Репетитору ЕГЭ математика


ГЛАВА 3: «УРАВНЕНИЯ И ВЫРАЖЕНИЯ»
После насыщенной различной информацией и относительно сложной предыдущей главы, в
которой было показано решение геометрических заданий, эта глава может показаться отдыхом.
Хотя, понятное дело, кому-то хорошо отдыхалось и на геометрии, да и вообще на просматривании
(или разглядывании) любого текста .
Итак, Глава 3 состоит всего лишь из двух заданий ЕГЭ: 6 и 10. Задание №6 предлагает решить
несложное уравнение (как правило, логарифмическое или «с корнем»), а задание №10 – найти
значение выражения (как правило, тригонометрического).
Рассмотрим наиболее распространенные примеры обоих заданий.
ЗАДАНИЕ 6
Еще одна возможность заработать весьма легкий балл – решить уравнение, которое
предлагает задание №6 («найдите корень уравнения»).
Предлагаемое на ЕГЭ уравнение, судя по всему, будет относиться к одному из 3-х типов:
1) Показательное уравнение. Например, .
В этих уравнениях находится в показателе степени, то есть «наверху»;
2) Уравнение, содержащее корень. Например, .
В этих уравнениях находится «под знаком корня»;
3) Логарифмическое уравнение. Например
Эти уравнения, как следует из названия, содержат так называемые «логарифмы»,
и находится «под знаком логарифма».

Раздел, посвященный заданию №6, получится довольно большим, так как придется
рассматривать решение уравнений всех 3-х типов. Но придется потерпеть – не отказываться же
из-за этого от возможности заработать балл на столь раннем этапе ЕГЭ!
Для того чтобы вспомнить (или узнать) сведения, необходимые для успешного выполнения
заданий №6, сделаем на протяжении этой главы еще два Тематических Отступления,
посвященных степеням чисел и логарифмам.
Поскольку это Пособие предназначено, в первую очередь, для категории «чайников», то все
объяснения написаны соответствующим языком. В этих Отступлениях, для «облегчения
понимания» (как говорится в известной рекламе), порой специально искажается и огрубляется
суть разбираемой темы, а некоторые вещи не объясняются вообще.
И причина этого проста – иногда проще и правильнее «просто сделать», имея лишь общее и
приблизительное понимание, чем тратить время и силы на изучение всех деталей. К тому же –
часто ненужное. Подобно тому, как многие люди вполне успешно работают на компьютере, не
зная принципов его работы. А тем более – не зная компьютерного «железа».
И вот – для поддержания умственного тонуса – первое Тематическое Отступление этой главы,
посвященное степеням чисел.
6.1. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ОТСТУПЛЕНИЕ: «СТЕПЕНИ ЧИСЕЛ»
Освежим память когда-то знакомыми сведениями.
Как известно, степени чисел могут быть целыми и дробными, положительными и
отрицательными. Кратко напомним об этом конкретными примерами.


Следующий набор правил показывает, какие действия можно выполнять с двумя и более числами, имеющими степени (то есть любыми числами, указанными в предыдущих пунктах).
Обратите внимание, что умножать и делить друг на друга можно только числа
с одинаковыми основаниями! Этот набор правил, позволяющий «собирать и разбирать» выражения, содержащие степень, я называю «Показательным конструктором». Итак, вот эти формулы:

Вот такое получилось первое Отступление этой главы – занимательное и бодрящее
6.1.1. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ

Показательные уравнения удобно решать по следующей простой схеме.
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
В принципе, можно приводить левое основание к правому, правое к левому или оба основания к
какому-либо третьему. А выбирать нужно тот вариант приведения, который проще с точки зрения
вычислений. Зачем создавать себе лишние трудности? Здесь удобнее поработать с правой частью:
Тогда уравнение будет выглядеть так:
2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.

3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Подставляем в исходное уравнение и проверяем, будут ли равны обе части уравнения

Действительно, при х=14 , левая часть уравнения равна правой.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 14
6.1.2. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ .
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
Проще преобразовать правую часть уравнения к основанию :
Тогда уравнение будет выглядеть так:

2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
5х-13=-3
Х=2
3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Проверка показала, что корень х=2 найден правильно.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 2
6.1.3. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ ОБЕ ЧАСТИ УРАВНЕНИЯ К ОДИНАКОВЫМ ОСНОВАНИЯМ.
В этом примере лучше преобразовать обе части уравнения к основанию 8.
С учетом того, что
2-Й ЭТАП: ПРИРАВНЯТЬ «ВЕРХУШКИ», ТО ЕСТЬ СТЕПЕНИ.
–х+12=2
Х=10
3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.

