Электронный учебник. Элементарная алгебра. Решение текстовых задач


Решение текстовых задач с составлением уравнений. Табличный способ.

Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245807" HYPER14Виды задач. HYPER13 PAGEREF _Toc161245807 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245808" HYPER14Общий алгоритм решения задач. HYPER13 PAGEREF _Toc161245808 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245809" HYPER14Общие правила для решения задач. HYPER13 PAGEREF _Toc161245809 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245810" HYPER14Задачи на движение. HYPER13 PAGEREF _Toc161245810 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245813" HYPER14Задачи на движение по реке. HYPER13 PAGEREF _Toc161245813 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245815" HYPER14Задачи на работу. HYPER13 PAGEREF _Toc161245815 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc161245816" HYPER14Задачи на составы, концентрации. HYPER13 PAGEREF _Toc161245816 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER15
Виды задач.
1. Задачи на движение.
S = V ( t; V = S / t; t = S / V, где S – путь, V – скорость, t – время.
2. Задачи на движение по реке.
Vпо течению = Vcобств + Vтечен; Vпротив течен = Vcобств + Vтечен , где Vсобств – скорость в стоячей воде, Vтечен – скорость течения реки.
3. Задачи на работу.
А = П (t; П = А / t; t = А / П , где А – объем работы, П – производительность, т. е. объем работы, выполняемый в единицу времени, t – время.
4. Задачи на стоимость.
С = Ц ( К; Ц = С / К; К = С / Ц , где С – стоимость, Ц – цена, К – количество.
5. Задачи на урожай.
О = У ( S; У = O / S; S = O / У , где О – количество урожая, У – урожайность, т.е. количество урожая с единицы площади, S – площадь.
6. Задачи на грузоподъемность.
О = Г( К; Г = О / К; К = О / Г , где О – количество груза, Г – грузоподъемность, т. е. количество груза в единице используемого средства ( автомобили, вагоны и т. д. ), К – количество используемых средств.
7. Задачи на было, изменилось, стало.
8. Другие задачи, включающие зависимость между тремя величинами, например, количество мест, мест в одном ряду, количество рядов и т. д.
9. Задачи на составы, концентрации и т. д. (смеси, растворы, сплавы и т. д. )

Общий алгоритм решения задач.

Пункт 1. Прочесть задачу. Установить вид задачи, установить величины, входящие в задачу, зависимость между ними.
Пункт 2. Записать величины с единицами измерения в вертикальные колонки по ширине тетрадного листа, оставив с слева 2 – 3 см, устаиовив следующий порядок записи величин:
для задач на движение, движение по реке – скорость, время, путь;
для задач на работу – производительность, время, объем работы;
для задач на стоимость – цена, количество, стоимость;
для задач на урожай – урожайность, площадь, количество урожая;
для других задач , включающих зависимость между тремя величинами, рекомендуется в последней колонке записывать величину, получаемую умножением двух других;
для задач на было, изменилось, стало – было, изменилось, стало;
для задач на составы, концентрации – компоненты, общий состав ( смесь, раствор, сплав; и т. д.) .
Пункт 3. Прочитать задачу второй раз, установить «действующие лица» (первый автомобиль, второй автомобиль; план, факт; первый рабочий, второй рабочий, оба вместе и т. д.) и условия их действия (до встречи, после встречи; первое условие задачи, второе условие задачи; и т. д. Записать слева в оставленном месте вертикально построчно условия действия и «действующие лица», создав таким образом горизонтальные строки.
В задачах на движение по реке устанавливаются построчно следующее:
По течению
Против течения
Стоячая вода
Течение
Пункт 4. Прочитать задачу третий раз и по мере чтения вносить условия задачи в соответствующую графу. Запись условий вести слева, оставляя место для выражений с неизвестным (х). Если величина одного «действующего лица» больше или меньше другого, то на сколько ( во сколько ) больше или меньше и стрелкой указывается кого ( чего ), например: на 2 бол. или в 3 раза мен. .
Если данная величина суммарная для «действующих лиц», то ставится фигурная скобка и записывается величина, например: HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15200 км.
Все данные задачи со словами раньше, позже, быстрее, медленнее, длиннее, задержка и т. д. перевести по смыслу на больше или меньше.
Если в задачах на работу отсутствуют сведения об объеме работы, то его целесообразно принять за единицу, что позволит решать задачу в частях. Этот подход может быть использован и для других видов задач.
Пункт 5. Принять неизвестное за х и записать его в графу соответствующую неизвестной величине.
Пункт 6. В каждой строчке столбца неизвестной величины составить выражения с х по смыслу записанных условий, т. е. «отработать х по вертикали».
Пункт 7. В каждой строчке выполнить действие по смыслу, используя формулу получения определяемой величины, см. «Виды задач», и записать результат в соответствующую графу, т. е. «отработать х по горизонтали». Например: скорость – х, время – 3, то путь равен 3х.
Пункт 8. На основании условия по заполненной в пункте 7 величине составить уравнение.
Пункт 9. Решить уравнение, отобрать корни, соответствующие смыслу задачи.
Пункт 10. Определить при необходимости арифметически другие спрашиваемые в задаче величины.
Краткий алгоритм.
Пункт 1. Определить вид задачи;
Пункт 2. Определить «действующие лица» и условия действия;
Пункт 3. Записать условия задач в соответствующие графы;
Пункт 4. Принять неизвестное за х;
Пункт 5. Отработать х по «вертикали»;
Пункт 6. Отработать каждую горизонтальную строчку;
Пункт 7. Составить уравнение;
Пункт 8. Решить соответствующее уравнение;
Пункт 9. Найти спрашиваемые величины.
Общие правила для решения задач.
1. Единицы измерения привести в соответствие, если время выражено в часах, то минуты необходимо перевести в часы, для чего минуты разделить на 60, сократить.
2. Десятичные дроби, смешанные дроби целесообразно привести в обыкновенную дробь, неправильную дробь, что позволит легко привести уравнение к целому виду.
3. Все условия обозначающие раньше, позже, задержка, медленнее, длиннее, и т. д. перевести по смыслу на больше или меньше.
4. При составлении уравнений если одна величина больше, меньше на, то из большего вычесть меньшее; если одна величина больше, меньше в n раз, то лучше меньшее умножить на n и получить большее


