = 0 или х2 – 1 = 0
х1 = 3/2 или х2,3 = ( 1
Ответ: 3/2; ( 1
Помни! Сокращать на выражение, содержащее неизвестное, нельзя! Нужно все выражение уравнения разложить на множители.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

6.2 Уравнения, решаемые способом замены.
Уравнения, содержащие несколько одинаковых выражений с неизвестным или путем алгебраических преобразований приводимые к этому виду целесообразно решать способом замены переменной.
6.2.1 Биквадратные уравнения. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Уравнение вида ax4+ bx2 + c = 0 называется биквадратным. Решается путем замены х2 на другое неизвестное.
Помни! При любой замене, необходимо задать ограничения на новую переменную, если они имеются. См. пример: t ( 0, т. к. х2 ( 0
Пример. 4х4 – 5х2 + 1 = 0. х2 = t, t ( 0,
4t2 – 5t + 1 = 0
t1 = 1; t2 = ј
х2 = 1 или х2 = ј
х1,2 = ( 1 х3,4 = ( Ѕ
Уравнение вида ax2n+ bxn + c = 0 сводятся к квадратным путем замены xn на t, при этом, если n четное, t ( 0, т. к. четная степень при любом основании неотрицательна. Поэтому t < 0 , отрицательные t будут посторонними корнями.
Пример. х8 – 7х4 – 18 = 0. х4 = t, t ( 0,
t2 – 7t – 18 = 0
t1 = 9; t2 = - 2 – посторонний корень.
х2 = 9
х1,2 = ( 3.
Уравнение вида af2n(x)+ bfn(x) + c = 0 также сводятся к квадратным путем замены fn(x) на t, c учетом области определения (ограничений). f(x) – любое выражение, содержащее неизвестное.
Пример: (х – 1)4 – 5(х – 1)2 + 6 = 0, f(x) = (x – 1). ( x – 1)2 = t, t
· 0
t2 – 5t + 6 = 0, t = 2; t = 3,
(x – 1)2 = 2 или ( х – 1)2 = 3
х = 13 EMBED Equation.3 1415 х = 13 EMBED Equation.3 1415

Уравнение, сводящиеся к квадратным, должно содержать неизвестное или выражения с ним так, чтобы степени у них разнились в два раза.
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
Уравнения с очевидной заменой.
Пункт 1. Заменить выражение или часть его на одну переменную. Нанести ограничения при наличии;
Пункт 2. Выразить другие выражения;
Пункт 3. Подставить в уравнение. Решить уравнение относительно новой переменной, исключить посторонние корни;
Пункт 4. Приравнять полученные значения к замененному выражению, решить соответствующее уравнение.
Пример.
13 EMBED Equation.3 1415 Перенесем х2 вправо. Замена очевидна.
13 EMBED Equation.3 1415 Пункт 1. х2 – 4х + 1 = t, t
· 0
Пункт 2. х2 – 4х + 3 = t + 2.
Пункт 3. 13 EMBED Equation.3 1415 t2 + 2t – 3 = 0, 13 EMBED Equation.3 1415
Пункт 4. х2 –4х + 1 = - 3 или х2 –4х + 1 = 1,
х2 –4х + 4 = 0 х2 – 4х = 0
(х – 2)2 = 0 х(х – 4) = 0
х = 2 х = 0 или х = 4 найденные х являются решением
Ответ: 0; 2; 4.


13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
6.2.2 Способ замены. Неочевидная замена.
Уравнения, содержащие члены с одинаковыми выражениями по неизвестному, решаются путем замены этого выражения на новое неизвестное с наложением ограничений, исходя из данного уравнения. Однако в некоторых уравнениях замена не видна. К очевидной замене могут привести равносильные алгебраические преобразования.
Уравнения в целом виде, содержащее скобки и свободный член, отличный от нуля.
Пример1 . (х – 4)(х – 3)(х – 2)(х – 1) = 24.
Умножим по две скобки так, чтобы часть ах2 + bx была бы одинаковой:
(х – 4)(х – 1) = х2- 5х +4,
(х – 3)(х – 2) = х2- 5х +6,
(х2- 5х +4)( х2- 5х +6) = 24, х2- 5х +4 = t , х2- 5х +6 = t + 2,
t(t + 2) = 24,
t2+ 2t –24 = 0, t = - 6; t = 4;
х2- 5х +4 = - 6 или х2- 5х +4 = 4,
х2- 5х + 10 = 0 х2- 5х = 0,
Решений нет. х = 0; х = 5.
Ответ: 0, 5.