Уравнение решено правильно.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 10
А теперь перейдем ко второму типу уравнений, ожидаемых в задании №6.
6.2. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ КОРЕНЬ
Судя по всему, в задании №6 может встретиться как корень 2-й степени («квадратный» корень, то есть √ ), так и корень 3-й степени, то есть √ .
6.2.1. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ .
Уравнения такого типа удобно решать по следующей простой схеме.
1-Й ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ
(ТО ЕСТЬ ВО 2-Ю СТЕПЕНЬ) ДЛЯ ТОГО, ЧТОБЫ ИЗБАВИТЬСЯ ОТ КОРНЯ.

(√2х+7)2 =92
2х+7=81
Х=37
2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
И действительно, при х=37 левая часть уравнения равна правой части.
3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 37
6.2.2. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ
(ТО ЕСТЬ ВО 2-Ю СТЕПЕНЬ).
(√(2х+53)/7 )2=112
(2х+53)/7=121
Х= 397
2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Именно так подробно и должна выполняться качественная проверка полученного результата – не
смотря на лень и возможную тошноту !
3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 397
6.2.3. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В КВАДРАТ (ТО ЕСТЬ ВО 2-Ю СТЕПЕНЬ).
;
Примечание. Для дальнейшего преобразования таких выражений можно воспользоваться
известным приемом, который показан на рис. 6а.

В пропорции любое из входящих в нее чисел удобно находить
именно таким способом, который будет применен ниже.
В нашем примере это будет означать следующее:
5х-34=6*121 х=152
2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
Все вычисления этого этапа выполняем, не глядя на вычисления, сделанные ранее!

3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 152
И еще один пример – решения уравнения с корнем 3-й степени.
6.2.4. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВОЗВЕДЕНИЕ ОБЕИХ ЧАСТЕЙ УРАВНЕНИЯ В 3-Ю СТЕПЕНЬ.
Именно так: раз в уравнении корень 3-й степени, то в нее и нужно возводить.
; х-2= 125 х=127

2-Й ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 127
Вот так, быстро и «совсем не больно» и решаются уравнения с корнем в заданиях №6.
А теперь поговорим о так называемых «логарифмах», и связанных с ними уравнениях на
предстоящем ЕГЭ.
6.3. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
А теперь мы переходим к нелюбимой многими теме, связанной с понятием логарифма. В связи с
ее относительной сложностью, можно предложить такую систему работы.
Во-первых, просто прочитать следующее Тематическое Отступление.
И постепенно заучить упомянутые там формулы их многократным написанием, не особо
задумываясь над их происхождением.
Во-вторых, разобраться с приведенными примерами решения логарифмических уравнений, после
чего самостоятельно решить как можно больше подобных уравнений по предложенной схеме.
А если разбираться с Отступлением совсем уж лень – тогда можно попробовать ограничиться
только разбором примеров (но внимательным!). Может быть, хватит и этого.
ОТСТУПЛЕНИЕ: «НЕМНОГО О ЛОГАРИФМАХ»
ЛОГАРИФМЫ – ЧТО ЭТО?
В математике придумано много странных вещей. И среди них – так называемые «логарифмы».
Логарифмы – это обыкновенные числа, которые записываются не привычными цифрами, а
странным, зашифрованным способом.
Иными словами, число прямо не называется (например: ), а «кодируется» с
помощью специальной записи. Запись эта выглядит так: .
Например: и так далее.
Численное значение некоторых логарифмов можно найти («расшифровать»).
Или совсем легко, или с небольшими усилиями. Самый простой способ это сделать – применить
простой прием, который назовем «крутилкой» (рис. 6б). Смысл этого приема будет понятен из
дальнейших примеров.

Пример 1. .
«Крутилка», которая изображается в виде 2-х стрелок, создающих впечатление некоего вращения,
в этом примере обозначает следующее: .
Значение можно легко подобрать – это число «4 » (так как 24=16 ).
Таким образом,
Пример 2. .
Опять «расшифровка» этого числа выполняется тем же способом: .
Очевидно, что х=2 , значит
Пример 3. .