Примеры решения задач.
Задачи на движение.
В задачах на движение целесообразно составить схему движения.

Задача 1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 100 км, одновременно выехали 2 велосипедиста. Первый едет со скоростью на 30 км/ч быстрее, чем второй и приезжает в пункт В на 3 часа раньше. Найти скорость каждого.
Пункт 1. Задача на движение: входящие величины – скорость, время, путь.
Пункт 2. «Действующие лица» - 1 велосипедист, 2 велосипедист.
Создаем таблицу.
V,км/ч t, ч S, км

1 вел.

2вел.


Пункт 3. Читаем задачу еще раз и заносим условия в соответствующие графы.
V,км/ч t, ч S, км

1 вел. на 30 бол на 3 мен. 100

2вел. 100


Пункт 4,5. Пусть скорость первого велосипедиста – х, тогда:
V,км/ч t, ч S, км

1 вел. х на 30 бол на 3 мен. 100

2вел. х – 30 100


Пункт 6. Рассматриваем первую строку, читаем: скорость – х, путь – 100, найдем время – S/V = 100/x и заносим в таблицу. Тоже выполняем во второй строке.


V,км/ч t, ч S, км

1 вел. х на 30 бол 100 / х на 3 мен. 100

2вел. х – 30 100 / х - 30 100

Пункт 7. Смотрим только на столбец времени.
Так как по условию задачи время в пути первого велосипедиста на три часа меньше, чем второго, составим уравнение:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15

Если в задаче величина одного «действующего лица» больше или меньше другого, то целесообразно из большего вычесть меньшее (HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15). Для исключения ошибок при установлении большего, проверьте себя дважды.
Пункт 9. Решение уравнения.
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
О.З.= ( х – 30 ) х
Х – л. д. ч., но х ( 0, х ( 30
100х – 100х + 3000 = 3х2 – 90х,
3х2 – 90х – 3000 = 0,
х2 –30х – 1000 = 0, х 1 =50; х 2 = - 20
х = - 20 не имеет смысла по условию задачи.
Пункт 10. Найдем скорости каждого: 50 км/ч – скорость первого мотоциклиста;
50 – 30 = 20 (км/ч) – скорость второго мотоциклиста.
Ответ. 50 км/ч; 20 км/ч.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15


Задача 2. Автомобиль ехал по проселочной дороге и задержался на 6 мин. От предполагаемого времени. Чтобы ликвидировать опоздание, скорость была увеличена на 4 км/ч. Опоздание было ликвидировано на перегоне в 36 км. Найдите первоначальную скорость автомобиля.