Уравнения, содержащие дроби со знаменателем вида ах2 ± с

Пример 2.
13 EMBED Equation.3 1415
Анализ уравнения приводит к следующему: в знаменателе одинаковая часть х2 + 10. Разделим числитель и знаменатель каждой дроби на х. При этом по основному свойству дроби значение ее не изменится. Заметим , что х
· 0.
Получим:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Теперь можно сделать замену:
Пусть х + 10/х + 3 = t ,t
·0, тогда х + 10/х + 2 = t – 1, t
· 1
13 EMBED Equation.3 1415
t 2- t - 20 = 0,
t 1= - 4 или t 2 = 5
х + 10/х + 3 = -4 или х + 10/х + 3 = 5
х2+ 7х + 10 = 0 х2 - 2х + 10 = 0
х1= - 5, х 2 = -2 решений нет.
Ответ:-5, -2.

Пример 3.
(х + 6)(х + 3)(х - 1)(х - 2)= 12х2
Анализ:
Решение уравнения путем раскрытия скобок громоздко.
Перемножить по две скобки так, чтобы выражения х2 ± bx были бы одинаковым нельзя. Попробуем умножить по две скобки так, чтобы выражения х2 ± с были бы одинаковым. Такие скобки есть.
(х + 6)(х - 1)(х + 3)(х - 2)= 12х2.
(х2 + 5х -6)(х2 + х -6) = 12х2
Применим прием предыдущего примера. Разделим обе части уравнения на х2
х2
· 0, так как в противном случае уравнение решений иметь не будет.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(х + 5 – 6/х)(х + 1 – 6/х) = 12
Теперь сделаем замену.
Пусть х + 5 – 6/х = t , тогда х + 1 – 6/х = t - 4
t (t – 4) = 12.
t 2- 4 t – 12 = 0
t 1 = -2, t 2 = 6
х + 5 – 6/х =-2 или х + 5 – 6/х = 6
х2 + 7х – 6 = 0 х2 -х – 6 = 0

13 EMBED Equation.3 1415 х = -2, х = 3.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, - 2, 3
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415


Уравнения, содержащее более двух дробей. Выделение целой части
Пример1.

Приведение уравнения к целому виду приводит к громоздким преобразованиям и уравнению степени.
Приведем по две дроби к общему знаменателю, так, чтобы числитель оказался одинаковый.
xЄ R, х
·-6, х
· 1, х
·2, х
· 3
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Помним! На выражение , содержащее неизвестное сокращать нельзя.
Теперь можно вынести 5х+12 за скобки:
(5х+12)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
5х+12=0 или 13 EMBED Equation.3 1415
х = -12/5 2х2 + 12 =0
х= - 2,4 Решений нет


13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

Пример 2.13 EMBED Equation.3 1415
xЄ R, х
· 1, х
· 3, х
·4, х
· 5.

В уравнениях такого вида целесообразно выделить целую часть, для чего числитель надо разделить на знаменатель.
х + 1 х -1
х - 1 1

2

13 EMBED Equation.3 1415= 1 + 13 EMBED Equation.3 1415

Аналогично: 13 EMBED Equation.3 1415= 1 + 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
Получим:




1 + 13 EMBED Equation.3 1415 + 1 + 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415

Анализ: подберем по две дроби так, чтобы в числителях оказались либо одинаковые множители, либо общий множитель, который можно вынести.

13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415- 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Перенесем и вынесем х за скобку:
х(13 EMBED Equation.3 1415
х = 0 или 13 EMBED Equation.3 1415
2х2 – 18х + 20 – х2 + 4х – 3 = 0,
х2 – 14х + 17 = 0,
х1,2 = 7 ±13 EMBED Equation.3 1415
х1,2 = 7 ± 413 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 0; 7 ± 413 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415




Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Анализ. Уравнение содержит сумму квадратов 13 EMBED Equation.3 1415 и сумму их оснований 13 EMBED Equation.3 1415.
Запомни! При наличии суммы квадратов – сумму (разность) оснований возводи в квадрат!
Уравнение решается путем замены 13 EMBED Equation.3 1415 и выражения 13 EMBED Equation.3 1415 через замененную переменную, для чего 13 EMBED Equation.3 1415возвести в квадрат.

