Электронный учебник. Элементарная алгебра. Решение неравенств


Решение неравенств

Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012261" HYPER141. Линейные неравенства. Неравенства, сводящиеся к линейным. HYPER13 PAGEREF _Toc109012261 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012262" HYPER142. Квадратные неравенства. HYPER13 PAGEREF _Toc109012262 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012263" HYPER142.1. D > 0. HYPER13 PAGEREF _Toc109012263 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012264" HYPER142.2 D = 0, D < 0. HYPER13 PAGEREF _Toc109012264 \h HYPER143HYPER15HYPER15
3. HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012265" HYPER14Системы неравенств. HYPER13 PAGEREF _Toc109012265 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012266" HYPER143.1 Системы линейных неравенств HYPER13 PAGEREF _Toc109012266 \h HYPER143HYPER15HYPER15
3.2 HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012267" HYPER14Решение систем смешанных неравенств. HYPER13 PAGEREF _Toc109012267 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012268" HYPER144. Решение двойных неравенств. HYPER13 PAGEREF _Toc109012268 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012269" HYPER144.1 Решениее двойных линейных неравенств. HYPER13 PAGEREF _Toc109012269 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012270" HYPER144.2 Решение двойных неравенств типа g(x) < f(x) < h(x). HYPER13 PAGEREF _Toc109012270 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012271" HYPER145. Решение неравенств методом интервалов. HYPER13 PAGEREF _Toc109012271 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012272" HYPER14Способ решения неравенств путем составления систем неравенств. HYPER13 PAGEREF _Toc109012272 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012273" HYPER14«Очевидные» неравенства. HYPER13 PAGEREF _Toc109012273 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012274" HYPER146. Неравенства с модулем. HYPER13 PAGEREF _Toc109012274 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012275" HYPER14 Решение неравенств вида: х2 < d; x2 > d. HYPER13 PAGEREF _Toc109012275 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109012276" HYPER147. Раскрытие модулей с использованием метода интервалов. HYPER13 PAGEREF _Toc109012276 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER15

Золотые правила.
1. Неравенства, содержащие неизвестное в знаменателе не приводить к целому виду. Привести к общему знаменателю.
2. Не сокращать на выражение, содержащее неизвестное. Разложить на множители.

1. Линейные неравенства. Неравенства, сводящиеся к линейным.

Неравенства вида kx >b; kx < b называются линейными
Пункт 1. Привести неравенство к виду kх >b или kx < b для чего: раскрыть скобки (при наличии), привести подобные,
Пункт 2. перенести неизвестные в одну сторону, свободные члены – в другую с противоположным знаком;
Пункт 3. Разделить свободный член на коэффициент при х, при этом если коэффициент положительный, то знак неравенства не изменять, если отрицательный, то знак неравенства изменить на противоположный;
Записать ответ в виде промежутка. Для облегчения записи можно решение изобразить на координатной прямой.
Решить неравенства.
Пример 1. 4(2 – х) – 5 + х > 11 – x;
Пункт 1. 8 – 4х – 5 + х > 11 – x ;
Пункт 2. - 2x > 8;
Пункт 3. х < - 4; Т.к. – 2<0, то знак неравенства изменился.

– 4o
Ответ: ( -( ; - 4)
Пример 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 1,5HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0 ; х + 3( 0; х (- 3. Ответ: (- 3;(( 2 способ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - 3. – 3 ( Ответ: (- 3;((
Пример 3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2х + 11HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150; хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; Ответ: (((;( 5,5(.
Помни! Если неравенство строгое (<; >), то на координатной прямой ставится o и для промежутка - круглые скобки, если неравенство нестрогое (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ), то на координатной прямой ставитсяHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и для промежутка - скобки квадратные.
Рекомендация. Если неравенство целое выражение с дробными коэффициентами, то его можно привести к целому виду.

Ключевые слова. Неравенства первой степени – неизвестные – в одну сторону, свободные члены – в другую. Свободный член разделить на коэффициент.
Коэффициент положительный – знак неравенства не меняется; коэффициент отрицательный – знак неравенства меняется на противоположный.
Начало
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
2. Квадратные неравенства.