В данной задаче условия действия будут: без задержки и с задержкой.
Таблица будет следующей:
V, км/ч t, ч S,км
Без задержки х 36/х 36

С задержкой х + 4 на 4 бол. 36/х + 4 на 1/10 мен. 36

Задача 3. Из пункта А в пункт В навстречу друг другу выезжают одновременно и с одинаковыми скоростями два автомобиля и встречаются через 5 ч 30 мин после выезда в пункте С. Если бы скорость одного автомобиля была бы на 10 км/ч больше, то они встретились бы в пункте, отстоящем от пункта С на 25 км . Найдите скорость автомобилей.

Составим схему движения, учитывая, что при одинаковых скоростях путь будет равный.
А С С1 В
АС = СВ; СС 1 = 25 км
Учитывая, что «действующие лица» будут 1 автомобиль и 2 автомобиль и два условия действия, а так же при одновременном выезде и встрече время одинаковое, таблица будет выглядеть следующим образом:



V, км/ч t, ч S,км
1 условие
1 автом. х 11/2 11х / 2
равное равный
2 автом. х 11/2 11х / 2

2 условие
1 автом. х + 10 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15равное 11х / 2 + 25
2 автом. х на 10 мен HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 11х / 2 - 25
Так как время в пути обоих автомобилей равное составим уравнение:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; х – л. д. ч., х ((( х (((( HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
11х2 + 50х = 11х2 – 50х + 110х – 500; 10х = 500; х = 50
Ответ. 50 км / ч.



Задачи на движение по реке.

Пароход прошел 4 км против течения и затем еще 33 км по течению, затратив на весь путь 1 час. Найдите скорость парохода в стоячей воде, если скорость течения реки равна 6,5 км/ч.



V, км/ч t, ч S,км

По теч. х + 6,5 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 33 Против теч. х – 6,5 4
Стояч. Вода х
Течение 6,5
Так как время, затраченное на путь по течению и против течения равно одному часу, составим уравнение:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15; х – л. д. ч., но х ( ( 6,5
33х –33 · 6,5 + 4х +4 · 6,5 = х2 – 6,52;
х2 – 37х + 6,5 (29 – 6,5) = 0;
D = 1369 – 4· 6,5 ·22,5 = 784
X1 = 4,5; x2 = 32,5; x = 4,5 не имеет смысла по условию задачи, т. к. Vпротив теч. =4,5 – 6,5 < 0.
Ответ. 32,5 км/ч.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
Задачи на работу.

Общие правила решения задач на работу:
1. При отсутствии объема работы, объем следует принять за единицу.
2. При совместной работе производительности складываются.

Задача. Две бригады, работая совместно закончили посадку деревьев за 4 дня. Сколько дней потребовалось каждой бригаде в отдельности, если одна из них может выполнить работу на 15 дней быстрее, чем другая?
Т. к. объем работы неизвестен примем его за единицу и будем решать задачу в частях.
«Действующие лица» будут: 1 бригада; 2 бригада; обе бригады вместе.
После заполнения условий таблица выглядит следующим образом:



Производительность Время Работа

1 бриг. 1

2 бриг. На 15 мен. 1

Вместе 4 1
Пусть время первой бригады – х, тогда, отрабатывая х по вертикали, получаем, время второй бригады – х – 15. Отрабатываем каждую горизонтальную строчку и получаем:
Производительность Время Работа

1 бриг. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 х 1

2 бриг. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 х - 15 На 15 мен. 1

Вместе HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 4 4( HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15) 1

Для заполнения первой строки читаем и получаем: работа – 1; время – х; производительность равна работа, деленная на время - HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 . Вторая строка заполняется аналогично. Для третьей строки суммируем производительность, т. к. работа совместная и читаем: производительность - HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 ; время – 4, работа равна 4( HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15)
Так как объем работы принят за единицу, составим уравнение:
4( HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15) = 1; х – л. д. ч., но х (((х ((((
4х – 60 + 4х = х2 – 15х; х2 – 23х + 60 =0
х 1= 3; х 2 = 20; по теореме обратной теореме Виета.
х = 3 не имеет смысла по условию задачи, т. к. время второй бригады
3 – 15 < 0.
20 – 15 = 5 (дн ) - время второй бригады
Ответ. 20 дн; 5 дн.
По такому же принципу решаются задачи на бассейны, используя понятия производительность, время, объем.
Задача. Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 часов. Первая труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 часов быстрее, чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?
Принимая объем бассейна за единицу, а время наполнения бассейна второй трубой за х, будем иметь следующую таблицу:
Производительность Время Объем
1труба HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 х на 18 м ен. 1

2 труба HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 х + 18 1

Вместе HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 12 1
Уравнение можно составить, учитывая, что совместная производительность равна HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 .
Так как совместная производительность равна HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 составим уравнение:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

Задачи на составы, концентрации.