Пример1. (13 EMBED Equation.3 1415) + 5(13 EMBED Equation.3 1415) -4 =0
х
· 0.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 = t , тогда
(13 EMBED Equation.3 1415)2 = х2 + 2 + 13 EMBED Equation.3 1415, найдем 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415= (13 EMBED Equation.3 1415)2 – 2

13 EMBED Equation.3 1415= t 2 – 2
t 2 – 2 + 5 t – 4 = 0, t 2 + 5 t – 6 = 0, t 1 = -6, t 2 = 1
13 EMBED Equation.3 1415= -6 или 13 EMBED Equation.3 1415= 1
х2 + 6х + 1 = 0 х2 - х + 1 = 0
х1,2 = 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример 2. х4 + 3х3 – 2х2 + 3х + 1 = 0
Уравнение симметрическое по коэффициентам относительно 2х2 (1, 3)
Разделим почленно на х2
· 0
х 2 + 3х – 2 + 3/х + 1/х2 = 0,
х 2 + 1/х2 + 3х + 3/х - 2 = 0,
х 2 + 1/х2 + 3(х + 1/х) - 2 = 0,
х + 1/х= t , х 2 + 1/х2= t 2 – 2, получим:
t 2 + 3 t – 4 = 0
t 1 = - 4, t 2 = 1
х + 1/х= - 4 или х + 1/х= 1
х2 + 4х + 1 = 0 х2 – х + 1 = 0
х1,2 = - 2 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет.
Ответ: х1,2 = - 2 13 EMBED Equation.3 1415.
13 LINK \l "_top" 14Начало документа15
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
6.3 Однородные уравнения.
Однородные уравнения – это уравнения, содержащие два вида выражений с неизвестным, имеющим следующие элементы:
Два выражения;
Степень всех слагаемых одинаковая;
Свободный член равен нулю.
Решаются путем почленного деления на одно из выражений в большей степени и дальнейшей замены дроби в меньшей степени.
В общем виде однородные уравнения можно представить так:
k f2(x) ± m f(x)g(x) ± l g2(x) = 0
Пример1. (х +5)4 – 13х2(х + 5)2 +36х4 = 0.
(х +5)2 – первое выражение; х2 – второе выражение;
Степень одинаковая (вторая)
Свободный член равен 0.
Разделим почленно на х4, неравный нулю:
(х +5)4 – 13х2(х + 5)2 +36х4 = 0.(( х4 ( 0
13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415При замене получим: t2 – 13t + 36 = 0, t1 = 9, t2 = 4
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
х = - 5/4 х = 5/2 х = - 5/3 х = 5. 13 LINK \l "_top" 14Начало документа15

Пример2. 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

1. Выражений два: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
2. Степень одинаковая: вторая;
3. Свободный член равен нулю.
Для удобства сделаем замену:
t = 13 EMBED Equation.3 1415, d = 13 EMBED Equation.3 1415

t2 – 6td + 5d2 = 0 Разделим на d 2
· 0

13 EMBED Equation.3 1415
t/d = 1, t/d =5

13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
х2 + 3х + 2 = х2 - 3х + 2, х2 + 3х + 2 = 5х2 – 15х +10
х = 0. 4х2 – 18х + 8 = 0
х1 = Ѕ, х2 = 4
Ответ: 0, Ѕ , 4

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

6.4 Уравнения, решаемые с использованием свойств функции

6.4.1 Использование множеств значений функции. Метод оценок.

Если наибольшее значение одной функции равно наименьшему значению другой функции и достигаются они при одних и тех же значениях аргумента, то, очевидно, что графики этих функций будут касаться в этих точках. Если f(x) = g(x) и max f(a) = min g(a) на определенном промежутке, то х = а является корнем уравнения.











Рисунок наглядно показывает, что х = а является корнем уравнения f(x) = g(x).
Если E(f) = [t; b], а E(g) = [c; t], пересечение множеств значений равно t и достигается оно для обеих функций при х = а , то х = а единственный корень уравнения f(x) = g(x).

Пример.
(х2 – 2х + 3)2 = - 4х2+ 4х
Анализ. Решение уравнения путем раскрытия скобок нерационально.
Заметим, что имеем в уравнении две функции: f(x) = (х2 – 2х + 2)2 и g(x) =- 4х2+ 4х .
Найдем множество значений функции f(x), для чего выделим полный квадрат в квадратном трехчлене.
f(x) = ((х2 – 2х + 1) – 1 + 3)2 , f(x) = ((х – 1)2 + 2)2
Очевидно, что наименьшее значение функции достигается при х = 1 и равно 4.
Е (f)=[4;
·)
Тоже выполним и для функции g(x).
- 4х2+ 4х = - (4х2- 8х+ 4 – 4 ) = -((2х -2)2 – 4) = -(2х -2)2 + 4 .
Очевидно, что наибольшее значение функции достигается при х = 1 и равно 4.
Е(g) = ( -
·;4]
Так как пересечение множеств значений функций равно 4, то единственный корень х = 1




f(x)


4

1
g(x)


Ответ: 1.