аx2+ bx + c > 0; ax2+ bx + c < 0.
2.1. D > 0.
Пункт 1. Привести неравенство в стандартный вид (раскрыть скобки, перенести все в одну сторону, привести подобные, расположить в порядке убывания степеней);
Пункт 2. Записать функцию;
Пункт 3. Определить знак коэффициента при х2, записать, как направлены ветви параболы;
Пункт 4. Определить нули функции;
Пункт 5. Нанести на координатную прямую нули функции и расставить знаки: если коэффициент при х2 положительный, то знаки идут « +, ( , +»; если отрицательный, то знаки будут « ( , + , (» ;HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пункт 6. Отметить промежутки, соответствующие данному неравенству, записать решение в виде неравенств, записать ответ.
Решить неравенства:
Пример 1. хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 3х + 2 > 0;
Пункт2.f(х)=хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - 3х + 2 – функция квадратичная, графиком является парабола;
Пункт 3. а=1 > 0 – ветви параболы направлены вверх;
Пункт4. f(х)= 0 ; хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – 3х + 2 = 0 ; хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1; хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2.

Пункт 5. ( ( (
( 1 ( 2 x
х < 1 x > 2
Пункт 6. Ответ: ( - (; 1(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( 2 ; +().
Пример 2. - хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 3х + 4
· 0; f(x)= -xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 3x + 4. Функция квадратичная, графиком является парабола. а = -1 <0, ветви параболы направлены вниз.
f(x)=0;
- xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 3x + 4 = 0 ; xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 3x – 4 = 0; xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= - 4; xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1;


( ( ( - 4
· x
· 1
- 4 1 x

Ответ: [ -4;1].

2.2 D = 0, D < 0.
Вместо пункта 3, 4 построить эскиз параболы и по рисунку определить промежутки, в которых функция принимает нужные значения.
Пример 1. хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2х + 6 > 0; D < 0; a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ответ: (((((((

Пример 2. хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 2х + 1 > 0; D = 0; a = 1 > 0, ветви параболы направлены вверх.

х Ответ: ( -
· ; 1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( 1; +
· ).
(1
Если неравенство нестрогое: х2 – 2х + 1HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0, то х = 1 – точка включенная и ответ будет: ((((((( или R
Пример 3. - хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- 5х – 7 > 0; D < 0; a = - 1 < 0, ветви параболы направлены вниз.

Ответ: решений нет.


Ключевые слова.
1. Перенести все в одну сторону.
2. Нули. Координатная прямая.
3. Ветви, знаки.
Начало



3. Системы неравенств.
Решить систему – значит найти пересечение множеств решений каждого неравенства, т. е. их общую часть.
3.1 Системы линейных неравенств
Пункт 1. Найти решение каждого неравенства; Все действия в каждом неравенстве вести в системе, используя фигурную скобку;
Пункт 2. Найти пересечение множеств решения неравенств либо устно, либо используя координатную прямую;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
ПОМНИ! HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х > a, если а > b; x < a, если a < b;
х > b, если b > a. x < b, если b < a.
х больше большего. х меньше меньшего.
Пример 1. Пример 2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 –
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Решений нет.
Ответ. ( 4; 6 ) Ответ. Решений нет.


Пример 3. Пример 4.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т.к. знаменатели числа, привести к HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
целому виду.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


( ( ( (
0,514 5,1 х 3 5 х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x < 5
0,64 < x ( 5,1 Ответ. [3;5)
Ответ. (0,64; 5,1]

Помни! Сколько в системе неравенств, столько и «крыш» должно быть на промежутке, являющимся решением системы.
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
3.2 Решение систем смешанных неравенств.
Для решения смешанных систем нужно решить каждое неравенство в отдельности и найти пересечение множеств найденных решений.

Пример. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решим неравенство х2 – 10х + 9HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 0. f(x) = х2 – 10х + 9 – функция квадратичная, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, т.к. а=1>0.
х2 – 10х + 9 = 0, х1 =1; х2 = 9 – по теореме обратной теореме Виета.

( ( (
( (
1 9 х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
Найдем пересечение множеств решений неравенств: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

( ( (
1 10/3 9 х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ответ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
4. Решение двойных неравенств.
4.1 Решениее двойных линейных неравенств.
a < f(x) < b, двойное неравенство, где f(x) – линейная функция.
Двойное неравенство можно представить как систему неравенств: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответом будет являться решение данной системы.

Решить данное двойное неравенство можно также по следующему алгоритму:
Пункт 1. Перенести свободные члены в любую часть неравенства с противоположным знаком;
Пункт 2. Разделить обе части неравенства на коэффициент при неизвестном. Если коэффициент положительный, то знаки неравенства не изменяются, если отрицательный, то знаки неравенства меняются на противоположные;
Пункт 3. Ответ привести в стандартный вид.
Пример 1. Пример 2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
4.2 Решение двойных неравенств типа g(x) < f(x) < h(x).
Представить двойное неравенство в виде системы неравенств либо такHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 либо такHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Используется для нелинейных неравенств.
Пример 1. 4х < 3x + 1 < 6 – 2x; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x < 1

Пример 2. 1< x2 - 2 < 7;
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
5. Решение неравенств методом интервалов.