В этом случае «расшифровка» такова:
Здесь случай немного сложнее, так как нужно будет решить показательное уравнение.
-х=3 х= -3 Таким образом
Выше были специально подобраны такие логарифмы, значения которых находятся довольно
легко. И эти найденные значения имеют простой вид: целые числа или простые дроби.
Но можно придумать или найти примеры таких логарифмов, значения которых невозможно
вычислить «вручную».

В подобных случаях эти числа именно так окончательно и записывают, не называя прямо их
Значения

ЛОГАРИФМЫ: «ИНСТРУКЦИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ»
Этот блок Отступления окажется, в некотором смысле, сложнее предыдущего, потому что его
недостаточно только прочитать. Его, как говорилось ранее, нужно заучить.
Но не просто глядя на него – так не получится, а написав по памяти много раз (да знаю, знаю, как не хочется это делать ).
А теперь перейдем к тем самым формулам, которые предстоит запомнить.
Набор этих формул-правил можно назвать «логарифмическим конструктором», потому что они
похожи на набор инструментов для работы с логарифмами. С помощью этого «конструктора» с
ними и производятся перечисленные ниже действия (и только они!).
Подобно этому, ранее мы говорили о «показательном конструкторе», с помощью которого
работают с числами, возведенными в степень.
Итак, с логарифмами, с этими забавными «зашифрованными» числами, можно выполнять
следующие действия:

Примечание.
На самом деле существуют и другие формулы «конструктора», но в заданиях №6 они вряд ли
могут встретиться.
Кроме этих формул, которые описывают действия над логарифмами, нужно помнить так
называемое «основное логарифмическое тождество»:
(например , и так далее).
Задания на его применение встречаются довольно часто. Поэтому его нужно хорошо зрительно
помнить, и уметь распознавать выражения, похожие на него. Подробнее об этом – в задании B7.
И ЕЩЕ ОДНА ОСОБЕННОСТЬ ЛОГАРИФМОВ
И последний момент, которым закончим это Отступление: «начинка» логарифмов, то есть
«большое число справа» всегда должно быть больше нуля (и с точки зрения «правильной
математики» нужно всегда проверять полученные корни логарифмических уравнений на
выполнение этого условия).
А теперь, после такой зажигательной и нереально любопытной теории – «долгожданные»
примеры логарифмических уравнений .
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Просто применяй «крутилку».
6.3.1. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ .
Решение подобных уравнений удобно разбивать на следующие этапы.
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ К ВИДУ .

( )
(для преобразования использовалась формула 2 «конструктора»).
2-Й ЭТАП: ПРИМЕНИТЬ «КРУТИЛКУ» И НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ
Х=-21
А на вопрос «правильно ли то, что мы нашли?», отвечает 3-й этап.
3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
В этом уравнении удобнее подставлять найденное значение корня в уравнение

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: -21
6.3.2. НАЙДИТЕ КОРЕНЬ УРАВНЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ПРИВЕСТИ УРАВНЕНИЕ К ВИДУ
Исходное уравнение уже имеет нужный вид.
2-Й ЭТАП: ПРИМЕНИТЬ «КРУТИЛКУ» И НАЙТИ ЗНАЧЕНИЕ х=-10