6.4 Общий алгоритм решения уравнений.

Пункт 1. При отсутствии уравнения, решаемого стандартно рассмотреть возможность замены, при наличии провести замену переменной, найти и наложить соответствующие ограничения;
Пункт 2. Решить соответственно полученному виду;
Пункт 3. При отсутствии пункта 1 рассмотреть возможность разложения на множители;
Пункт 4. Решить соответственно полученному виду.

13 LINK \l "_top" 14Начало документа15

Уравнения с модулем.
7.1 Уравнение вида (f(x) ( = b, где b – любое действительное число больше или равное нулю, равносильно* совокупности** уравнений:
f(x) = b или f(x) = - b.
При b ( 0 решений нет, т. к модуль неотрицательное число или выражение.
Пример: ( 2х + 3( = 4 ( 2х + 3 = - 4 или 2х + 3 = 4
х = - 7/2 х = 1/2.
Можно ввести следующую запись, с использованием знака совокупности (
( 2х + 3( = 4 ( 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415
*Равносильными будут уравнения, системы, неравенства, если решения одного являются решениями другого и наоборот.
**Совокупность – это объединение решений. Знак [. Система – это пересечение решений. Знак {.

7.2 Уравнение вида (f(x) (= g(x) равносильно совокупности систем:
13 EMBED Equation.3 1415
Рассматривать случай, когда g(x) < 0 не имеет смысла, т. к. модуль не может быть равен отрицательному числу.
Пример: ( 2х –5 ( = х +7 ( 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х = 12 х = - 2/3
Сокращенно запись можно вести так:
( 2х –5 ( = х +7 ( 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415( 13 EMBED Equation.3 1415
Однако, лучше использовать элемент совокупности «или» и записывать сразу два столбца решения через «или», после чего решать сначала первый столбец, потом второй.

7.3 Уравнения вида (f(x) (= (g(x) ( равносильно совокупности уравнений:
f(x) = g(x) или f(x) = - g(x)
Пример: ( х2 +11х +28( = ( х2 – 14(
х2 +11х +28 = х2 – 14 или х2 +11х +28 = - х2 + 14
11х = - 42 2х2 + 11х + 14 = 0
х = - 42/11 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: - 42/11; - 7/2; - 2

7.4 Уравнения, содержащие модуль (модули) в части выражения, решаются путем раскрытия модуля.

Пример: 13 EMBED Equation.3 1415 х(R, но х( 0, х( - 2,
х2 + 2х = 6 (х(
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
х = 2 х = - 8
Ответ: - 8; 2

Уравнения, содержащие несколько модулей в виде слпгаемых, решаются путем раскрытия модулей методом интервалов.

Пункт 1. Найти нули каждого модуля;
Пункт 2. Расставить их на координатной прямой;
Пункт 3. Определить знак каждого выражения под знаком модуля в соответствующем промежутке, раскрыть модули;
Пункт 4. Для каждого промежутка получить уравнение составить системы для каждого промежутка. Знак равенства берется один раз – лучше в серединном промежутке;
Пункт 5. Решить полученные системы.
Пример 1. ( 2х – 7( + (4 + 3х( = 10

Пункт 1. ( 2х – 7(= 0; x = 3,5. (4 + 3х( = 0; x = - 4/3

Пункт 2. 2х - 7 - - +
4 +3х -- 4/3 + 3,5 +
Пункт 3. x< - 4/3 х = - 2 - (2х – 7) – (4 + 3х) = 10
13EMBED Equation.31415- 4/313EMBED Equation.31415x13EMBED Equation.314153,5 х = 0 - (2х – 7) + ( 4 + 3х ) = 10
x > 3,5 х = 5 ( 2х – 7) + (4 + 3х) = 10
Пункт 4. 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415 или 13EMBED Equation.31415
Пункт 5. 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
x = - 1,4 13EMBED Equation.31415 Решений нет.
Ответ: – 1,4; - 1.
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

13 LINK \l "_top" 14Начало документа15












13PAGE 15


13PAGE 14515



у f(x)

а х
------- t х

g(x)



Root EntryEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentСлайд 330
·305,33,Слайд 33

Приложенные файлы

  • doc file3
    Виды и способы решения алгебраических уравнений
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 4