Пункт 1. Преобразовать неравенство к виду: Р(х)>, < 0, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15>,<0
Пункт 2. Разложить на множители (при возможности);
Пункт 3. Записать функцию;
Пункт 4. Найти область определения функции D(f);
Пункт 5. Найти нули функции;
Пункт 6. Нанести полученные точки на координатную прямую с учетом ее включения или не включения ( не включенная точка, включенная точка );
Пункт 7. Определить знак функции в каждом полученном промежутке методом пробной точки, для чего: взять точку в соответствующем промежутке и подставить ее значение в функцию для определения знака;
Пункт 8. Расставить знаки;
Пункт 9. Выбрать промежутки, соответствующие неравенству, записать ответ.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример 1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ;
HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 3.HYPER15 f(x) =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 4.HYPER15 D(f) = R, но х ( (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 5.HYPER15 f(x) = 0
1,5 – x = 0; x = 1,5.( D(f)
HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 6.HYPER15
( (
- 1,5 1,5 х

HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 7.HYPER15 x <- 1,5 f( - 5 ) < 0; - 1,5 < x < 1,5 f( 0 ) > 0; x > 1,5 f( 5 ) < 0



HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 8.HYPER15 ( ( (
( (
- 1,5 1,5 х

HYPER13 HYPERLINK \l "МетодИнтервалов" HYPER14Пункт 9.HYPER15 – 1,5HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Ответ.( - 1,5; 1,5]
Пример 2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
ПОМНИ! К целому виду неравенство, содержащее неизвестное в знаменателе не приводится, надо привести к общему знаменателю.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; D(f) = R, но х ( ( 1
f(x) = 0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; х2 + 3х – 4 = 0, х = - 4, х = 1 ( D(f)
f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
ВНИМАНИЕ! Неравенство на выражение, содержащее неизвестное, сокращать не рекомендуется. Можно после нахождения области определения.

х <-4 , x= 5 f(5) <0; - 4 0; -1 < x < 1, x = 0, f(0) < 0; x > 1, x = 2, f(2) < 0.

( + ( (
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (
· - 4 (
·- 1 (
· 1 x
Ответ. (((((()(((((((((((((

При наличии в неравенстве только линейных множителей и делителей знаки чередуются. Нужно определить знак в правом (левом промежутке) и потом чередовать их.
При наличии в неравенстве множителей и делителей в четной степени знак при переходе через нуль этой скобки не меняется.
При наличии в неравенстве множителей и делителей в нечетной степени знак при переходе через нуль этой скобки меняется.
Решить неравенство: (х - 3)(х + 1)2(2х - 1) > 0
f(x) = (х - 3)(х + 1)2(2х - 1), f(x) = 0
х = 3, х = - 1 , х = Ѕ
+ + - +
° ° ° HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
-1 Ѕ 3
f(5) > 0
х (-
·;-1)U(-1;1/2 ) U(3;
·)

Решить неравенство: (х - 3)(х + 1)3(2х - 1) > 0
f(x) = (х - 3)(х + 1)3(2х - 1), f(x) = 0
х = 3, х = - 1 , х = Ѕ
- + - +
° ° ° HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
-1 Ѕ 3
f(5) > 0
х (-1;1/2 ) U(3;
·)
Ключевые слова.
1. f(x); 2. Область определения. 3. Нули функции. 4. Координатная прямая. 5. Знак по пробной точке в каждом промежутке.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
Способ решения неравенств путем составления систем неравенств.
Неравенства вида P(x)G(x) > 0 , HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 можно представить также в виде систем неравенств: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Неравенства вида P(x)G(x) < 0 , HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 можно представить в виде систем неравенств: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Произведение двух множителей больше нуля, когда в области определения каждый из множителей имеет одинаковые знаки (> 0 или < 0). Произведение двух множителей меньше нуля, когда в области определения каждый из множителей имеет разные знаки. Тоже для дроби.

Если неравенство нестрогое, то:
в неравенстве, содержащем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - P(x) больше или равен нулю или меньше или равен нулю ((( ( ), а G(x) строго больше или меньше нуля ( > , < ), так как деление на нуль не определено ( не имеет смысла ).
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
«Очевидные» неравенства.
Если P(x) или G(x) – «очевидное» неравенство, то составляется одна из систем, соответствующая смыслу данного неравенства.
К «очевидным» неравенствам относятся неравенства, знак которых очевиден при любых значениях переменной.
1. Квадрат суммы или разности при любых значения переменной всегда больше или равен нулю: (a ( b) 2 ( 0.
2. Сумма квадратов при любых значениях переменной всегда больше нуля, например, х2 + 1 >0.
Корень четной степени при любых значениях переменной всегда больше или равен нулю, как арифметический корень: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Другие. Определять по смыслу.