В этих видах задач необходимо знать и уметь следующее:
1. Процент – это сотая часть от числа.
2. Нахождение процента от числа и числа по его проценту целесообразно находить, используя свойства пропорции, для чего определить, что принимается за 100% и составить схему решения, при этом следует строго подписывать величины под величинами, а проценты под процентами, например: найти сколько процентов составляет 30 от 120.
120- это 100%, поэтому схема будет выглядеть следующим образом:
120 ------------- 100%
30 ------------- х.
Решаем крест на крест: произведение на линии без х идет в числитель, а линия с х идет в знаменатель.
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 = 25%.
Найти чему равно 30% от 120. Составим схему: 120 ------------- 100%
х -------------- 30%.
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15.
Так как процент – сотая часть от числа, то 30% - это 0,3 от 120 и может быть найдена умножением: 120 ( 0,3 = 36.
3. Если р% содержится в х, то этого вещества будет р/100 х. Например, 5% соли содержится в х г раствора, то этой соли будет 0,05 х г.
4. Концентрация – это количество вещества, содержащееся в единице объема, выраженное в процентах. Например, 20 процентный раствор соли – это значит в 100 г раствора содержится 20% соли, т. е. 20 г, а в х растворе содержится 0,2 х г.
5. В вертикальные колонки записываются сначала компоненты, а затем общий состав ( для растворов компонентами являются вещество и вода ). Например: кислота; вода; раствор; или медь; цинк; сплав.

Задача 1. Морская вода содержит 8% ( по весу) соли. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы содержание соли в ней составило 5% ?
Вертикальные колонки: соль; вода (без соли); морская вода ( вода с солью).
В задачах такого типа целесообразно установить, что остается неизменным. В данной задаче не изменяется количество соли, процентный состав изменяется за счет добавления воды. «Действующие лица» будут: было; изменилось; стало.
Соль Вода Морская вода
Было 30 ( 0,08 8% 30
Изменилось + х
Стало 2,4 5% 30 + х
Составим пропорцию: 30 + х ------------------100%
2,4 -------------------- 5%.
Перемножая крест на крест получим (30 + х) (5 = 2,4 ( 100; х = 18
Ответ. 18кг.
Задачу можно решить без таблицы. Так как в 30 кг морской воды содержится 8% соли, то ее будет 30( 0,08 = 2,4 кг.
2,4 – это 5%, найдем сколько будет составлять 100%.
2,4 ----------------- 5%
х ------------------ 100%. HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 ; х = 48
48 – 30 = 18 (кг).

Задача 2. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие – 20%. Сколько надо собрать свежих грибов, чтобы получить из них 4,5 кг сухих грибов?

Неизменным будут обезвоженные грибы. Вертикальные колонки будут: обезвож. грибы; вода; грибы с водой. «Действующие лица» – грибы свеж.; грибы сухие.
Таблица с внесенными условиями выглядит следующим образом:
Обезвож. грибы Вода Грибы с водой
Свеж. Грибы 90%
Сухие грибы 20% 4,5кг
Решение: определить неизменную часть в единицах и процентах. Так как в задаче в 4,5 кг сухих грибов содержится 80% обезвоженных, то обезвоженных будет: 4,5 0,8 = 3,6кг
Обезвож. грибы Вода Грибы с водой
Свеж. Грибы 3,6кг 10% 90% х
Сухие грибы 4,5( 0,8=3,6кг 80% 20% 4,5кг
Решаем по первой строке: 3,6 --------------- 10%
х ---------------- 100%
х = HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
Ответ. 36кг.

Задача 3. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т стали с содержанием в 30%?
Вертикальные столбцы будут – никель; сталь. «действующие лица» – один сорт; другой сорт; новый сорт.






Никель Сталь
Один сорт 5%
Другой сорт 40%
Новый сорт 30% 140т

Приняв за х количество тонн стали одного сорта и за у количество тонн другого сорта, учитывая, что 5% - это 0,05 от числа, а 40% - это 0,4 от числа, будем иметь следующую таблицу:
Никель Сталь
Один сорт 0,05х 5% х
Другой сорт 0,4у 40% у
Новый сорт 0,05х + 0,4у 30% х + у 140т
Так как стали нового сорта 140т и никеля в ней содержится 140 ( 0,3 = 42т Будем иметь систему уравнений: HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
Вычитая из второго уравнения первое будем иметь:
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 Ответ. !00т и 40т.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc
    Решение текстовых задач
    Размер файла: 683 kB Загрузок: 0