3-ЭТАП: ПРОВЕРИТЬ ПОЛУЧЕННЫЙ КОРЕНЬ.
– правильно.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: -10
ЗАДАНИЕ 10
Задания №10, судя по всему, будут заключаться в вычислении выражений, содержащих
тригонометрические функции (и, возможно, степенные и логарифмические выражения).
Это задание перекликается с №6, где приходилось решать различные уравнения
(в том числе – логарифмические). А также с заданием №7, где уже встречались элементы
тригонометрии.
Поэтому, прорабатывая задания 6 и 7, получившиеся такими большими и нудными
живительными и интересными , вы, по сути, «убиваете еще одного зайца» – №10.
10.1. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
А теперь настало время посмотреть и на них.
Для того чтобы успешно справляться тригонометрическими выражениями в задании №10,
необходимо помнить следующее:
1) Таблицу значений тригонометрических функций для острых углов;
2) Основное тригонометрическое тождество;
3) Правила работы с формулами приведения.
Если первые пункты списка уже обсуждались в «семерке», то третий пункт, как показывает
практика, все же требует разъяснения, для которого мы временно уходим на очередное
Тематическое Отступление.
ОТСТУПЛЕНИЕ: «ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ»
Эти формулы называются так потому, что позволяют выразить (заменить) тригонометрические
функции «особых» углов 2 – 4 четвертей через известные табличные значения «особых»
углов 1 четверти.
То есть «привести» их к уже знакомым значениям этих функций для углов 30,45,600 .
Формулы приведения – часто используемый в учебных заданиях инструмент для вычисления
тригонометрических функций углов больше 900 .
Формулы приведения могут быть сведены к двум Правилам, которые, для простоты, лучше
объяснить на конкретных примерах.
Пример 1. Требуется найти sin 1500 .
Угол можно получить как от ближайшей горизонтальной оси ( 180-30 ), так и от
ближайшей вертикальной ( 90+60 ).
Правило №1 утверждает следующее и угол образован от горизонтали (например, углов 00? 1800? 3600 ), то «приводимая»
функция не изменяется, а первоначальный угол заменяется на прибавляемый (вычитаемый).
В нашем примере .
Если же угол образован от вертикали (например, углов 900? 2700 ), то «приводимая» функции
изменится на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и так далее).
В нашем примере .
Правило №2 устанавливает знак полученной функции:
он будет таким же, как у исходной, «приводимой» функции.
В нашем примере , значит, и полученные sin30 или cos60 будут иметь знак .
ПРИМЕРЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
10.1.1. ВЫЧИСЛИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Подобные задания можно решать, по крайней мере, двумя способами.
Способ 1.
1-ЭТАП: РЕШЕНИЕ.
Раз в условии дан котангенс, распишем его через синус и косинус:
После возведения в квадрат получится:
,
А теперь, найдя значение , легко найдем и значение искомого выражения:
Способ 2.
Если решение первым способом было основано на применении основного тригонометрического
тождества, то сейчас мы пойдем другим путем. И для него будет достаточно всего лишь помнить
табличные значения тригонометрических функций.
Тогда выстраивается такая цепочка выводов (она должна быть понятна и без пояснений):

С точки зрения «правильной» математики, в этой цепочке есть неточность (на этапе
преобразования ), но она никак не влияет на правильность ответа.
Кстати, вопрос на сообразительность – для самых «продвинутых чайников»: что это за неточность?
2-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
3-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ: 3
10.2. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ И СТЕПЕННЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
Во всех разобранных примерах применяются одно или несколько правил из набора
«логарифмического конструктора». Для успешного решения этих заданий необходимо
помнить также «показательный конструктор». Напомню, что упомянутые «конструкторы» – это
наборы правил работы со степенями и логарифмами (непременно еще раз загляните в главу 6).
Разбивка решения логарифмических примеров 10.2 на этапы довольно условна. Ее цель – еще раз
осознать и закрепить полезную привычку: вычислить – проверить – записать ответ.
10.2.1. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.

2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 17
10.2.2. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 17
10.2.3. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 0,5
B11.2.5. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: -0,5
10.2.6. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 4
10.2.7. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.


В этом примере один логарифм является «начинкой» другого логарифма.
Проще всего подобные примеры решать в 2 действия.
С помощью «крутилки» вычисляем сначала внутренний логарифм: , а затем
получившийся после этого .
По сути, удобнее было бы записать исходный пример в виде но такая запись
почему-то не принята в литературе.
2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ.
10.2.8. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .

При решении этого примера использовалась так называемая «формула перехода логарифма
к другому основанию», которая входит в «логарифмический конструктор»:


1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.



2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 2

10.2.9. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.


2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 2
10.2.10. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.

2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: 7


10.2.11. НАЙДИТЕ ЗНАЧЕНИЕ ВЫРАЖЕНИЯ .
1-Й ЭТАП: ВЫЧИСЛЕНИЕ.


2-Й И 3-Й ЭТАПЫ: ПРОВЕРКА ОТВЕТА И ЕГО ЗАПИСЬ: -10
Как видно из решенных выше примеров, задания №10 не требуют особой математической
мудрости.
Для того чтобы уверенно выполнять подобные задания, необходимо не столько понимать
правила действий со степенями и логарифмами, сколько автоматически применять их на
практике.


Приложенные файлы