Пример 1. ( 4х – 6 ) ( 3х2 + 1 ) > 0;
Произведение двух множителей больше нуля, если в области допустимых значений переменной множители имеют одинаковые знаки. Так как 3х2 + 1 > 0 при любом значении х, то
4х – 6 > 0; x > 3/2. Ответ. (3/2; ((
Пример 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Дробь больше или равна нулю, если в области допустимых значений переменной числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки или числитель равен нулю. Так как ( х + 1 )2
· 0 при любых значениях х, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3х – 1 > 0; x > 1/3; ( х + 1 )2 = 0; x = - 1 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ. – 1; (1/3; ((
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15

6. Неравенства с модулем.

1) Неравенства вида (f(x)( < b равносильно -b < f(x) < b при b(0, при b<0 неравенство решений не имеет.
Неравенство вида (f(x)( > b равносильно совокупности неравенств f(x) < - b или f(x) > b при b(0, при b<0 решением неравенства является D(f).
Пример1. (3 – х(( 5; - 5(3 – х ( 5; - 8 ( - х ( 2; 8 (х (- 2;
- 2 ( х ( ( . Ответ. (((((((
Пример2. ( 2х – 3 ( >7
2х – 3 < - 7; или 2х – 3 > 7;
2x < - 4; 2x > 10;
х < - 2 х > 5 . Ответ. (((((((((((((.
2) Неравенство вида (f(x)( < g(x) равносильно следующим системам:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при g(x) < 0 – решений нет.
Полученные системы можно упростить:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
0 ( f(x) < g(x) - g(x) < f(x) < 0
Т.е неравенство вида (f(x)( < g(x) равносильно - g(x) < f(x) < g(x)
Неравенство вида (f(x)( > g(x) равносильно следующим системам:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т.е Неравенство вида (f(x)( > g(x) равносильно совокупности:
f(x) < - g(x) или f(x) > g(x) или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Помни! Для решения неравенств такого вида можно раскрыть модуль по определению.
Пример. ( 2х – 1( ( 3х + 2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - 1/5HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x <1/2. Ответ.[ - 1/5;
·) .
Можно решить так:
( 2х – 1( ( 3х + 2 - (3х + 2)
· 2x – 1
· 3x + 2 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15
3) Решение неравенств вида: х2 < d; x2 > d.

Неравенство x2 < d равносильно неравенству (х ((d, откуда получаем:
- d < x < d.
Неравенство x2 > d равносильно неравенству ( x ((d, откуда получаем: x < - d или x > d.
Пример. х2 < 9; x2 > 9;
(х ( < 3; (х ( > 3;
- 3 < x < 3. x < - 3 или x > 3.
7. Раскрытие модулей с использованием метода интервалов.
Если в уравнении ( неравенстве) содержатся несколько модулей, то:
Пункт 1. Найти нули каждого модуля;
Пункт 2. Расставить их на координатной прямой;
Пункт 3. Определить знак каждого выражения под знаком модуля в соответствующем промежутке;
Пункт 4. Для каждого промежутка получить уравнение(неравенство), записать в виде системы;
Пункт 5. Решить полученные системы.

Пример 1. ( 2х – 7( + (4 + 3х( > 10

HYPER13 HYPERLINK \l "РаскрытиеМодулей" HYPER14Пункт 1.HYPER15 ( 2х – 7(= 0; x = 3,5. (4 + 3х( = 0; x = - 4/3
HYPER13 HYPERLINK \l "РаскрытиеМодулей" HYPER14Пункт 2.HYPER15 2х - 7 - - +
4 +3х - - 4/3 + 3,5 +
HYPER13 HYPERLINK \l "РаскрытиеМодулей" HYPER14Пункт 3.HYPER15 x< - 4/3 х = - 2 - (2х – 7) – (4 + 3х) = 10
HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15- 4/3HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15xHYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER153,5 х = 0 - (2х – 7) + ( 4 + 3х ) = 10
x > 3,5 х = 5 ( 2х – 7) + (4 + 3х) = 10
HYPER13 HYPERLINK \l "РаскрытиеМодулей" HYPER14Пункт 4.HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 или HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 или HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "РаскрытиеМодулей" HYPER14Пункт 5.HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15 HYPER13EMBED Equation.3HYPER14HYPER15
x < - 1,4 - 1< x ( 3,5 x> 3,5
Отвеn: (((( - 1,4) ( ( - 1; ()
HYPER13 HYPERLINK \l "_top" HYPER14Начало документаHYPER15








HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER148HYPER15



HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc file5
    Алгебраические неравенства и системы
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 3